【解析版】北京市第四中学2013届高三上学期期中测验数学（理）试题.doc

北京四中2012-2013年度第一学期高三年级期中数学测试（理）

　　试卷满分为150分，考试时间为120分钟。考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。
　　　　　　　　　　　　　　　　第一部分（选择题，共40分）
　　一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．请把答案填写在答题卡的相应位置上．
　　1. 已知集合，，则（　）
　　A．　　 B．　　　 C．　　 D．
【答案】B
【解析】,，所以, 选B.
　2. 函数的定义域为（　 ）
　　A．　　 B．　　C．　　 D．
【答案】D
【解析】要使函数有意义，则有，即，解得且，选D.
　3．下列命题中是假命题的是（　 ）
　　A．都不是偶函数
　　B．有零点
　　C．
　　D．上递减
　【答案】A
【解析】当时，为偶函数，所以A错误，选A.
　4．边长为的三角形的最大角与最小角的和是（　 ）
　　A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．
　【答案】B
【解析】边7对角为，则由余弦定理可知，所以，所以最大角与最小角的和为，选B.
　5. 已知数列，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（　 ）
　　A． 　　B．　　　　　 　　C．　　　　D．

答案】B
【解析】通过分析，本程序框图为“当型“循环结构.判断框内为满足循环的条件
第1次循环，s=1+1=2 n=1+1=2；第2次循环，s=2+2=4 n=2+1=3；
当执行第10项时，， 的值为执行之后加1的值，所以，判断条件应为进入之前的值。故答案为：或,选B.
6．已知函数的图象如图所示则函数的图象是（　 ）

【答案】A
【解析】由函数的两个根为，图象可知。所以根据指数函数的图象可知选A.
　7．函数　的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（　 ）
　　A．　　　　　　　 B． 1 　　　　　　　 C． 2　　　　　　 D．
【答案】A
【解析】根据积分的应用可求面积为
，选A.
　　8．定义在R上的函数满足，当时，，则（　 ）
　　A．　　　　　　　 B．
　　C．　　　　　　　　　 D．
【答案】D
【解析】由题意可知，函数的图象关于y轴对称，且周期为2，故可画出它的大致图象，如图所示：∵且,而函数在是减函数，　　∴，选D.

　　　　　　　　　　　　　　　第二部分（非选择题共110分）
　　二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共计30分．请把答案填写在答题纸的相应位置上．
　　9．设为虚数单位，则______.
【答案】
【解析】因为。所以
10．正项等比数列中，若，则等于______.
【答案】16
【解析】在等比数列中，，所以由，得，即。
11. 已知的最小值是5，则z的最大值是______.
【答案】10
【解析】由，则，因为的最小值为5，所以，做出不等式对应的可行域，由图象可知当直线经过点C时，直线的截距最小，所以直线CD的直线方程为，由，解得，代入直线得即直线方程为，平移直线，当直线经过点D时，直线的截距最大，此时有最大值，由，得，即D(3，1),代入直线得。

12. 设函数______.　
【答案】
【解析】令得，即。令得。令得。
13. 已知函数，给出下列四个说法：
　　①若，则；　 ②的最小正周期是；
　　③在区间上是增函数；　 ④的图象关于直线对称．
　　其中正确说法的序号是______.
【答案】③④
【解析】函数，若，即，所以，即，所以或，所以①错误；所以周期，所以②错误；当时，，函数递增，所以③正确；当时，为最小值，所以④正确，所以正确的有2个，选B.
14．定义一种运算，令，且，
则函数的最大值是______.　
【答案】
【解析】令，则
　　∴由运算定义可知，
∴当，即时，该函数取得最大值.　　由图象变换可知，
　　所求函数的最大值与函数在区间上的最大值相同.
三、解答题：本大题共6小题，共计80分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
　　15．（本小题满分13分）
　　如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆交于两点．已知的横坐标分别为．
　　（1）求的值；
　　（2）求的值．
　　16.（本小题满分13分）
　　已知函数.
　　（1）求函数图象的对称轴方程；
　　（2）求的单调增区间.
　　（3）当时,求函数的最大值，最小值.
　　17.（本小题满分13分）
　　设等差数列的首项及公差d都为整数，前n项和为Sn.
　　（1）若，求数列的通项公式；
　　（2）若　求所有可能的数列的通项公式.
　　18.（本小题满分13分）
　　已知函数（）.
　　（1）若，试确定函数的单调区间；
　　（2）若函数在其图象上任意一点处切线的斜率都小于，求实数的取值范围.
　　（3）若，求的取值范围.
　　19.（本小题满分14分）
　　已知函数　（为自然对数的底数）．
　　（1）求的最小值；
　　（2）设不等式的解集为，若，且，求实数的取值范围
　　（3）已知，且，是否存在等差数列和首项为公比大于0的等比
数列，使得？若存在，请求出数列的通项公式．若不存在，请说明理由．
　　20.（本小题满分14分）
　　已知A(,)，B(,)是函数的图象上的任意两点（可以重合），点M在
直线上，且.
　　1）求+的值及+的值
　　（2）已知，当时，+++，求；
　　（3）在（2）的条件下，设=，为数列{}的前项和，若存在正整数、，
使得不等式成立，求和的值.

【参考答案】
　　　　　　　　　　　　　　　第一部分（选择题，共40分）
　　一、选择题（每小题5分，共40分）
　　1. B　　2. D　　3. A　　4. B　　5. B　　6. A　　7. A　　8. D　　　 　　　　　　　　　　　　　第二部分（非选择题，共110分）
　　二、填空题：（每小题5分，共30分）
　　9. i　　10. 16.　　11. 10　　12. 　　13. ③④　　14.
　　三、解答题：（本大题共6小题，共80分）
　　15.（本小题满分13分）
　　解：
　　（Ⅰ）由已知得：．
　　　　　∵为锐角
　　　　　∴．
　　　　　∴ ．　
　　　　　∴．--------------------6分
　　（Ⅱ）∵
　　　　　∴．　
　　　　　为锐角，
　　　　　∴，
　　　　　∴．　　　　　　　　　 -----------13分
　　16. （本小题满分13分）
　　解：
　　（I）.　 …3分
　　　　 令.
　　　　 ∴函数图象的对称轴方程是　 ……5分
　　（II）

　　　　　故的单调增区间为　　　　 …8分
　　(III) ,　　　 …… 10分　　
　　　　　　　 .　 ……　 11分　
　　　　　当时,函数的最大值为1,最小值为.　 …　 13分
　　17.（本小题满分13分）
　　解：
　　（Ⅰ）由
　　　　　又
　　　　　故解得
　　　　　因此，的通项公式是1，2，3，…，
　　　　　（Ⅱ）由　得
　　　　　即
　　　　　由①+②得－7d<11，即
　　　　　由①+③得, 即,
　　　　　于是　又，故.
　　　　　将4代入①②得
　　　　　又，故
　　　　　所以，所有可能的数列的通项公式是
　　　　　1，2，3，….
　　18.（本小题满分13分）

　　（Ⅰ）解：当时，，所以，
　　　　　由，解得，
　　　　　由，解得或，
　　　　　所以函数的单调增区间为，减区间为和.　
　　（Ⅱ）解：因为，
　　　　　由题意得：对任意恒成立，
　　　　　即对任意恒成立，
　 　　　 设，所以，
　　 　　 所以当时，有最大值为，
　　 　　 因为对任意，恒成立，
　　 　　 所以，解得或，
　　 　　 所以，实数的取值范围为或.
　　（III）.
　　19.（本小题满分14分）
　　解：
　　（1）　
　　　　 由当；当

　　（2），
　　　　 有解
　　　　 由即上有解　
　　　　 令，
　　　　 上减，在[1，2]上增
　　　　 又，且

　　（3）设存在公差为的等差数列和公比首项为的等比数列，使
　　　　 　 ……10分

　　　　 又时，
　　　　 故
　　　　 ②-①×2得，解得（舍）
　　　　 故　，此时
　　　　 满足
　　　　 存在满足条件的数列　…… 14分
　　20.（本小题满分14分）
　　解：
　　（Ⅰ）∵点M在直线x=上，设M.
　　　　　又＝，即，，
　　　　　∴+=1.
　　　　　① 当=时，=，+=；
　　　　　② 当时，，
　　　　　+=+===
　　　　　综合①②得，+.
　　（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当+=1时, +
　　　　　∴，k=.
　　　　　n≥2时，+++　，　　　　　 ①
　　　　　　，　　　 　　②
　　　　　①＋②得，2=-2(n-1),则=1-n.　　
　　　　　当n=1时，=0满足=1-n. ∴=1-n.
　　（Ⅲ）==，=1++=.
　　　　　.
　　　　　=2-，=-2+=2-，
　　　　　∴，、m为正整数，∴c=1，
　　　　　当c=1时，，
　　　　　∴1<<3，
　　　　　∴m=1.