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北京四中2012-2013年度第一学期高三年级期中数学测试（理）
试卷满分为150分，考试时间为120分钟。考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。
第一部分（选择题，共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．请把答案填写在答题卡的相应位置上．
1. 已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】,，所以, 选B.
2. 函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】要使函数有意义，则有，即，解得且，选D.
3．下列命题中是假命题的是（ ）
A．都不是偶函数
B．有零点
C．
D．上递减
【答案】A
【解析】当时，为偶函数，所以A错误，选A.
4．边长为的三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】边7对角为，则由余弦定理可知，所以，所以最大角与最小角的和为，选B.
5. 已知数列，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】通过分析，本程序框图为“当型“循环结构.判断框内为满足循环的条件
第1次循环，s=1+1=2 n=1+1=2；第2次循环，s=2+2=4 n=2+1=3；
当执行第10项时，， 的值为执行之后加1的值，所以，判断条件应为进入之前的值。故答案为：或,选B.
6．已知函数的图象如图所示则函数的图象是（ ）
【答案】A
【解析】由函数的两个根为，图象可知。所以根据指数函数的图象可知选A.
7．函数 的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（ ）
A． B． 1 C． 2 D．
【答案】A
【解析】根据积分的应用可求面积为
，选A.
8．定义在R上的函数满足，当时，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，函数的图象关于y轴对称，且周期为2，故可画出它的大致图象，如图所示：∵且,而函数在是减函数， ∴，选D.
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共计30分．请把答案填写在答题纸的相应位置上．
9．设为虚数单位，则______.
【答案】
【解析】因为。所以
10．正项等比数列中，若，则等于______.
【答案】16
【解析】在等比数列中，，所以由，得，即。
11. 已知的最小值是5，则z的最大值是______.
【答案】10
【解析】由，则，因为的最小值为5，所以，做出不等式对应的可行域，由图象可知当直线经过点C时，直线的截距最小，所以直线CD的直线方程为，由，解得，代入直线得即直线方程为，平移直线，当直线经过点D时，直线的截距最大，此时有最大值，由，得，即D(3，1),代入直线得。
12. 设函数______.
【答案】
【解析】令得，即。令得。令得。
13. 已知函数，给出下列四个说法：
①若，则； ②的最小正周期是；
③在区间上是增函数； ④的图象关于直线对称．
其中正确说法的序号是______.
【答案】③④
【解析】函数，若，即，所以，即，所以或，所以①错误；所以周期，所以②错误；当时，，函数递增，所以③正确；当时，为最小值，所以④正确，所以正确的有2个，选B.
14．定义一种运算，令，且，
则函数的最大值是______.
【答案】
【解析】令，则
∴由运算定义可知，
∴当，即时，该函数取得最大值. 由图象变换可知，
所求函数的最大值与函数在区间上的最大值相同.
三、解答题：本大题共6小题，共计80分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆交于两点．已知的横坐标分别为．
（1）求的值；
（2）求的值．
16.（本小题满分13分）
已知函数.
（1）求函数图象的对称轴方程；
（2）求的单调增区间.
（3）当时,求函数的最大值，最小值.
17.（本小题满分13分）
设等差数列的首项及公差d都为整数，前n项和为Sn.
（1）若，求数列的通项公式；
（2）若 求所有可能的数列的通项公式.
18.（本小题满分13分）
已知函数（）.
（1）若，试确定函数的单调区间；
（2）若函数在其图象上任意一点处切线的斜率都小于，求实数的取值范围.
（3）若，求的取值范围.
19.（本小题满分14分）
已知函数 （为自然对数的底数）．
（1）求的最小值；
（2）设不等式的解集为，若，且，求实数的取值范围
（3）已知，且，是否存在等差数列和首项为公比大于0的等比
数列，使得？若存在，请求出数列的通项公式．若不存在，请说明理由．
20.（本小题满分14分）
已知A(,)，B(,)是函数的图象上的任意两点（可以重合），点M在
直线上，且.
（1）求+的值及+的值
（2）已知，当时，+++，求；
（3）在（2）的条件下，设=，为数列{}的前项和，若存在正整数、，
使得不等式成立，求和的值.
【参考答案】
第一部分（选择题，共40分）
一、选择题（每小题5分，共40分）
1. B 2. D 3. A 4. B 5. B 6. A 7. A 8. D 第二部分（非选择题，共110分）
二、填空题：（每小题5分，共30分）
9. i 10. 16. 11. 10 12. 13. ③④ 14.
三、解答题：（本大题共6小题，共80分）
15.（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）由已知得：．
∵为锐角
∴．
∴ ．
∴．--------------------6分
（Ⅱ）∵
∴．
为锐角，
∴，
∴． -----------13分
16. （本小题满分13分）
解：
（I）. …3分
令.
∴函数图象的对称轴方程是 ……5分
（II）
故的单调增区间为 …8分
(III) , …… 10分
. …… 11分
当时,函数的最大值为1,最小值为. … 13分
17.（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）由
又
故解得
因此，的通项公式是1，2，3，…，
（Ⅱ）由 得
即
由①+②得－7d<11，即
由①+③得, 即,
于是 又，故.
将4代入①②得
又，故
所以，所有可能的数列的通项公式是
1，2，3，….
18.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：当时，，所以，
由，解得，
由，解得或，
所以函数的单调增区间为，减区间为和.
（Ⅱ）解：因为，
由题意得：对任意恒成立，
即对任意恒成立，
设，所以，
所以当时，有最大值为，
因为对任意，恒成立，
所以，解得或，
所以，实数的取值范围为或.
（III）.
19.（本小题满分14分）
解：
（1）
由当；当
（2），
有解
由即上有解
令，
上减，在[1，2]上增
又，且
（3）设存在公差为的等差数列和公比首项为的等比数列，使
……10分
又时，
故
②-①×2得，解得（舍）
故 ，此时
满足
存在满足条件的数列 …… 14分
20.（本小题满分14分）
解：
（Ⅰ）∵点M在直线x=上，设M.
又＝，即，，
∴+=1.
① 当=时，=，+=；
② 当时，，
+=+===
综合①②得，+.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当+=1时, +
∴，k=.
n≥2时，+++ ， ①
， ②
①＋②得，2=-2(n-1),则=1-n.
当n=1时，=0满足=1-n. ∴=1-n.
（Ⅲ）==，=1++=.
.
=2-，=-2+=2-，
∴，、m为正整数，∴c=1，
当c=1时，，
∴1<<3，
∴m=1.
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