运筹学课后案例解析.doc

解：


《管理运筹学》案例题解

案例 1：北方化工厂月生产计划安排

设每月生产产品 i（i=1，2，3，4，5）的数量为 Xi，价格为 P1i，Yj 为原材料 j
的数量，价格为 P2i ，aij 为产品 i 中原材料 j 所需的数量百分比，则：

5
Y = ∑ X a
0.6ji ij
i=1
15
总成本： TC = ∑Y P
i 2i
i=1
5
总销售收入为： TI = ∑ X P
i 1i
i=1
目标函数为：MAX TP（总利润）=TI-TC
约束条件为：

∑15Y ≤ × ××
j28002430

j=1


5
10

X1+X3=0.7 ∑ Xi
=
i 1
5
X2≤50.05 ∑ Xi
=
i 1
X3+X4≤5X1
Y3≤54000
Xi≥0,i=1,2,3,4,5
应用计算工具求解得到：

X1=19639.94kg
X2=0kg
X3=7855.97kg
X4=11783.96kg

总成本 Y=167

案例 3：北方印染公司应如何合理使用技术培训费

解：变量的设置如下表所示，其中 Xij为第 i 类培训方式在第 j 年培训的人数：

1.高中生升初级工
2.高中生升中级工
3.高中生升高级工
4.初级工升中级工
5.初级工升高级工
6.中级工升高级工
第一年

X11
X21
X31
X41
X51
X61
第二年

X12

X42
X52
X62
第三年

X13

X43

X63

则每年年底培养出来的初级工、中级工和高级工人数分别为：

第一年底 第二年底


第三年底

初级工

中级工

高级工

则第一年的成本 TC1为：

X11
X41
X61

X12
X42
X51 +X62

X13
X21 +X43
X31 +X52+X63

1000X11+3000X21+3000X31+2800X41+2000X51+3600 X61≤550000；
第二年的成本 TC2为：
1000X12+3000X21+2000X31+2800X42+（3200 X51+2000X52）+3600X62≤450000；
第三年的成本 TC3 为：
1000X13+1000X21+4000X31+2800X43+3200 X52+3600X63≤500000；
总成本 TC= TC1 +TC2 +TC3≤1500000;
其他约束条件为：

X41 +X42 +X43+X51 +X52≤226；
X61+X62 +X63≤560；
X1j≤90 （j=1，2，3）；

X21 +X41≤80；
X21 +X42≤80；
X21 +X43≤80；
X31 +X51+X61≤80；
X31 +X51+X52+X62≤80；
X31 +X52+X63≤80；
以下计算因培训而增加的产值

Max TO=(X11+ X12+ X13) + 4(X41 +X42 +X21 +X43) +5.5(X61 +X51 +X62 +X31
+X52+X63);
利用计算机求解：

X11=38；X41=80；X42=59；X43=77；X61=80；X62=79；X63=79；其余变量都为 0；
TO=2211

案例 4：光明制造厂经营报告书

设直径 4.76、6、8、10 和 12 的钢管的需求量分别是 X1，X2，X3，X4，X5。
钢带的供给量为 X0。则：
钢管销售收入 Y1 为：
Y116000X1+16100X2+16000X3+16100X4+16300X5
废品回收收入 Y2 为：
Y2=10X0+（0.087X1+0.093X2+0.099X3+0.117X5）×700
钢带成本 C1 为：
C1=8000X0
职工工资 C2 为：
C2=X0×0.99×675+X0×0.99×0.98×900+（X1+X2+X3+X4+X5）×900
则净利润 Y0 为：
Y0=Y1+Y2-C1-C2-2000000-（X1+X2+X3+X4+X5）×2200（目标函数）
约束条件：
1.086957X1+1.092896X2+1.111111X3+X4+1117318X5=X0×0.99×0.98

X1+X2+X3+X4+X5=2800
X1• 1400
840• X2• 280
X3≥300
X4=X2/2
200≥X5≥100
X0,X1,X2,X3,X4,X5≥0
利用工具求得：

X1=1400
X2=666.667
X3=300
X4=333.333
X5=100
X0=3121.831
Y0=4652126.37

案例 5：北方食品投资方案规划

解：由于总的时间为 210 分钟，因此每种类型车可能的路线是有限的，不妨穷举
出来：

2 吨车可能的路线：

路

线
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12

A
B
C

4
0
0

3
1
0

3
0
1

2
2
0

2
1
1

2
0
2

1
3
0

1
2
1

1
1
2

0
4
0

0
3
1

0
2
2

time 155 170 190 175 185 205 180 190 200 190 200 210

4 吨车可能的路线：
路线 13 14 15 16 17 18 19 20 21

A
B
C
8
0
0
7
1
0
7
0
1
6
2
0
6
1
1
5
3
0
5
2
1
4
4
0
3
5
0

time 175 190 210 195 205 200 210 205 210
设 Xi为跑路线 i 的车的数量。
2 吨车数量为：

12
Q2= ∑ Xi
=
i 1
4 吨车数量为：
21
Q4= ∑ Xi
=
i 13
总成本 TC 为：
TC=12Q2+18Q4
目标函数： MIN TC=12Q2+18Q4
约束条件为：
4X1+3X2+ 3X3+ 2X4+2 X5+2 X6+ 1X7+1 X8+1 X9+ 0X10+0 X11+0 X12+8 X13+
7X14+7 X15+6 X16+6 X17+5 X18+5 X19+4 X20+3 X21• 50
0X1+1X2+ 0X3+ 2X4+ 1X5+ 0X6+3 X7+2 X8+1 X9+ 4X10+3 X11+2 X12+0 X13+1
X14+0 X15+2 X16+ 1X17+3 X18+2 X19+ 4X20+5 X21• 36
0X1+0X2+ 1X3+ 0X4+1 X5+ 2X6+ 0X7+ 1X8+ 2X9+0 X10+1 X11+2 X12+ 0X13+0
X14+1 X15+0 X16+1 X17+0 X18+1 X19+ 0X20+ 0X21• 20
即：

4X1+3X2+3X3+2X4+2X5+2X6+X7+X8+X9+8X13+7X14+7X15+6X16+6X17+5X18+5X19
+4X20+3X21• 50
X2+2X4+X5+3X7+2X8+X9+4X10+3X11+2X12+X14+2X16+X17+3X18+2X19+4X20+5X21
• 36
X3+X5+2X6+X8+2X9+X11+2X12+X15+X17+X19• 20

利用管理运筹学 2.0 软件中线性规划模块求得结果如下：

**********************最优解如下*************************
目标函数最优值为 : 254.736

变量
最优解
相差值

------- -------- --------
x1 0 4.364
x2 0 3.818
x3 0 2.727
x4 0 3.273
x5 0 2.182
x6 0 1.091
x7 0 2.727
x8 0 1.636
x9 0 .545
x10 0 2.182
x11 0 1.091
x12 5.409 0
x13 0 2.727
x14 0 2.182
x15 0 1.091
x16 0 1.636
x17 0 .545
x18 0 1.091
x19 9.182 0
x20 0 .545
x21 1.364 0

约束
松弛/剩余变量
对偶价格

------- ------------------- --------
1 0 -1.909
2 0 -2.455
3 0 -3.545
目标函数系数范围 :
变量 下限 当前值


上限

------- -------- -------- --------
x1 7.636 12 无上限
x2 8.182 12 无上限
x3 9.273 12 无上限
x4 8.727 12 无上限
x5 9.818 12 无上限
x6 10.909 12 无上限
x7 9.273 12 无上限
x8 10.364 12 无上限

x9 11.455 12 无上限
x10 9.818 12 无上限
x11 10.909 12 无上限
x12 9 12 12.667
x13 15.273 18 无上限
x14 15.818 18 无上限
x15 16.909 18 无上限
x16 16.364 18 无上限
x17 17.455 18 无上限
x18 16.909 18 无上限
x19 14 18 18.4
x20 17.455 18 无上限
x21 16 18 18.75
常数项数范围 :

约束
下限
当前值
上限

------- -------- -------- --------
1 9.6 50 80
2 30 36 103.333
3 7.474 20 26

但是：因为 Xi 为跑路线 i 的车的数量，所以 Xi 应该是整数。因此该问题应该是
纯整数规划问题。
用工具计算该纯整数规划问题，可得结果：

目标函数值＝ 264.0000

变量
值
相差值

X1 0.000000 12.000000
X2 0.000000 12.000000
X3 0.000000 12.000000
X4 0.000000 12.000000
X5 0.000000 12.000000
X6 0.000000 12.000000
X7 0.000000 12.000000
X8 0.000000 12.000000
X9 4.000000 12.000000
X10 0.000000 12.000000
X11 0.000000 12.000000
X12 3.000000 12.000000
X13 0.000000 18.000000
X14 0.000000 18.000000
X15 0.000000 18.000000
X16 0.000000 18.000000

X17 0.000000 18.000000
X18 0.000000 18.000000
X19 8.000000 18.000000
X20 0.000000 18.000000
X21 2.000000 18.000000

约束

松弛/剩余变量

对偶价格

1 0.000000 0.000000
2 0.000000 0.000000
3 2.000000 0.000000

注意：由于该整数规划问题变量较多，计算量较大，使用管理运筹学软件需要
在 PC 上运行很长时间，才可以得到以上结果。

案例 6：报刊征订、推广费用的节省问题

记 A1，A2 和 A3 分别表示“中文书刊出口部”、“深圳分公司”和“上海分公司”。
B1、B2 和 B3 分别表示“日本”、“香港和“韩国”，则本问题对应的模型如下：

A1
A2
A3
B1
10.20
12.50
6
15000
B2
7
4
8
10000
B3
9
14
7.5
5000


15000
7500
7500

利用工具求解得到如下：

A1
A2
A3


B1
7500
0
7500


B2
2500
7500
0


B3
5000
0
0

表中数字表示 Ai 邮寄到 Bi 的邮件数量。

案例 7：华中金刚石锯片厂的销售分配

记 A1、A2、A3、A4、A5 和 A6 分别表示“福建”、“广东”、“广西”、“四川”、
“山东”和“其他省区”，B1 和 B2 分别表示“规格 900-1600”和“规格 350-800”。
设 Xij 表示 Ai 对 Bj 需求量（i=1，2，3，4，5，6，j=1，2）。则：
总利润 Y 为：
Y=（270X11+240 X21+295 X31+300 X41+242 X51+260 X61）+（63 X12+60 X22+60
X32+64 X42+59 X52+57 X62）-1450000
约束条件为：

3500≤X11≤8000
2000≤X21≤6000
2500≤X31≤6000
2500≤X41≤6000
2000≤X51≤8000
2000≤X61
7500≤X12≤22000
4500≤X22≤20000
4000≤X32≤15000
5000≤X42≤20000
4000≤X52≤18000
4000≤X62
X11+X21+X31+ X41+ X51+ X61=20000×90%
X12+X22+X32+ X42+ X52+ X62=40000×90%
Xij为整数
利用工具求解得到：

X11=3500
X21=2000
X31=2500
X41=6000
X51=2000

X61=2000
X12=7500
X22=4500
X32=4000
X42=12000
X52=4000
X62=4000
最大利润为：7181000-1450000=5731000 元。

案例 8：运输模型在竖向设计中的应用

（略）

案例 9：华南公司投资方案

设 Xij 为第 i 年在第 j 方案上的投资额，
Yij=1，当第 i 年给第 j 项目投资时，
Yij=0，当第 i 年不给第 j 项目投资时，

MAX 130Y11+18Y12+50Y23+0.25X54+90Y35+1.2X56+1.15X57
X11-220Y11=0
X21-220Y21=0
Y11-Y21=0
X12-70Y12=0
X23-180Y23=0
X14≤80
X24-X14≤15
X34-X24≤15
X44-X34≤15
X54-X44≤15

X35-320Y35=0
X16≥60
X26≥60
X36≥60
X46≥60
X56≥60
220Y11+70Y12+X14+X16+X17=350
0.25X14+12X16+1.15X17+300-X21-X23-X24-X26-X27=0
60Y11+18Y12+0.25X24+1.2X26+1.15X27+150-X34-320Y35-X36-X37=0
130 Y11+18 Y12+50Y23+0.25X34+1.2X36+1.15X37-X44-X46-X47=0
130 Y11+18 Y12+50Y23+0.25X44+90Y35+1.2X46+1.15X47-X54-X56-X57=0
Xi,j≥0, i=1,2,3,4,5, j=1,2,3,4,5,6,7
Y11, Y12,Y23,Y35为 0-1 变量

由管理运筹学软件计算可得，

目标函数值=163436.500

变量

值

-------------- ---------------

Y11 1.000
Y12 0.000
Y23 0.000
X54 0.000
Y35 0.000
X56 136088.750
X57 0.000
X11 220.000
X21 220.000
Y21 1.000
X12 0.000
X23 0.000

X14 70.000
X24 85.000
X34 100.000
X44 0.000

X35 0.000

X16 60.000
X26 66004.500
X36 94286.641
X46 113298.969
X17 0.000
X27 0.000
X37 0.000
X47 0.000

案例 10：关于北京福达食品有限公司直销系统的设