合肥168中学自主招生数学试题及答案.doc

2013年合肥一六八中学自主招生考试数学试卷答案
1. C。 2. D。（PD=7，PB=6）
3. B或C。（若a+b+c≠0，则k=2，选B；若a+b+c=0，则k=-1，选C）
4. B。（ax中若x为偶数则ax=-x/2，若x为奇数则ax=-x/2+1/2）
5. C。（分别为1、1、7，1、2、4，1、3、1和2、1、2）
6. B。（易证△OBC∽△BAC，可得比例式1：a = a：(a+1)，解方程并排除负解得B）
7. B。（由n+m=4s，可知AD²/4+BC²/4=AB²即AD²+BC²=4AB²，作BE∥AD交CD于  E，可证得△BEC是直角三角形且四边形ABED是平行四边形，∴AD=BE，AB=DE，AD²+BC²=CE²，于是得4AB²=CE²即2AB=CE即2DE=CE，所以CD=3AB）
8. C。（通过十字相乘法分解因式，得y=(nx-1)[(n+1)x-1]，故其与x轴交点为1/n和1/(n+1)，所截得线段长度为1/n-1/(n+1)。所以线段长度之和为1-1/2+1/2-1/3+…+1/2013-1/2014 = 2013/2014）
9. 3 EQ \R(,3) 。（连接OB，OA⊥AP，OB⊥BP，易算出∠BAP和∠ABP为60°，于是得△ABP为等边三角形；易算出AB= EQ \R(,3) ，所以周长为3 EQ \R(,3) ）
10. 27。 11. 56。（观察可知aij=[(i-1)²+j]×(-1)i+j+1）
12. 5/18。
13. 3 EQ \R(,2) 。（显然AC是正方形ABCD的对称轴，∴对于在AC上的任意一个P点，都能满足PB=PD，所以PD+PE=PB+PE。显然当P点恰为AC、BE的交点时PB+PE值最小，所以最小值为PB+PE=BE=AB=3 EQ \R(,2)）
14. 2（易算出S△ABD=6，S△ABE=4，所以S△ABD- S△ABE=2，即S△ADF-S△BEF=2）
15. 0°<θ<60°（由题意可知b²-4ac<0，即：(4sinθ)²-4×6×cosθ<0。化简，得2sin²θ-3cosθ<0。由sin²θ+cos²θ=1，可知2sin²θ=2-2cos²θ，令x=cosθ，则2-2x²-3x<0，化简得(2x-1)(x+2)>0。所以2x-1和x+2同正或同负，解得x>1/2或x<-2。∵x=cosθ，∴x<-2排除，故x>1/2即cosθ>1/2，得θ<60°。又θ为三角形内角，所以0°<θ<60°）
16. (1)化简得原式=1/(a²+2a)，又由a²+2a-1=0可得a²+2a=1，∴原式值为1。
     (2)若a=b，则原式=1+1=2；
        若a≠b，则a、b为x²+3x+1=0的两个根，由韦达定理可得a+b=-3，ab=1。将原式化为(a+b)²/ab-2，代入，得原式值为7。
        综上，原式的值为1或7。
17. (1)作AF⊥BC于F，易得出BF=1，AF= EQ \R(,3) 。又BC= EQ \R(,3) +1，∴CF= EQ \R(,3) 。由勾股定理，得AC= EQ \R(,6) 。
     (2)由(1)及题目，易算出S△ABF= EQ \R(,3) /2，S△ACF=3/2。∴S△ACE= EQ \R(,3) /2。做法A：由S=CE×AD/2可得AD= EQ \R(,6) /2，∴sin∠ACD=1/2，∴∠ACD=30°。做法B：由S=sin∠ACD×CE×AC/2（面积公式），可得sin∠ACD=1/2，∴∠ACD=30°。
18. (1)若0<t≤2，作DE⊥BC于E，易得BE=3，EC=1，NP=DE= EQ \R(,3) ，PE=DN=BM=t，∠ABC=60°。∵AB=AD，AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB=∠ABD=30°， PQ=BP/ EQ \R(,3) = EQ \R(,3) - EQ \R(,3) t/3。∴S=PQ×BM/2=- EQ \R(,3) /6(t-3/2)²+3 EQ \R(,3) /8(0<t≤2)。此时S的最大值为3 EQ \R(,3) /8。若2≤t<4，易得BP=NB/2=(4-t)/2。同0<t≤2，可得PQ= BP/ EQ \R(,3) =2 EQ \R(,3) /3- EQ \R(,3) t/6。∴S=PQ×BM/2=- EQ \R(,3) /12(t-2)²+ EQ \R(,3) /3(2≤t<4)。此时S最大值为 EQ \R(,3) /3。显然3 EQ \R(,3) /8大于 EQ \R(,3) /3，故S的最大值为3 EQ \R(,3) /8。
综上所述，S= - EQ \R(,3) /6(t-3/2)²+3 EQ \R(,3) /8(0<t≤2),
            S= - EQ \R(,3) /12(t-2)²+ EQ \R(,3) /3(2≤t<4),
            S的最大值为3 EQ \R(,3) /8。
     (2)若BM=MQ，当0<t≤2时，t= EQ \R(,（ EQ \R(,3) - EQ \R(,3) t/3）²+(3-t-t)²) ，解得t1=3（舍去），t2=1.2。当2≤t<4时，t= EQ \R(,[t-(4-t)/2]²+(2 EQ \R(,3) /3- EQ \R(,3) t/6)²) ，解得t1=1（舍去），t2=4（舍去）。若BM=BQ，当0<t≤2时，2×( EQ \R(,3) - EQ \R(,3) t/3)=t，解得t=12-6 EQ \R(,3) 。当2≤t<4时，2×(2 EQ \R(,3) /3- EQ \R(,3) t/6)=t，解得t=2 EQ \R(,3) -2（舍去）。若MQ=BQ，当0<t≤2时， EQ \R(,（ EQ \R(,3) - EQ \R(,3) t/3）²+(3-t-t)²) =2×( EQ \R(,3) - EQ \R(,3) t/3)，解得t1=2，t2=0（舍去）。当2≤t<4时， EQ \R(,[t-(4-t)/2]²+(2 EQ \R(,3) /3- EQ \R(,3) t/6)²) =2×(2 EQ \R(,3) /3- EQ \R(,3) t/6)，解得t1=2，t2=0（舍去）。
  综上所述，当t=1.2或t=12-6 EQ \R(,3) 或t=2时，△BMQ为等腰三角形。
19. (1)由垂直平分可得BE=DE，设BE=DE=x，则有(3-x)²+( EQ \R(,3) )²=x²，得x=2。故DE=2。
    (2)由(1)及题目可得AE=1，则∠AEB=60°。易证∠DFE=∠BEF=∠EBF=60°，BE=FE，BG=BM=FN，∴△BEG和△FEN全等（SAS），∴∠GEN=∠BEF=60°。
20. 题目缺失
21. (1)把A（1，-4）代入直线表达式得y=2x-6，算出B点坐标为（3，0），将A、B两点代入抛物线表达式，得y=x²-2x-3。
     (2)存在。∵OP为公共边，OB=3=OC，∴要使两三角形全等，可使∠POB=∠POC，即P点在直线y=-x上。计算得出直线y=-x与抛物线在第二象限的交点坐标为（1/2- EQ \R(,13) /2， EQ \R(,13) /2-1/2）。
     (3)若∠QAB=90°，则可设直线QA的表达式为y=-x/2+b，将A点坐标代入，得y=-x/2-7/2，故Q点坐标为（0，-7/2）。若∠QBA=90°，同上可设QB的表达式为y=-x/2+b，将B点坐标代入，得y=-x/2+3/2，故Q点坐标为（0，3/2）。若∠AQB=90°，可设QA表达式为y1=-x/k+b，则QB表达式为y2=kx+b。将A点坐标代入y1，B点坐标代入y2，可得k1=1，b1=-3；k2=1/3，b2=-1。∴当k=1时，Q点坐标为（0，-3）；k=1/3时，Q点坐标为（0，-1）。综上所述，Q点的坐标为（0，-7/2）或（0，3/2）或（0，-3）或（0，-1）。
     (4)不存在，理由如下：作线段AB的中垂线MN，在A点左侧交抛物线于点M，在A点右侧交抛物线于点N，交线段AB于点E，则E点坐标为（2，-2）。设直线MN的表达式为y=-x/2+b。把E点代入直线MN，得y=-x/2-1。计算得M点坐标为（3/4- EQ \R(,41) /4，-11/8+ EQ \R(,41) /8），N点坐标为（3/4+ EQ \R(,41) /4，-11/8- EQ \R(,41) /8）。易算出EA=EB= EQ \R(,5) ，∴若能构成等边三角形，则等边三角形的高为 EQ \R(,5) × EQ \R(,3) = EQ \R(,15) 。计算可知ME和NE都不等于 EQ \R(,15) ，∴不存在这样的点R。

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