1、习题1-3
1. 根据函数极限的定义证明:
(1);
(2);
(3);
(4).
证明 (1)分析 |(3x-1)-8|=|3x-9|=3|x-3|, 要使|(3x-1)-8|0, $, 当0<|x-3|0, $, 当0<|x-2|2、0, $, 当0<|x-(-2)|0, $, 当时, 有, 所以.
2. 根据函数极限的定义证明:
(1);
(2).
证明 (1)分析 , 要使, 只须, 即.
证明 因为"e >0, $, 当|x|>X时, 有, 所以.
(2)分析 , 要使, 只须, 即.
证明 因为"e>0, $, 当x>X时, 有, 所以.
3、
3. 当x®2时, y=x2®4. 问d等于多少, 使当|x-2|X时, |y-1|<0.01?
解 要使, 只, .
5. 证明函数f(x)=|x| 当x®0时极限为零.
6. 求 当x®0时的左
4、﹑右极限, 并说明它们在x®0时的极限是否存在.
证明 因为
,
,
,
所以极限存在.
因为
,
,
,
所以极限不存在.
7. 证明: 若x®+¥及x®-¥时, 函数f(x)的极限都存在且都等于A, 则.
证明 因为, , 所以"e>0,
$X1>0, 使当x<-X1时, 有|f(x)-A|0, 使当x>X2时, 有|f(x)-A|5、X1, X2}, 则当|x|>X时, 有|f(x)-A|0, $d>0, 使当0<|x-x0|0,
6、d1>0, 使当x0-d10, 使当x00及M>0, 使当|x|>X时, |f(x)|0, 当|x|>X时, 有|f(x)-A|0及M>0, 使当|x|>X时, |f(x)|
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