四年级《小学奥数系统总复习》试题.docx

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《小学奥数系统总复习》试题精选

8.13试题
1. 某次数学测验一共出了10道题，评分方法如下：每答对一题得4分，不答题得0分，答错一题倒扣1分，每个考生预先给10分作为基础分.问：此次测验至多有多少种不同的分数？
【分析】 最高的得分为50分，最低的得分为0分.但并不是从0分到50分都能得到.从正面考虑计算量较大，故我们从反面考虑，先计算有多少种分数达不到，然后排除达不到的分数就可以了.最高的得分为50分，最低的得分为0分.
列表分析：
答对
不答
答错
得分
10
0
0
50
9
1
0
46
9
0
1
45
8
2
0
42
8
1
1
41
8
0
2
40
7
3
0
38
7
2
1
37
7
1
2
36
7
0
3
35
…

不答相对与答对少的4分，答错相对与答对少得5分，这样的话不答和答错之间少1分，所以比38分少的分数的情况都存在.所以，在从0分到50分这51个分数中，有49，48，47，44，43，39这6种分数是不能达到的，故此次测验不同的分数至多有51-6=45（种）.

12. 现有一个3×4的长方形，现在任意横着切2刀，竖着切4刀，把长方形分成了15个小长方形，求这15个小长方形的周长之和是多少？
【分析】 很明显，这15个小长方形中任何一个的周长我们都求不出，如果从局部出发，是不可能求出来的.因此我们要从整体出发去考虑，观察发现，每横着切一刀，那么长方形就增加了两条长为4的边，即周长和增加8，而每竖着切一刀，那么长方形就增加了两条长度为3的边，即周长和增加6.因为长方形的周长为2×（3+4）=14，所以横着切2刀，竖着切4刀后周长和为：14+2×8+4×6=54 .

8.14试题
3. 科技活动小组有人。在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：制作好一架飞机模型的同学有人，制作好一艘舰艇的同学有人。每个同学都至少完成了一项制作。问两项制作都完成的同学有多少人?
【分析】 因为，，所以必有人两项制作都完成了。由于每个同学都至少完成了一项制作，根据包含排除法可知：全组人数完成了两项制作的人数，即完成了两项制作的人数。所以，完成了两项制作的人数为：(人)。

4. 甲、乙、丙三个小组学雷锋，为学校擦玻璃，其中块玻璃不是甲组擦的，块玻璃不是乙组擦的，且甲组与乙组一共擦了块玻璃。那么，甲、乙、丙三个小组各擦了多少块玻璃?
【分析】 块玻璃不是甲组擦的，说明这块玻璃是乙、丙两组擦的；块玻璃不是乙组擦的，说明这块玻璃是甲、丙两组擦的。
如图，用圆表示乙、丙两组擦的块玻璃，圆表示甲、丙两组擦的块玻璃。因甲乙两组共擦了块玻璃，那么(块)，这是两个丙组擦的玻璃数。(块)。丙组擦了块玻璃。乙组擦了：（块）玻璃，甲组擦了：（块）玻璃。

8.15试题
5. 在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成其它两数之和，这样继续操作下去，最后得到，，。问：原来写的三个整数能否为，，？

【分析】 此题单从具体的数来，无从下手。但抓住其操作过程中奇偶变化规律，问题就变得很简单了。如果原来三个数为，，，为三奇数，无论怎样，操作一次后一定为二奇一偶，再往后操作，可能有以下两种情况：一是擦去一奇数，剩下一奇一偶，其和为奇，因此换上去的仍为奇数；二是擦去一偶数，剩下两奇，其和为偶，因此，换上去的仍为偶数。总之，无论怎样操作，总是两奇一偶，而，，是两偶一奇，这就发生矛盾。所以，原来写的不可能为，，。

6. 甲、乙两个哲人将正整数至分别写在张卡片上。他们将卡片背面朝上，任意混合之后，甲取走三张，乙取走两张。剩下的两张卡片，他们谁也没看，就放到麻袋里去了。甲认真研究了自己手中的三张卡片之后，对乙说：“我知道你的两张卡片上的数的和是偶数。”试问：甲手中的三张卡片上都写了哪些数?答案是否唯一。
【分析】 甲手中的张卡片上分别写了，和。甲知道其余张卡片上分别写了哪些数，但不知道它们之中的哪两张落到了乙的手中。因此，只有在它们之中任何两张卡片上的数的和都是偶数时，甲才能说出自己的断言。而这就意味着，这张卡片上所写的数的奇偶性相同，亦即或者都是偶数，或者都是奇数。但是由于一共只有张卡片上写的是偶数，所以它们不可能都是偶数，从而只能都是奇数。于是张写着偶数的卡片全都落入甲的手中。

8.16试题
7. （第二届希望杯第二试）
两列在各自轨道上相向而行的火车恰好在某道口相遇，如果甲列车长米，每秒钟行驶米，乙列车每秒行驶米，甲、乙两列车错车时间是秒，求：
（1） 乙列车长多少米？
（2） 甲列车通过这个道口用多少秒？
（3） 坐在甲列车上的小明看到乙列车通过用了多少秒？
【分析】 （1）这是一个典型的相遇问题，根据前面的分析，已知两车的速度和相遇的时间，可以求出两车的长度和，为：（米），那么乙列车的长度为：（米）
（2）把道口看作是没有速度没有长度的火车，那么甲车通过道口的路程也就是甲列车的长，所以甲列车通过道口的时间为：（秒）
（3）小明坐在甲车上，实际上是以甲车的速度和乙车相遇，路程和是乙车的车长，所以小明看到乙列车通过用了：（秒）

8. 一列快车和一列慢车相向而行，快车的车身长是米，慢车的车身长是米。坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是秒，那么坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是多少秒？
【分析】 这个过程是火车错车，对于坐在快车上的人来讲，相当于他以快车的速度和慢车的车尾相遇，相遇路程和是慢车长;对于坐在慢车上的人来讲，相当于他以慢车的速度和快车的车尾相遇，相遇的路程变成了快车的长,相当于是同时进行的两个相遇过程，不同点在于路程和一个是慢车长，一个是快车长，相同点在于速度和都是快车速度加上慢车的速度。所以可先求出两车的速度和为：（米/秒），然后再求另一过程的相遇时间，也就是坐在慢车上的人看见快车驶过的时间为：（秒）。

8.17试题
9. 一串数按下面规律排列：
，，，，，，，，，，，……
问从左面第一个数起，数个数，这个数的和是多少？
【分析】 （法）观察题中这一串数，容易想到把它们三个三个地分组如下：
（，，），（，，），（，，），（，，），……可以发现这串数的排列有这样的规律：第，，，……组中第一个数依次为，，，……，每一组数都是由个连续自然数组成，它们的和等于中间一个数的倍。
　 ，也就是说，第个数在第组中，并且是。求前个数的和，就是求前组数的和与的和是多少。

（法）解法中利用分组的思想，（，，），（，，），（，，），（，，），……，选择每组第一个数相加得：, 那么总和即为
。
建议教师先讲此法，再提出中位数（中间数字）或者平均数的方式讲解原解。

20. （全国奥林匹克竞赛）
有一个横格、竖格的矩形方格纸，现从它的左上角开始向右沿着边框逐格涂色到右边框，再从上到下逐格涂色到底边框，再沿底边框从右到左逐格涂色到左边框，再从下到上逐格涂色到前面涂色过的方格，如此一直螺旋式地涂下去……直到将所有方格都涂满。那么，最后被涂的那格是从上到下的第几行，从左到右的第几列？
【分析】 如右图所示，顺时针涂完第圈后，有两行两列被涂了色，下一个要涂色的是第行第列的方格。涂完第圈后，有行列被涂了色，剩下行列未被涂色。最后一圈从行列开始，到行列结束。

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