解析：河南省郑州市第二高级中学2021-2022学年高一上学期10月月考数学试题(解析版).doc

郑州二高2021-2022学年上期高一十月月考
数学试卷
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；
2．请将答案正确填写在答题卡上.
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，，又，，则必有（ ）
A. B. C. D. 以上都不对
【答案】B
【解析】
【分析】利用列举法,写出集合A、集合B、集合C的几个元素,即可判断出错误选项;对正确选项进行证明即可.
【详解】集合,则
集合则
集合则
又,
当时, ,所以A错误;
当时, ,所以C错误;
因为集合,集合
又,
则
所以表示奇数,而集合B表示奇数
所以
故选:B
【点睛】本题考查了元素与集合的关系,集合与集合关系的应用,属于基础题.
2. 设，则的一个必要不充分条件为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用必要条件和充分条件的定义判断.
【详解】A选项：，，，
所以是的充分不必要条件，A错误；
B选项：，，
所以是的非充分非必要条件，B错误；
C选项：，，，
所以是的必要不充分条件，C正确；
D选项：，，，
所以是的非充分非必要条件，D错误.
故选：C.
3. 2015年孝感高中学生运动会，某班62名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的同学中，参加田赛的有16人，参加径赛的有23人，则田赛和径赛都参加的学生人数为
A. 7 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：由题可得总共参加比赛的学生有31人，根据容斥原理，所以有16+23-31=8,；故选B．
考点：容斥原理
4. 已知实数a，b，c，若a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质逐一分析即可得出答案.
【详解】解：对于A，因为a＞b，若，则，故A错误；
对于B，若，则，故B错误；
对于C，若a＞b，又，所以，故C正确；
对于D，当时，，故D错误.
故选：C.
5. 若、是全集的真子集，则下列四个命题中与命题等价的有（ ）
①；②；③；④；
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】根据子集的定义，结合集合交集、并集、补集的定义逐一判断即可.
【详解】因为，所以集合A是集合B的子集．①，则A中所有的元素都在B中，即，所以①正确；②，同样B包含A中所有的元素，即，所以②正确；③，所以B的补集与A没有公共元素，即B中有A所有的元素，所以③正确；④，B的补集是A补集的子集，则A的元素都在B中，即，所以④正确；
故选：D．
6. 关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件求出a，b的关系及满足的条件，由此解不等式即得.
【详解】因关于的不等式的解集是，则1是方程的根，且，于是得，
不等式化为：，即，解得，
所以关于的不等式的解集是.
故选：A
7. 下列说法中不正确的是（　　）
①不等式的解集是
②函数的最小值是2
③“，恒成立”的充要条件是“”
④命题“，”的否定是“，”
A ①②③ B. ②③ C. ③④ D. ①②
【答案】D
【解析】
【分析】
解不等式可判断①；构造函数并利用单调性求最值可判断②；根据恒成立取出的范围可判断③；根据全称命题的否定是特称命题可判断④.
【详解】①由得，解得，所以①错误；
②令，则，，
设，所以，
因为，，所以，，
所以在上是单调递增函数，所以，
的最小值不是2，所以②错误；
③，恒成立，则
当时，恒成立；
当时，，解得；
当时不成立，综上，恒成立的充要条件是“”，所以③正确；
④根据全称命题的否定是特称命题，命题“，”的否定是“，”，所以④正确.
故选：D.
【点睛】本题考查命题真假的判断，对于利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
8. 若正实数、满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件求出的最小值，再由所给不等式有解列出不等式求解即得.
【详解】因正实数、满足，则，当且仅当时取“=”，
又因不等式有解，于是得，即，解得或，
所以实数的取值范围是或.
故选：B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. (多选题)下列各组中M，P表示不同集合的是（ ）
A. M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}
B. M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}
C. M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}
D. M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}
【答案】ABD
【解析】
【分析】选项A中，M和P的代表元素不同，是不同的集合；
选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；
选项C中，解出集合M和P.
选项D中，M和P的代表元素不同，是不同的集合.
【详解】选项A中，M是由3，－1两个元素构成的集合，而集合P是由点(3，－1)构成的集合；
选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；
选项C中，M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}=，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}=，故M=P；
选项D中，M是二次函数y＝x2－1，x∈R的所有因变量组成的集合，而集合P是二次函数y＝x2－1，x∈R图象上所有点组成的集合．
故选ABD．
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题：，，则：，.
B. “，”是成立的充分不必要条件.
C. “”是“”的必要条件.
D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由全称量词命题的否定是特称命题可判断A；举反例可判断BC；根据根的分布可判断D.
【详解】由命题：，是全称量词命题，则：，，故A正确；
由时一定有，当时，，但是，
因此“”是“”成立的充分不必要条件，故B正确；
如，但是，所以不一定能推出，
如，但是，也不一定能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误；
关于的方程有一正一负根，所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，故D正确.
故选：ABD.
11. 若x∈A，则，称A为“影子关系”集合．下列对集合的所有非空子集中是“影子关系”的集合叙述正确的是（ ）
A. 集合个数为7 B. 集合个数为8
C. 含有1的集合个数为4 D. 元素个数为2的集合有2个
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用“影子关系”集合的定义求解.
【详解】集合的所有非空子集中是“影子关系”的集合有：
，
共7个，
含有1的集合个数为4，元素个数为2的集合有2个，
故选：ACD
12. 已知正实数，，满足，当取最小值时，下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 的最大值为 D. 的最大值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】直接利用关系式的变换和基本不等式的应用判断选项即可.
【详解】解：因为正实数，，满足，
整理得：.
所以，
当且仅当即时，等号成立，
此时，
所以，
当时取得最大值.
故选：ABC.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 设a，b∈R，集合，则b－a=_____________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据相等集合的定义进行运算求解即可.
【详解】∵ ，∴ a+b=0或a=0（舍去，否则无意义），
∴ a+b=0，，∴－1∈，a=－1，
∵ a+b=0，b=1，∴ b－a=2．
故答案为：2
14. 已知，，则的最大值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】运用待定系数法，设，进而求得，，再由不等式的性质，可得所求范围，即可得出最大值.
【详解】解：设，
由，，解得，.
则，
所以.
所以的最大值是.
故答案为：.
15. 若集合只有两个子集，则集合______．
【答案】或
【解析】
【分析】集合A只有两个子集，故A中只有一个元素，即方程只有一个解，然后分类讨论，或，分别计算即得解
【详解】由题意，集合A只有两个子集，故A中只有一个元素
方程只有一个解；
当时，，，满足题意；
当时，；
；
解得，；
或．
故答案为：或．
16. 若不等式对一切正实数恒成立，则实数的最小值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】将给定恒成立的不等式分离参数，再利用均值不等式求的最大值即可.
【详解】因，则，
而，当且仅当时取“=”，则，
所以实数的最小值为2.
故答案为：2
四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 设全集，，，求：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
【分析】(1)解不等式得集合A，解不等式得集合B，再求；
(2)由(1)的结论求出和即可求其并集.
【详解】（1），则有，
或或，则有或，
所以；
（2）由或，
可得或，，
所以或.
18. 设命题，；命题，使．
若命题为真命题，求实数的取值范围；
若命题，一真一假，求实数的取值范围．
【答案】；或.
【解析】
【分析】结合不等式的恒成立及二次函数性质即可得出结果；
结合复合命题的真假关系进行讨论即可.
【详解】解：依题意可知恒成立，因为当时，，所以；
由可知，当命题为真命题时，，
所以为假命题时，，
命题为真命题时，，解得或，
所以为假命题时，，
因为命题与一真一假，
所以当命题为真，命题为假时，；
当命题为假，命题为真时，.
综上所述，的取值范围是或.
19. 如图，某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为平方米的泳池池的深度为米，池的四周墙壁建造单价为每米元，中间一条隔墙建造单价为每米元，池底建造单价每平方米元（池壁厚忽略不计）．那么当泳池的长设计多少米时，可使总造价最低？最低造价是多少？

【答案】泳池的长设计为米时，可使总造价最低．最低造价为元.
【解析】
【分析】污水池面积一定，设长为米，可表示出宽，从而得出总造价的解析式，利用基本不等式求出最值即可.
【详解】解：设泳池的长为米，则宽为米
则总造价
（元），
当且仅当，即时等号成立．
故泳池长设计为米时，可使总造价最低．最低造价为元
20. 已知不等式
（1）若不等式的解集为或，求实数的值；
（2）若，解该不等式.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）由题意可得和是方程的两个根，根据韦达定理列方程即可求解；
（2）若，不等式为，分别讨论、、、、解不等式即可求解.
【详解】（1）因为不等式的解集为或，
所以和是方程的两个根，
由根与系数关系得，解得；
（2）当时，不等式为，
当时，不等式为，可得：；
当时，不等式可化为，
方程的两根为，，
当时，可得：；
当时，
①当时，即时，可得：或；
②当即时，可得：；
③当，即时，可得或；
综上：
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为或；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为或
21. 已知，.
（1）若，求的最大值；
（2）若，求最小值．
【答案】（1）2；（2）．
【解析】
【分析】（1）由，得，利用基本不等式即可得出答案；
（2），结合基本不等式即可得出答案.
【详解】解：（1）因为，，依题意得，
令，则，即，
又，所以，即，从而，
由及，得，，
故当，时，的最大值为2.
（2）由题意得，，且，
则
，
当且仅当，即时，有最小值．
22. 已知二次函数，对任意实数，不等式恒成立.
（1）求的值；
（2）若该二次函数有两个不同零点、.
①求a的取值范围；
②证明：为定值.
【答案】（1）2；（2）①；②证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据题意，令，代入不等式即可解得；
（2）①根据，可知，由可以判定a,c之间的关系，进而根据函数有两个零点，通过即可解出a的范围；
②由根与系数的关系即可证明.
【详解】（1）因为，满足，令，
令，得，故；
（2）①因为，所以恒成立，由（1），所以，
所以.
因为函数有两个不同的零点，所以，因为，
所以.
②由根与系数的关系可得，，即为定值.