蝴蝶定理的八种证明及三种推广.doc

蝴蝶定理的证明
定理：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点E和F，则M是EF的中点。
在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！
证法1 如图2，作，则垂足分别为的中点，且由于
得共圆；共圆。
则
又，为的中点，从而，
则 ，于是。
证法2 过作关于直线的对称点，如图3所示，则
联结交圆于，则与关于对称，即
。又

故四点共圆，即
而
由、知，，故。
证法3 如图4，设直线与交于点。对及截线，及截线分别应用梅涅劳斯定理，有
，
由上述两式相乘，并注意到

得

化简上式后得。[2]
2 不使用辅助线的证明方法
单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。
证法 4 （Steven给出）如图5，并令

由，即

化简得
即 ，从而 。
证法 5 令，以点为视点，对和分别应用张角定理，有

上述两式相减，得

设分别为的中点，由，有

于是 ，而，知，故。

（二） 运用解析几何的知识完成蝴蝶定理的证明
在数学中用函数的方法解决几何问题也是非常重要的方法，所以解析几何上夜出现了许多漂亮的证明蝴蝶定理的方法，以下列出几个例子以供参考。
证法 6 （单墫教授给出）如图6，建立直角坐标系，则圆的方程可设为
。直线的方程为，直线的方程为。
由于圆和两相交直线组成了二次曲线系，其方程为

令，知点和点的横坐标满足二次方程，
由于的系数为，则两根和之和为，即，故。[5]
证法 7 如图7建立平面直角坐标系，则圆的方程可写为

直线、的方程可写为,。
又设的坐标为，则分别是二次方程
的一根。在轴上的截距为
。
同理，在轴上的截距为。注意到是方程的两根，是方程的两根，所以，从而易得 ，即。
证法 8 如图8，以为极点，为极轴建立极坐标系。因三点共线，令，则
即
作于，作于。注意到
由与可得
将代入可得，即。

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二 蝴蝶定理的推广和猜想
（一） 猜想 1　在蝴蝶定理中, P、 Q分别是 ED、 CF和AB的交点. 如果 P、 Q分别是 CE、 DF和AB延长线的交点,我们猜想, 仍可能会有 PM = QM .
推论 1　过圆的弦 AB的中点M引任意两条弦 CD与 EF, 连结 CE、 DF并延长交 AB的延长线于 P、 Q. 求证: PM = QM.
证明;设AM =BM = a, PM = x,QM = y ;∠PM E = ∠QM F =α,∠PCM = ∠DFM =β ;
∠CM E = ∠DM F =γ,∠QDM = ∠CEM =δ ;
记 △PM E, △QM F,△PMC, △QMD的面积分别为 S1 , S2 , S3 , S4.
则由恒等式S2·S3·S4·S1= 1知M P·M Esin αMQ·M Fsinα · FQ·FM sin (π - β)CP·CM sin β ··MCsin (α+γ)·MD sin (α+γ)· DQ·DM sin δEP·EM sin (π - δ )=·DQ·M P2·EP·MQ2 = 1,即 QF·QD·M P2= PC·PE·MQ2. ②
又由割线定理知PC·PE = PA·PB = ( x - a) ( x + a) = x2- a2,QF·QD = QB·QA = ( y - a) ( y + a) = y2- a2.代入 ②式, 得 ( y2- a2) x2= ( x2- a2) y2. 即 a2x2= a2y2.
由于 a ≠0, x, y > 0,所以 x = y .即 PM = QM.[3]
（二）猜想 2　在蝴蝶定理中, 显然 OM是 AB的垂线 (O是圆心) , 那么, 我们可以猜想,如果在保持 OM ⊥AB的前提下将圆 O的弦 AB移至圆外, 仍可能会有 PM =QM .
推论 2　已知直线 AB与 ⊙O相离. OM ⊥AB, M 为垂足. 过 M作 ⊙O任意两条割线 MC, M E分别交 ⊙O于 C, D和 E, F. 连结DE,FC并延长分别交 AB 于 P, Q. 求证: PM = QM.
证明：过 F作 FK∥AB, 交直线 OM于 N,交 ⊙O于 K .
连结 M K交 ⊙O于 G. 连结 GQ, GC. 由于 ON ⊥FK,故有 FN = KN,从而M F =M K(因为M在 FK的垂直平分线上) .
又由割线定理知M E·M F = MG·M K .因此 M E = MG. ③
又由 ∠FMN = ∠KMN, OM ⊥AB,知∠EM P = ∠GMQ. ④
从 ∠CQM = ∠CFK = ∠CGK知 ∠CGM +∠CQM= 180° , 从而 G,M, Q, C四点共圆. 所以 ∠MGQ =∠MCQ.
又由于 ∠M EP = ∠DEF = ∠DCF = ∠MCQ, 知∠M EP = ∠MGQ. ⑤
由 ③、 ④、 ⑤知 △PM E ≌△QMG.所以 PM = QM.
（三）猜想 3　既然蝴蝶定理对于双曲线是成立的, 而双曲线是两条不相交的曲线, 那么, 我们可以猜想,如果把两条不相交的曲线换成两条不相交的直线 (也即是两条平行线) , 仍可能会有 PM = QM .
推论 3　 设点 A、 B分别在两条平行线 l 1、 l 2上,过AB的中点M任意作两条直线 CD和 EF分别交 l 1、 l 2于C、 D和 E、 F, 连结 ED、 CF交 AB于 P、 Q. 求证: PM =QM.
证明：由于 l 1 ∥ l 2 ,M 平分AB, 从而利用 △MAC≌△MBD知M平分 CD, 利用 △MAE≌△MBF知 M平分 EF.
在四边形 CEDF中, 由对角线相互平分知 CEDF是平行四边形,从而 DE ∥CF. 又由于 M平分 EF,故利用 △M EP ≌△M FQ知 PM = QM。[4]