合肥168中学自主招生数学试题及答案.doc

2013年合肥一六八中学自主招生考试数学试卷答案1. C。 2. D。（PD=7，PB=6）3. B或C。（若a+b+c0，则k=2，选B；若a+b+c=0，则k=-1，选C）4. B。（ax中若x为偶数则ax=-x/2，若x为奇数则ax=-x/2+1/2）5. C。（分别为1、1、7，1、2、4，1、3、1和2、1、2）6. B。（易证OBCBAC，可得比例式1：a = a：(a+1)，解方程并排除负解得B）7. B。（由n+m=4s，可知AD/4+BC/4=AB即AD+BC=4AB，作BEAD交CD于E，可证得BEC是直角三角形且四边形ABED是平行四边形，AD=BE，AB=DE，AD+BC=CE，于是得4AB=CE即2AB=CE即2DE=CE，所以CD=3AB）8. C。（通过十字相乘法分解因式，得y=(nx-1)(n+1)x-1，故其与x轴交点为1/n和1/(n+1)，所截得线段长度为1/n-1/(n+1)。所以线段长度之和为1-1/2+1/2-1/3+1/2013-1/2014 = 2013/2014）9. 3EQ R(,3)。（连接OB，OAAP，OBBP，易算出BAP和ABP为60，于是得ABP为等边三角形；易算出AB=EQ R(,3)，所以周长为3EQ R(,3)）10. 27。 11. 56。（观察可知aij=(i-1)+j(-1)i+j+1）12. 5/18。13. 3EQ R(,2)。（显然AC是正方形ABCD的对称轴，对于在AC上的任意一个P点，都能满足PB=PD，所以PD+PE=PB+PE。显然当P点恰为AC、BE的交点时PB+PE值最小，所以最小值为PB+PE=BE=AB=3EQ R(,2)）14. 2（易算出SABD=6，SABE=4，所以SABD- SABE=2，即SADF-SBEF=2）15. 060（由题意可知b-4ac0，即：(4sin)-46cos0。化简，得2sin-3cos0。由sin+cos=1，可知2sin=2-2cos，令x=cos，则2-2x-3x0。所以2x-1和x+2同正或同负，解得x1/2或x-2。x=cos，x1/2即cos1/2，得60。又为三角形内角，所以060）16. (1)化简得原式=1/(a+2a)，又由a+2a-1=0可得a+2a=1，原式值为1。 (2)若a=b，则原式=1+1=2； 若ab，则a、b为x+3x+1=0的两个根，由韦达定理可得a+b=-3，ab=1。将原式化为(a+b)/ab-2，代入，得原式值为7。 综上，原式的值为1或7。17. (1)作AFBC于F，易得出BF=1，AF=EQ R(,3)。又BC=EQ R(,3)+1，CF=EQ R(,3)。由勾股定理，得AC=EQ R(,6)。 (2)由(1)及题目，易算出SABF=EQ R(,3)/2，SACF=3/2。SACE=EQ R(,3)/2。做法A：由S=CEAD/2可得AD=EQ R(,6)/2，sinACD=1/2，ACD=30。做法B：由S=sinACDCEAC/2（面积公式），可得sinACD=1/2，ACD=30。18. (1)若0t2，作DEBC于E，易得BE=3，EC=1，NP=DE=EQ R(,3)，PE=DN=BM=t，ABC=60。AB=AD，ADBC，DBC=ADB=ABD=30， PQ=BP/EQ R(,3)=EQ R(,3)-EQ R(,3)t/3。S=PQBM/2=-EQ R(,3)/6(t-3/2)+3EQ R(,3)/8(0t2)。此时S的最大值为3EQ R(,3)/8。若2t4，易得BP=NB/2=(4-t)/2。同0t2，可得PQ= BP/EQ R(,3)=2EQ R(,3)/3-EQ R(,3)t/6。S=PQBM/2=-EQ R(,3)/12(t-2)+EQ R(,3)/3(2t4)。此时S最大值为EQ R(,3)/3。显然3EQ R(,3)/8大于EQ R(,3)/3，故S的最大值为3EQ R(,3)/8。综上所述，S= -EQ R(,3)/6(t-3/2)+3EQ R(,3)/8(0t2), S= -EQ R(,3)/12(t-2)+EQ R(,3)/3(2t4), S的最大值为3EQ R(,3)/8。 (2)若BM=MQ，当0t2时，t=EQ R( EQ R(,3) - EQ R(,3) t/3）+(3-t-t)，解得t1=3（舍去），t2=1.2。当2t4时，t=EQ R(,t-(4-t)/2+(2 EQ R(,3) /3- EQ R(,3) t/6)，解得t1=1（舍去），t2=4（舍去）。若BM=BQ，当0t2时，2(EQ R(,3)-EQ R(,3)t/3)=t，解得t=12-6EQ R(,3)。当2t4时，2(2EQ R(,3)/3-EQ R(,3)t/6)=t，解得t=2EQ R(,3)-2（舍去）。若MQ=BQ，当0t2时，EQ R(,（ EQ R(,3) - EQ R(,3) t/3）+(3-t-t)=2(EQ R(3)-EQ R(,3)t/3)，解得t1=2，t2=0（舍去）。当2t4时，EQ R(,t-(4-t)/2+(2 EQ R(,3) /3- EQ R(,3) t/6)=2(2EQ R(,3)/3-EQ R(,3)t/6)，解得t1=2，t2=0（舍去）。综上所述，当t=1.2或t=12-6EQ R(,3)或t=2时，BMQ为等腰三角形。19. (1)由垂直平分可得BE=DE，设BE=DE=x，则有(3-x)+(EQ R(,3)=x，得x=2。故DE=2。 (2)由(1)及题目可得AE=1，则AEB=60。易证DFE=BEF=EBF=60，BE=FE，BG=BM=FN，BEG和FEN全等（SAS），GEN=BEF=60。20.题目缺失21. (1)把A（1，-4）代入直线表达式得y=2x-6，算出B点坐标为（3，0），将A、B两点代入抛物线表达式，得y=x-2x-3。 (2)存在。OP为公共边，OB=3=OC，要使两三角形全等，可使POB=POC，即P点在直线y=-x上。计算得出直线y=-x与抛物线在第二象限的交点坐标为（1/2-EQ R(,13)/2，EQ R(,13)/2-1/2）。 (3)若QAB=90，则可设直线QA的表达式为y=-x/2+b，将A点坐标代入，得y=-x/2-7/2，故Q点坐标为（0，-7/2）。若QBA=90，同上可设QB的表达式为y=-x/2+b，将B点坐标代入，得y=-x/2+3/2，故Q点坐标为（0，3/2）。若AQB=90，可设QA表达式为y1=-x/k+b，则QB表达式为y2=kx+b。将A点坐标代入y1，B点坐标代入y2，可得k1=1，b1=-3；k2=1/3，b2=-1。当k=1时，Q点坐标为（0，-3）；k=1/3时，Q点坐标为（0，-1）。综上所述，Q点的坐标为（0，-7/2）或（0，3/2）或（0，-3）或（0，-1）。 (4)不存在，理由如下：作线段AB的中垂线MN，在A点左侧交抛物线于点M，在A点右侧交抛物线于点N，交线段AB于点E，则E点坐标为（2，-2）。设直线MN的表达式为y=-x/2+b。把E点代入直线MN，得y=-x/2-1。计算得M点坐标为（3/4-EQ R(,41)/4，-11/8+EQ R(,41)/8），N点坐标为（3/4+EQ R(,41)/4，-11/8-EQ R(,41)/8）。易算出EA=EB=EQ R(,5)，若能构成等边三角形，则等边三角形的高为EQ R(,5)EQ R(,3)=EQ R(,15)。计算可知ME和NE都不等于EQ R(,15)，不存在这样的点R。11