1、4-2．设开环系统的零点、极点在s平面上的分布如图4-15所示，试绘制根轨迹草图。
0
σ
0
σ
0
σ
0
σ
jω
jω
jω
jω
0
σ
jω
0
σ
jω
0
σ
jω
0
σ
jω
图4-15 题4-2图
解：
0
σ
0
σ
0
σ
0
σ
jω
jω
jω
jω
0
σ
jω
0
σ
jω
0
σ
jω
0
σ
jω
2、3、4曲线部分可以证明为一段圆弧
5、6、7不会从开环极点直接垂直向上（下），根据渐
2、近线的交点及出射角必然有图示的起始形状
4-3．已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试绘制当增益K1变化时系统的根轨迹图。
（1）.
（2）.
解：
（1）. 开环极点为
无有限开环零点。示如图
0
σ
jω
-2
-5
j3.16
-0.88
-2.33
-j3.16
根轨迹图应按正式作图进行，一般根轨迹应表示出和虚轴的交点（如果有的话）
应根据根轨迹的八条规则逐条进行计算分析
法则2：有三条趋
3、向无穷的根轨迹。
法则3：实轴上的根轨迹：0～-2，-5～-∞。
法则4：渐近线相角：
法则5：渐近线交点：，得渐近线如图示。
法则6：分离点：
得：，
其中为实际分离点，
分离角为：。如图示。
法则8：虚轴交点：令代入特征方程，得：
综上所述，根轨迹如图红线所示。
（2）.
0
σ
jω
-1+j3
-2
-1-j3
-5.16
曲线部分为圆弧，所有的数据应该在图上标出
根据规则逐条进行计算分析
开环极点为
开环零点为。示如图
4、
法则2：有1条趋向无穷的根轨迹。
法则3：实轴上的根轨迹： -2～-∞。
法则6：分离点：
得：，
其中为实际分离点，分离角为：。如图示。
法则7：出射角：
得
法则1：对称性可得：
综上所述，根轨迹如图红线所示。
4-9 已知某单位负反馈系统的开环传递函数为
【试绘制当增益K1变化时系统的根轨迹图，并求：】
（1） 系统无超调的K1值范围。
（2） 确定使系统产生持续振荡的K1值，并求此时的振荡频率
（3） 【判断s=-1.5+j3.12是否在根轨迹上？若在，求另外两个根及对应的K1值。
（4） 闭环极点都在σ=
5、1左侧的K1值范围。】
红色字体为第二次印刷增加的内容
解：
开环极点为
渐近线相角：
渐近线交点：。
分离点：
得：，
其中为实际分离点，
此时。
分离角为：
虚轴交点：令代入特征方程，得：
0
σ
jω
-5
-4.67
-9
-2.06
-j6.7
j6.7
-1
根轨迹图应按正式作图进行，一般根轨迹应表示出和虚轴的交点（如果有的话）
画系统的根轨迹，如图示。
由根轨迹图可得：
（1） 系统无超调的K1值范围为保持所有根轨迹在
6、负实轴时（分离点之前的部分），即。
（2） 确定使系统产生持续振荡的K1值为与虚轴交点时，即。此时的振荡频率为无阻尼自然频率，即闭环极点的虚部：。
（3） 【若s=-1.5+j3.12在根轨迹上，则应满足相角条件如果将其代入增益函数内，则易出现由于计算误差而发生K1有虚部而被判定不在根轨迹上。
。
即∠G(s)H(s)=±180º(2q+1).
所以满足相角条件，是在根轨迹上。
由于复数根应共轭，所以另外一个根为：s2=-1.5-j3.12
又由于分子的阶次低于分母的阶次超过了二阶，所以闭环特征方程的根的和应等于开环极点的和。
即：s+s2+s3=0+(-5)+(-9)=-
7、14
得第三个根为： s3=-14-s-s2=-11
根据幅值条件可得此时对应的K1值为：
（4） 由根轨迹图可知，在-9左边的一条根轨迹的实部在整个K1的取值范围内均满足实部小于-1
在实轴[0,-5]之间存在一个最小的K1，其值为当s=-1时的值。即：
另外在复平面上还有一个最大的K1，其闭环极点为s1,2=-1±jω,此时对应的第三个闭环极点s3=-14-s1-s2=-12也可以将s12直接代入求得
根据幅值条件可得此时对应的K1值为：
即闭环极点都在σ=-1左侧的K1值范围为：】还可采用第三章作业中一道类似题目的解法进行求解
4-10 设单位负
8、反馈系统的开环传递函数为
（1） 试绘制根轨迹的大致图形，并对系统的稳定性进行分析。
（2） 若增加一个零点z=-1，试问根轨迹图有何变化，对系统的稳定性有何影响。
解：
（1） 画系统的根轨迹，如图红线所示。
0
σ
jω
-1
-0.67
应写出根轨迹的作图过程
根据分离角可知给轨迹从原点出发离开实轴时的方向垂直实轴。
两个开环极点重合时，可用它们之间有一无穷小的距离，按根轨迹的规则进行同样的计算分析
如果零点在极点的左边（< -2）时又如何？
其中：渐近线相角：
渐近线交点：。
分离点在原点处，分离角为：。
可见系统除在K1=0时处于临界稳定之外，系统均处于不稳定状态。
（2） 增加一个零点z=-1后的根轨迹如图蓝线所示。
其中：渐近线相角：
渐近线交点：。
分离点在原点处，分离角为：。
使根轨迹向左移动进入左半平面，由根轨迹图可知此时除在K1=0时处于临界稳定之外，系统均处于稳定状态。即系统增加的零点使系统的稳定性获得了改善，由原不稳定系统变为了稳定系统。
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