函数极限的定义证明.doc

习题1-3
1. 根据函数极限的定义证明:
(1);
(2);
(3);
(4).
证明 (1)分析 |(3x-1)-8|=|3x-9|=3|x-3|, 要使|(3x-1)-8|<e , 只须.
证明 因为"e >0, $, 当0<|x-3|<d时, 有|(3x-1)-8|<e , 所以.
(2)分析 |(5x+2)-12|=|5x-10|=5|x-2|, 要使|(5x+2)-12|<e , 只须.
证明 因为"e >0, $, 当0<|x-2|<d时, 有|(5x+2)-12|<e , 所以.
(3)分析 , 要使, 只须.
证明 因为"e >0, $, 当0<|x-(-2)|<d时, 有, 所以.
(4)分析 , 要使, 只须.
证明 因为"e >0, $, 当时, 有, 所以.
2. 根据函数极限的定义证明:
(1);
(2).
证明 (1)分析 , 要使, 只须, 即.
证明 因为"e >0, $, 当|x|>X时, 有, 所以.
(2)分析 , 要使, 只须, 即.
证明 因为"e>0, $, 当x>X时, 有, 所以.
3. 当x®2时, y=x2®4. 问d等于多少, 使当|x-2|<d时, |y-4|<0. 001？
解 由于x®2, |x-2|®0, 不妨设|x-2|<1, 即1<x<3. 要使|x2-4|=|x+2||x-2|<5|x-2|<0. 001, 只要, 取d=0. 0002, 则当0<|x-2|<d时, 就有|x2-4|<0. 001.
4. 当x®¥时, , 问X等于多少, 使当|x|>X时, |y-1|<0.01?
解 要使, 只, .
5. 证明函数f(x)=|x| 当x®0时极限为零.
6. 求 当x®0时的左﹑右极限, 并说明它们在x®0时的极限是否存在.
证明 因为
,
,
,
所以极限存在.
因为
,
,
,
所以极限不存在.
7. 证明: 若x®+¥及x®-¥时, 函数f(x)的极限都存在且都等于A, 则.
证明 因为, , 所以"e>0,
$X1>0, 使当x<-X1时, 有|f(x)-A|<e ;
$X2>0, 使当x>X2时, 有|f(x)-A|<e .
取X=max{X1, X2}, 则当|x|>X时, 有|f(x)-A|<e , 即.
8. 根据极限的定义证明: 函数f(x)当x®x0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.
证明 先证明必要性. 设f(x)®A(x®x0), 则"e>0, $d>0, 使当0<|x-x0|<d 时, 有
|f(x)-A|<e .
因此当x0-d<x<x0和x0<x<x0+d 时都有
|f(x)-A|<e .
这说明f(x)当x®x0时左右极限都存在并且都等于A .
再证明充分性. 设f(x0-0)=f(x0+0)=A, 则"e>0,
$d1>0, 使当x0-d1<x<x0时, 有| f(x)-A<e ;
$d2>0, 使当x0<x<x0+d2时, 有| f(x)-A|<e .
取d=min{d1, d2}, 则当0<|x-x0|<d 时, 有x0-d1<x<x0及x0<x<x0+d2 , 从而有
| f(x)-A|<e ,
即f(x)®A(x®x0).
9. 试给出x®¥时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.
解 x®¥时函数极限的局部有界性的定理: 如果f(x)当x®¥时的极限存在, 则存在X>0及M>0, 使当|x|>X时, |f(x)|<M.
证明 设f(x)®A(x®¥), 则对于e =1, $X>0, 当|x|>X时, 有|f(x)-A|<e =1. 所以
|f(x)|=|f(x)-A+A|£|f(x)-A|+|A|<1+|A|.
这就是说存在X>0及M>0, 使当|x|>X时, |f(x)|<M, 其中M=1+|A|.