成都历年中考圆压轴题回放.doc

成都历年中考圆压轴题回放
例题一 2013年
如图，⊙的半径，四边形内接圆⊙，于点，为延长线上的一点，且.
（1）试判断与⊙的位置关系，并说明理由：
（2）若，，求的长；
（3）在（2）的条件下，求四边形的面积.

27．(1)如图，连接DO并延长交圆于点E，连接AE
∵DE是直径，∴∠DAE=90°，
∴∠E+∠ADE=90°
∵∠PDA=∠ADB=∠E
∴∠PDA+∠ADE=90°即PD⊥DO
∴PD与圆O相切于点D
(2) ∵tan∠ADB=
∴可设AH=3k,则DH=4k
∵
∴PA=
∴PH=
∴∠P=30°，∠PDH=60°
∴∠BDE=30°
连接BE，则∠DBE=90°，DE=2r=50
∴BD=DE·cos30°=
(3)由（2）知，BH=-4k，∴HC=(-4k)
又∵
∴
解得k=
∴AC=
∴S=

例题二 2012年
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K．
（1）求证：KE=GE；
（2）若KG2=KD•GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长．

考点：
切线的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形。
专题：
几何综合题。
分析：
（1）如答图1，连接OG．根据切线性质及CD⊥AB，可以推出连接∠KGE=∠AKH=∠GKE，根据等角对等边得到KE=GE；
（2）AC与EF平行，理由为：如答图2所示，连接GD，由∠KGE=∠GKE，及KG2=KD•GE，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△GKD与△EKG相似，又利用同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠AGD，可推知∠E=∠C，从而得到AC∥EF；
（3）如答图3所示，连接OG，OC．首先求出圆的半径，根据勾股定理与垂径定理可以求解；然后在Rt△OGF中，解直角三角形即可求得FG的长度．
解答：
解：（1）如答图1，连接OG．
∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°，
∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°，
又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG，
∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，
∴KE=GE．

（2）AC∥EF，理由为：
连接GD，如答图2所示．
∵KG2=KD•GE，即=，
∴=，又∠KGE=∠GKE，
∴△GKD∽△EGK，
∴∠E=∠AGD，又∠C=∠AGD，
∴∠E=∠C，
∴AC∥EF；

（3）连接OG，OC，如答图3所示．
sinE=sin∠ACH=，设AH=3t，则AC=5t，CH=4t，
∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC5t，∴HK=CK﹣CH=t．
在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，
即（3t）2+t2=（）2，解得t=．
设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r﹣3t，CH=4t，
由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，
即（r﹣3t）2+（4t）2=r2，解得r=t=．
∵EF为切线，∴△OGF为直角三角形，
在Rt△OGF中，OG=r=，tan∠OFG=tan∠CAH==，
∴FG===．

点评：
此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，锐角三角函数定义，圆周角定理，平行线的判定，以及等腰三角形的判定，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
例题三 2011年
已知：如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作⊙O，⊙O经过B、D两点，过点B作BK⊥ A C，垂足为K。过D作DH∥KB，DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H．
(1)求证：AE=CK；
(2)如果AB=，AD= (为大于零的常数)，求BK的长：
(3)若F是EG的中点，且DE=6，求⊙O的半径和GH的长．

（1）证明△AED≌△CKB
（2）BK=
（3）设GF=x，则EF=x,ED=BK=6,
由射影定理得AE=KC=
由相交弦定理得，

∴
∴
∴

∴K为EC的中点
∴,∴
∴
显然，HE=2BK=12
∴HG=6
例题四 2010年
已知：如图，内接于，为直径，弦于，是的中点，连结并延长交的延长线于点，连结，分别交、于点、．
（1）求证：是的外心；
（2）若,求的长；
（3）求证：．

（1）证明：∵C是的中点，∴，
∴∠CAD=∠ABC
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°。
∴∠CAD+∠AQC=90°
又CE⊥AB，∴∠ABC+∠PCQ=90°
∴∠AQC=∠PCQ
∴在△PCQ中，PC=PQ，
∵CE⊥直径AB，∴
∴
∴∠CAD=∠ACE。
∴在△APC中有PA=PC，
∴PA=PC=PQ
∴P是△ACQ的外心。
（2）解：∵CE⊥直径AB于F，
∴在Rt△BCF中，由tan∠ABC=，CF=8，
得。
∴由勾股定理，得
∵AB是⊙O的直径，
∴在Rt△ACB中，由tan∠ABC=，
得。
易知Rt△ACB∽Rt△QCA，∴
∴。
（3）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°
∴∠DAB+∠ABD=90°
又CF⊥AB，∴∠ABG+∠G=90°
∴∠DAB=∠G；
∴Rt△AFP∽Rt△GFB，
∴，即
易知Rt△ACF∽Rt△CBF，
∴（或由摄影定理得）
∴
由（1），知PC=PQ，∴FPPQ=FP+PC=FC
∴。
例题五 2009年
如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙0交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连结CD，G是CD的中点，连结0G．
(1)判断0G与CD的位置关系，写出你的结论并证明；
(2)求证：AE=BF；
（3）若，求⊙O的面积。

例题六 2008年
如图，已知⊙O的半径为2，以⊙O的弦AB为直径作⊙M，点C是⊙O优弧上的一个动点（不与点A、点B重合）.连结AC、BC，分别与⊙M相交于点D、点E，连结DE.若AB=2.
(1)求∠C的度数；
（2）求DE的长；
（3）如果记tan∠ABC=y，=x（0
又由（2），知．
． 3分
在中，
，
． 1分
[或：由（2），知，
．
又由（2），知，，．
连结．在中，由勾股定理，得
．
又，即．
而
]

例题七 2007年
O
D
G
C
A
E
F
B
P
如图，是以为直径的上一点，于点，过点作的切线，与的延长线相交于点是的中点，连结并延长与相交于点，延长与的延长线相交于点．
（1）求证：；
（2）求证：是的切线；
（3）若，且的半径长为，求和的长度．

（1）证明：是的直径，是的切线，
．
又，．
易证，．
O
D
G
C
A
E
F
B
P
Ｈ

．
．
是的中点，
．
．
（2）证明：连结．
是的直径，．
在中，由（1），知是斜边的中点，
．
．
又，．
是的切线，．
，
是的切线．
（3）解：过点作于点．
，
．
由（1），知，．
由已知，有，，即是等腰三角形．
，．
，
，即．
，
四边形是矩形，．
，易证．
，即．
的半径长为，．
．
解得．
．
，．
．
在中，，，
由勾股定理，得．
．
解得（负值舍去）．
．
［或取的中点，连结，则．易证，
，故，．
由，易知，．
由，解得．
又在中，由勾股定理，得，
（舍去负值）．］

例题八 2006年
已知：如图，⊙O与⊙A相交于C、D两点，A、O分别是两圆的圆心，△ABC内接于⊙O，弦CD交AB于点G，交⊙O的直径AE于点F，连结BD。
（1） 求证：△ACG∽△DBG；
（2） 求证：；
（3） 若⊙A、⊙O的直径分别为、15，且CG：CD＝1：4，求AB和BD的长。