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关于特征值与特征向量的求解方法与技巧

摘 要:矩阵的初等变换是高等代数中运用最广泛的运算工具，对矩阵

的特征值与特征向量的求解研究具有一定意义。本文对矩阵特征值与

特征向量相关问题进行了系统的归纳，得出了通过对矩阵进行行列互

逆变换就可同时求出特征值及特征向量的结论。文章给出求解矩阵特

征值与特征向量的两种简易方法: 列行互逆变换方法与列初等变换方

法。

关键词: 特征值，特征向量; 互逆变换; 初等变换。

1 引言

物理、力学、工程技术的许多问题在数学上都归结为求矩阵的特征

值与特征向量问题，直接由特征方程求特征值是比较困难的，而在现

有的教材和参考资料上由特征方程求特征值总要解带参数的行列式，

且只有先求出特征值才可由方程组求特征向量。一些文章给出了只需

通过行变换即可同步求出特征值及特征向量的新方法，但仍未摆脱带

参数行列式的计算问题。本文对此问题进行 了系统的归纳，给出了

两种简易方法。

一般教科书介绍的求矩阵的特征值和特征向量的方法是先求矩

阵 A 的特征方程 fA (l)= lI - A = 0 的全部特征根(互异) ，而求相应的

特征向量的方法则是对每个 li 求齐次线性方程组 (liI - A)X = 0 的基础
解系，两者的计算是分离的，一个是计算行列式，另一个是解齐次线

性方程组, 求解过程比较繁琐，计算量都较大。

本文介绍求矩阵的特征值与特征向量的两种简易方法， 只用一

种运算 ——矩阵运算， 其中的列行互逆变换法是一种可同步求出特

征值与特征向量的方法， 而且不需要考虑带参数的特征矩阵。而矩阵

的列初等变换法， 在求出特征值的同时， 已经进行了大部分求相应

特征向量的运算， 有时碰巧已完成了求特征向量的全部运算。两种方

法计算量少， 且运算规范，不易出错。

2 方法之一： 列行互逆变换法

定义 1 把矩阵的下列三种变换称为列行互逆变换:

1. 互换 i、j 两列(ci « cj )，同时互换 j、i 两行 (rj « ri ) ；

2. 第 i 列乘以非零数 k (kci )， 同时第 i 行乘 1 æç 1 ci ö÷；

kèk
ø

3. 第 i 列 k 倍加到第 j 列(cj + kci )， 同时第 j 行- k 倍加到第 i 行
(r - kr )。
i j
定理 1 复数域 C 上任一 n 阶矩阵 A 都与一个 Jordan 标准形矩阵

J = diag ìïíJ æçl ö÷, J æçl ö÷,....J æçlr ö÷üïý 相似，


其中

ïî
k1 1
è
ø
k2 2
è
ø
kr
è
øï þ

él1 1 0 ... 0 0 ù

ê 0 l 1 ... 0 0 ú

ê
1
ú

Jki = ê... ... ... ... ... ...ú 称为 Jordan 块， k +k +

ê 0 0 0 ... l 1 ú
1
2
+ kr = n并且

ê
1
ú

ê 0 0 0 ... 0 l ú

ë
1 û ki

这个 Jordan 标准形矩阵除去其中 Jordan 块的排列次序外被矩阵 A 唯

一确定， J 称为 A 的 Jordan 标准形。

定理 2 A 为任意 n 阶方阵, 若æç Aö÷ ¾¾¾¾¾¾® æç J T ö÷ 其中 一系列列行互逆变换

è
Iø
èPø

J = diag ìïíJ æçl ö÷, J æçl ö÷,....J æçlr ö÷üïý 是
Jordan 标 准 形 矩 阵 ,

îï
k1 1
è
ø
k2 2
è
ø
kr
è
øï þ

P = (P1)
(P )，P = (b
)(i =1,
+ kr = n。则l 为

r
i
i1
bik
i
, r ) ，k1 + k2 +
i

A 的特征值， a = bik 为 A 的对应特征值 li 的特征向量。
证: 由定理 1 可知， 任一矩阵必相似于一约当阵， 按定理 2 中化简

方法， 有矩阵 A的转置矩阵 AT 相似于一约当矩阵 J， 即存在可逆

矩阵 P， 使 PT AT (PT )= J ， 故 AP = PJ T 其 中

él1 1 0 ... 0 0 ù
ê 0 l 1 ... 0 0 ú

P = æç b
a
b ar ö÷
ê
1
ú

è
11
1
r1
ø
Jki = ê... ... ... ... ... ...ú

ê 0 0 0 ... l 1 ú

ê
1
ú

ê 0 0 0 ... 0 l ú

él1 1 0 ... 0 0 ù
ë
1 û ki

ê 0 l 1 ... 0 0 ú

ê
1
ú

JkiT
= ê... ... ... ... ... ...ú

ê 0 0 0 ... l 1 ú

ê
1
ú

ê 0 0 0 ... 0 l ú

所以
ë


A(b
1 û ki


ê


ù

11
a1
br1
ar ) = (b11
a1
b r1
ar )éJk1T
ë
JkrT ú û

故有 Aai = lai (i = 1, , r) i

所以li 为 A 的特征值，


a =b

i
为了运算的方便，约定：
iki
为 A 的对应特征值 li 的特征向量。

（１） ¾¾¾¾ 表示矩阵第ｊ行ｋ倍加到第ｉ行； ri +kri ®

（２） ¾¾¾¾®表示矩阵第ｊ列－ｋ倍加到第ｉ列。 ci-kci

é2 -1 1 ù

例1
求矩阵 A =
ê0 3 -1ú 的特征值与特征向量。

ê
ú

ê2 1 3 ú
ë û
解：