解析：河南省郑州市第二高级中学2021-2022学年高一上学期10月月考数学试题(解析版).doc

郑州二高2021-2022学年上期高一十月月考
数学试卷
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；
2．请将答案正确填写在答题卡上.
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，，又，，则必有（ ）
A. B. C. D. 以上都不对
【答案】B
【解析】
【分析】利用列举法,写出集合A、集合B、集合C的几个元素,即可判断出错误选项;对正确选项进行证明即可.
【详解】集合,则
集合则
集合则
又,
当时, ,所以A错误;
当时, ,所以C错误;
因为集合,集合
又,
则
所以表示奇数,而集合B表示奇数
所以
故选:B
【点睛】本题考查了元素与集合的关系,集合与集合关系的应用,属于基础题.
2. 设，则的一个必要不充分条件为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用必要条件和充分条件的定义判断.
【详解】A选项：，，，
所以是的充分不必要条件，A错误；
B选项：，，
所以是的非充分非必要条件，B错误；
C选项：，，，
所以是的必要不充分条件，C正确；
D选项：，，，
所以是的非充分非必要条件，D错误.
故选：C.
3. 2015年孝感高中学生运动会，某班62名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的同学中，参加田赛的有16人，参加径赛的有23人，则田赛和径赛都参加的学生人数为
A. 7 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：由题可得总共参加比赛的学生有31人，根据容斥原理，所以有16+23-31=8,；故选B．
考点：容斥原理
4. 已知实数a，b，c，若a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质逐一分析即可得出答案.
【详解】解：对于A，因为a＞b，若，则，故A错误；
对于B，若，则，故B错误；
对于C，若a＞b，又，所以，故C正确；
对于D，当时，，故D错误.
故选：C.
5. 若、是全集的真子集，则下列四个命题中与命题等价的有（ ）
①；②；③；④；
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】根据子集的定义，结合集合交集、并集、补集的定义逐一判断即可.
【详解】因为，所以集合A是集合B的子集．①，则A中所有的元素都在B中，即，所以①正确；②，同样B包含A中所有的元素，即，所以②正确；③，所以B的补集与A没有公共元素，即B中有A所有的元素，所以③正确；④，B的补集是A补集的子集，则A的元素都在B中，即，所以④正确；
故选：D．
6. 关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件求出a，b的关系及满足的条件，由此解不等式即得.
【详解】因关于的不等式的解集是，则1是方程的根，且，于是得，
不等式化为：，即，解得，
所以关于的不等式的解集是.
故选：A
7. 下列说法中不正确的是（　　）
①不等式的解集是
②函数的最小值是2
③“，恒成立”的充要条件是“”
④命题“，”的否定是“，”
A ①②③ B. ②③ C. ③④ D. ①②
【答案】D
【解析】
【分析】
解不等式可判断①；构造函数并利用单调性求最值可判断②；根据恒成立取出的范围可判断③；根据全称命题的否定是特称命题可判断④.
【详解】①由得，解得，所以①错误；
②令，则，，
设，所以，
因为，，所以，，
所以在上是单调递增函数，所以，
的最小值不是2，所以②错误；
③，恒成立，则
当时，恒成立；
当时，，解得；
当时不成立，综上，恒成立的充要条件是“”，所以③正确；
④根据全称命题的否定是特称命题，命题“，”的否定是“，”，所以④正确.
故选：D.
【点睛】本题考查命题真假的判断，对于利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
8. 若正实数、满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件求出的最小值，再由所给不等式有解列出不等式求解即得.
【详解】因正实数、满足，则，当且仅当时取“=”，
又因不等式有解，于是得，即，解得或，
所以实数的取值范围是或.
故选：B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. (多选题)下列各组中M，P表示不同集合的是（ ）
A. M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}
B. M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}
C. M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}
D. M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}
【答案】ABD
【解析】
【分析】选项A中，M和P的代表元素不同，是不同的集合；
选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；
选项C中，解出集合M和P.
选项D中，M和P的代表元素不同，是不同的集合.
【详解】选项A中，M是由3，－1两个元素构成的集合，而集合P是由点(3，－1)构成的集合；
选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；
选项C中，M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}=，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}=，故M=P；
选项D中，M是二次函数y＝x2－1，x∈R的所有因变量组成的集合，而集合P是二次函数y＝x2－1，x∈R图象上所有点组成的集合．
故选ABD．
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题：，，则：，.
B. “，”是“”成立的充分不必要条件.
C. “”是“”的必要条件.
D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由全称量词命题的否定是特称命题可判断A；举反例可判断BC；根据根的分布可判断D.
【详解】由命题：，是全称量词命题，则：，，故A正确；
由时一定有，当时，，但是，
因此“”是“”成立的充分不必要条件，故B正确；
如，但是，所以不一定能推出，
如，但是，也不一定能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误；
关于的方程有一正一负根，所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，故D正确.
故选：ABD.
11. 若x∈A，则，称A为“影子关系”集合．下列对集合的所有非空子集中是“影子关系”的集合叙述正确的是（ ）
A. 集合个数为7 B. 集合个数为8
C. 含有1的集合个数为4 D. 元素个数为2的集合有2个
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用“影子关系”集合的定义求解.
【详解】集合的所有非空子集中是“影子关系”的集合有：
，
共7个，
含有1的集合个数为4，元素个数为2的集合有2个，
故选：ACD
12. 已知正实数，，满足，当取最小值时，下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 的最大值为 D. 的最大值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】直接利用关系式的变换和基本不等式的应用判断选项即可.
【详解】解：因为正实数，，满足，
整理得：.
所以，
当且仅当即时，等号成立，
此时，
所以，
当时取得最大值.
故选：ABC.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 设a，b∈R，集合，则b－a=_____________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据相等集合的定义进行运算求解即可.
【详解】∵ ，∴ a+b=0或a=0（舍去，否则无意义），
∴ a+b=0，，∴－1∈，a=－1，
∵ a+b=0，b=1，∴ b－a=2．
故答案为：2
14. 已知，，则的最大值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】运用待定系数法，设，进而求得，，再由不等式的性质，可得所求范围，即可得出最大值.
【详解】解：设，
由，，解得，.
则，
所以.
所以的最大值是.
故答案为：.
15. 若集合只有两个子集，则集合______．
【答案】或
【解析】
【分析】集合A只有两个子集，故A中只有一个元素，即方程只有一个解，然后分类讨论，或，分别计算即得解
【详解】由题意，集合A只有两个子集，故A中只有一个元素
方程只有一个解；
当时，，，满足题意；
当时，；
；
解得，；
或．
故答案为：或．
16. 若不等式对一切正实数恒成立，则实数的最小值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】将给定恒成立的不等式分离参数，再利用均值不等式求的最大值即可.
【详解】因，则，
而，当且仅当时取“=”，则，
所以实数的最小值为2.
故答案为：2
四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 设全集，，，求：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
【分析】(1)解不等式得集合A，解不等式得集合B，再求；
(2)由(1)的结论求出和即可求其并集.
【详解】（1），则有，
或或，则有或，
所以；
（2）由或，
可得或，，
所以或.
18. 设命题，；命题，使．
若命题为真命题，求实数的取值范围；
若命题，一真一假，求实数的取值范围．
【答案】；或.
【解析】
【分析】结合不等式的恒成立及二次函数性质即可得出结果；
结合复合命题的真假关系进行讨论即可.
【详解】解：依题意可知恒成立，因为当时，，所以；
由可知，当命题为真命题时，，
所以为假命题时，，
命题为真命题时，，解得或，
所以为假命题时，，
因为命题与一真一假，
所以当命题为真，命题为假时，；
当命题为假，命题为真时，.
综上所述，的取值范围是或.
19. 如图，某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为平方米的泳池，池的深度为米，池的四周墙壁建造单价为每米元，中间一条隔墙建造单价为每米元，池底建造单价每平方米元（池壁厚忽略不计）．那么当泳池的长设计多少米时，可使总造价最低？最低造价是多少？

【答案】泳池的长设计为米时，可使总造价最低．最低造价为元.
【解析】
【分析】污水池面积一定，设长为米，可表示出宽，从而得出总造价的解析式，利用基本不等式求出最值即可.
【详解】解：设泳池的长为米，则宽为米
则总造价
（元），
当且仅当，即时等号成立．
故泳池长设计为米时，可使总造价最低．最低造价为元
20. 已知不等式
（1）若不等式的解集为或，求实数的值；
（2）若，解该不等式.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）由题意可得和是方程的两个根，根据韦达定理列方程即可求解；
（2）若，不等式为，分别讨论、、、、解不等式即可求解.
【详解】（1）因为不等式的解集为或，
所以和是方程的两个根，
由根与系数关系得，解得；
（2）当时，不等式为，
当时，不等式为，可得：；
当时，不等式可化为，
方程的两根为，，
当时，可得：；
当时，
①当时，即时，可得：或；
②当即时，可得：；
③当，即时，可得或；
综上：
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为或；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为或.
21. 已知，.
（1）若，求的最大值；
（2）若，求最小值．
【答案】（1）2；（2）．
【解析】
【分析】（1）由，得，利用基本不等式即可得出答案；
（2），结合基本不等式即可得出答案.
【详解】解：（1）因为，，依题意得，
令，则，即，
又，所以，即，从而，
由及，得，，
故当，时，的最大值为2.
（2）由题意得，，且，
则
，
当且仅当，即时，有最小值．
22. 已知二次函数，对任意实数，不等式恒成立.
（1）求的值；
（2）若该二次函数有两个不同零点、.
①求a的取值范围；
②证明：为定值.
【答案】（1）2；（2）①；②证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据题意，令，代入不等式即可解得；
（2）①根据，可知，由可以判定a,c之间的关系，进而根据函数有两个零点，通过即可解出a的范围；
②由根与系数的关系即可证明.
【详解】（1）因为，满足，令，
令，得，故；
（2）①因为，所以恒成立，由（1），所以，
所以.
因为函数有两个不同的零点，所以，因为，
所以.
②由根与系数的关系可得，，即为定值.