概率学练习与答案.doc

一、简答题
1、事件A与B独立，，，计算与。
2、设随机变量独立，，，令，求Z的期望和方差。
3、设随机变量X的概率密度 计算。
4、设总体，是来自总体的一个样本，其样本方差为，则服从什么分布？
5、设总体，是来自总体的一个样本，则下列哪项是的无偏估计量： A. B.
二、高射炮向敌机发射三发炮弹(每弹击中与否相互独立)，以每发炮弹击中敌机的概率均为0.3，又知若敌机中一弹，其坠落的概率为0.2；若敌机中两弹，其坠落的概率为0.6；若中三弹则必然坠落. (1) 求敌机被击落的概率；(2) 若敌机被击落，求它中两弹的概率。
三、设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg，方差为0.01kg。试用中心极限定理求5000只零件的总重量超过2510kg的概率。
四、设二维随机变量(X,Y)的联合密度为

试求：1）关于X和Y的边缘概率密度，；
2）判断X与Y是否相互独立，并说明原因。
五、设的联合分布律如下，求：
1）X的期望E(X)和方差D(X)；2）Y的期望E(Y)和方差D(Y)；3）X与Y的相关系数。
Y
X
－1
0
1
0
0
0.2
0
1
0.4
0
0.4

六、设总体的概率密度为 其中是未知参数，是来自总体的样本，求参数的最大似然估计量。
七、已知一批零件的长度（cm）服从正态分布，从中随机地抽取个零件，测得长度的平均值为，求的置信水平为的双侧置信区间。
八、为了检验某药物是否会改变人的血压，挑选名试验者，测量他们服药后与服药前的血压，其差值为：，，，，，，，，，。由样本数据计算，得到样本均值，样本方差。假设血压差值服从正态分布，问在的显著性水平下，是否能得出该药物会改变血压（即）？
九、设随机变量X服从参数为2的指数分布，其密度为
，
求随机变量的概率密度。
附加题、设随机变量（X，Y）的联合分布在正方形区域上服从均匀分布，试求随机变量的概率密度。

附表：，，，，
，，，，
，，，

一、简答题
1、

2、

3、
4、
5、A. 是的无偏估计量
二、
解：设A＝“敌机被击落”；＝“敌机中i发炮弹”（i＝0，1，2，3）
则

(1) 由全概率公式可知：

(2) 由贝叶斯公式可知：

三、
解：设Xi表示第i只零件的重量，则E(X)=0.5，D(X)=0.12，n=5000
令，则Y近似服从N(0,1)
所求概率为

四、
解：1)
2)对一切x，y都有，故X与Y相互独立。
五、
解：1) E(X)=0×0.2+1×0.8=0.8， E(X2)=02×0.2+12×0.8=0.8，
D(X)=E(X2)－[E(X)]2=0.8－0.64=0.16
2) E(Y)= －1×0.4+0×0.2+1×0.4=0， E(Y2)= (－1)2×0.4+02×0.2+12×0.4=0.8，
D(Y)=E(Y2)－[E(Y)]2=0.8－0=0.8
3)
X与Y的相关系数
六、
解：设为相应的样本观测值，则
似然函数为

取对数得
求导，令其为零，得
解得：
参数的最大似然估计量为
七、
解：已知，选择统计量
由，可得的置信区间为：
已知 ，
查表得， 所以
所以
故的置信水平为0.95的双侧置信区间为(39.51，40.49)。
八、
解：要检验的假设为：，
已知：n=10, ,
选择检验统计量：
查表得拒绝域
计算统计量得
即，落在拒绝域中
因此，拒绝原假设，认为该药物会改变人的血压。

九、
解：的取值区间为，
的分布函数为：
显然，当时，；
当时，

所以
的概率密度为：
附加题、
解：XY的联合概率密度为
的取值区间为[0, 2]，
的分布函数为：
显然，当时，；当时，；
当时，
的概率密度为：