1、广告费用与销售量的关系
1.摘要
一种随着经济的发展，行业之间的竞争越来越激烈，为了提高利润，广告成
为了重要的竞争工具，也是企业培育市场、培养品牌的重要方式。不同的行业、 不同的产品、甚至同一产品的不同生命周期，广告的投放时间、投放程度、投放 市场的选择都是千差万别的。今天我们从数学角度结合数学知识研究广告投入策 略对销售量的影响，试图得到一些局部使用的广告模型。本文从广告与销售速度 的关系着眼，利用微分方程建立了基本模型而来，并选择两个不同的广告策略来 进行求解，然后结合实际，通过实例检验，说明了模型的可行性。在模型的分析
中，通过对初始销售速度 s0 与利润
2、Q 的关系，利用线性规划求解得出不同产品
的初始销售速度对应不同的最优开始广告宣传时间。 本文还进一步考虑了模型的
优缺点，并根据提出的缺点，对模型进行了进一步改进，并提供了一些相关的评
估方法。
关键字 微分方程 最佳广告宣传时间 线性规划 广告策略
2 问题重述
目前，随着经济的迅速发展，行业间竞争越来越激烈，为了提高销售量，获 得最大的利润，广告成为了一个很重要的竞争工具，也是企业培训市场和品牌的 重要方式。然而不同的行业、不同的产品、甚至同一产品的不同生命周期，广告 的效果都是千差万别的。本题给出某公司的产品
3、销售价、同类产品其他厂家平均 价格从而得到价格差数据，还有该企业的广告投入费用和销售量数据，提出了如
下两个问题：
（1）利用网络等收集有关信息和数据，建立综合或某个侧面的营销数学模型帮 助企业获得较大的利润。由于广告投入与销售量的内在关系，所以在这里我们就
研究产品营销策略有对公司产品销售量的影响。
（2）如何评价不同时期的广告效果，确定最佳的广告投入使销售量达到最大。
3 问题分析
在当今社会,企业在保证商品质量的前提下,如何来提高商品销量成为重中之
重的问题。现实之中的实例说明，广告投入可以明显有效地相对提高销售量，从 而实现企业利润更大化。所以，首先，建立广
4、告投入与销售量的数学模型，建立 广告投入与销售量的关系，明确广告投入对销售量的影响，其次，利用该模型结 果，也就是营销数学的一个侧面—广告投入，利用其关系，帮助企业获得更大利
润。
4 模型假设
1 商品的销售速度是因作广告而增加，但是这种增加有一定的限度。广告只能
影响该产品在市场上尚未达到饱和的部分，当商品在市场上趋于饱和时，销售速
度也趋于它的上限值。
2 自然衰减是销售速度的一种性质，即商品销售速度随销售率的增加而减小。 3 不考虑市场环境的突变及同类产品的竞争，产品的销售过程和宣传力度均为
连续过程；
4 产品量是充足的，广告的宣传力度和宣传时间相对固
5、定；
5 商家的信誉度和产品质量是良好的；
6 广告具有立时性，一旦宣传就起效应；
7 假设停止广告宣传后，销售速度不会达到饱和速度；
5 符号说明
符号
s (t )
s0
A(t)
Ml
符号说明
t 时刻商品的销售速度
初始销售速度
t 时刻广告水平（用费用表示）
销售的饱和水平（即市场对商品的最大容纳能力）
衰减因子（即广告作用随时间增长而自然衰减的速度）
P
t
T
t1
w
a
Q(t)
6、
响应函数即 A(t)对 s(t)的影响能力
投入广告的周期
广告时间段地长度
开始广告销售的时间
每件产品的利润
广告的总费用
平均利润
6 模型的建立与求解
6.1 模型一
根据广告与销售速度的关系利用微分方程建立模型，通过对初始速度 s0 和利
润 Q 的关系利用规划求解出不同产品的初始销售速度 s0 对应不同的最优开始广
告宣传时间。
由假设已知销售速度的变化率与广告宣传力度成正比，但广告只能影响该商 品尚未饱和的部分。且自然衰减是销售速度的一种性质，即是销售速度随商品速
率增加而减少。
7、
故建立以下的微分方程：
ds = PA(t)(1 - s(t)) - ls(t)
（1）
dt M
当 A(t) = 0 或 s(t) = M 时
都有： ds = -ls(t)
dt
为了求解（1）式，我们引入下面不同广告的宣传力度进行求解。
我们选择一个广告策略
ìA - - - 0 p t p t
（2）
A(t) = í 其中 A 为常量。
î0 - - - -t ³ t
在（0，t ）时间段内，用于广告的总费用为a ，则 A = a ，代入模型方程(1)有
t
ds + (l + P . a )s = P. a
（3）
dt
令
则有
Mt
l + P .a = d
Mt
ds + ds = m
dt
t
其解为
P. a = m
t
s(t) = ce-dt + m
d
若令 s(0) = s0 ，则
s(t) = m (1 - e-dt ) + s0.e-dt
d
（4）
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