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关于特征值与特征向量的求解方法与技巧
摘 要:矩阵的初等变换是高等代数中运用最广泛的运算工具,对矩阵
的特征值与特征向量的求解研究具有一定意义。本文对矩阵特征值与
特征向量相关问题进行了系统的归纳,得出了通过对矩阵进行行列互
逆变换就可同时求出特征值及特征向量的结论。文章给出求解矩阵特
征值与特征向量的两种简易方法: 列行互逆变换方法与列初等变换方
法。
关键词: 特征值,特征向量; 互逆变换; 初等变换。
1 引言
物理、力学、工程技术的许多问题在数学上都归结为求矩阵的特征
值与特征向量问题,直接由特征方程求特征值是比较困难的,而在现
有的教材和参考资料上由特征方程求特征值总要解带参数的行列式,
且只有先求出特征值才可由方程组求特征向量。一些文章给出了只需
通过行变换即可同步求出特征值及特征向量的新方法,但仍未摆脱带
参数行列式的计算问题。本文对此问题进行 了系统的归纳,给出了
两种简易方法。
一般教科书介绍的求矩阵的特征值和特征向量的方法是先求矩
阵 A 的特征方程 fA (l)= lI - A = 0 的全部特征根(互异) ,而求相应的
特征向量的方法则是对每个 li 求齐次线性方程组 (liI - A)X = 0 的基础
解系,两者的计算是分离的,一个是计算行列式,另一个是解齐次线
性方程组, 求解过程比较繁琐,计算量都较大。
本文介绍求矩阵的特征值与特征向量的两种简易方法, 只用一
种运算 ——矩阵运算, 其中的列行互逆变换法是一种可同步求出特
征值与特征向量的方法, 而且不需要考虑带参数的特征矩阵。而矩阵
的列初等变换法, 在求出特征值的同时, 已经进行了大部分求相应
特征向量的运算, 有时碰巧已完成了求特征向量的全部运算。两种方
法计算量少, 且运算规范,不易出错。
2 方法之一: 列行互逆变换法
定义 1 把矩阵的下列三种变换称为列行互逆变换:
1. 互换 i、j 两列(ci « cj ),同时互换 j、i 两行 (rj « ri ) ;
2. 第 i 列乘以非零数 k (kci ), 同时第 i 行乘 1 æç 1 ci ö÷;
kèk
ø
3. 第 i 列 k 倍加到第 j 列(cj + kci ), 同时第 j 行- k 倍加到第 i 行
(r - kr )。
i j
定理 1 复数域 C 上任一 n 阶矩阵 A 都与一个 Jordan 标准形矩阵
J = diag ìïíJ æçl ö÷, J æçl ö÷,....J æçlr ö÷üïý 相似,
其中
ïî
k1 1
è
ø
k2 2
è
ø
kr
è
øï þ
él1 1 0 ... 0 0 ù
ê 0 l 1 ... 0 0 ú
ê
1
ú
Jki = ê... ... ... ... ... ...ú 称为 Jordan 块, k +k +
ê 0 0 0 ... l 1 ú
1
2
+ kr = n并且
ê
1
ú
ê 0 0 0 ... 0 l ú
ë
1 û ki
这个 Jordan 标准形矩阵除去其中 Jordan 块的排列次序外被矩阵 A 唯
一确定, J 称为 A 的 Jordan 标准形。
定理 2 A 为任意 n 阶方阵, 若æç Aö÷ ¾¾¾¾¾¾® æç J T ö÷ 其中 一系列列行互逆变换
è
Iø
èPø
J = diag ìïíJ æçl ö÷, J æçl ö÷,....J æçlr ö÷üïý 是
Jordan 标 准 形 矩 阵 ,
îï
k1 1
è
ø
k2 2
è
ø
kr
è
øï þ
P = (P1)
(P ),P = (b
)(i =1,
+ kr = n。则l 为
r
i
i1
bik
i
, r ) ,k1 + k2 +
i
A 的特征值, a = bik 为 A 的对应特征值 li 的特征向量。
证: 由定理 1 可知, 任一矩阵必相似于一约当阵, 按定理 2 中化简
方法, 有矩阵 A的转置矩阵 AT 相似于一约当矩阵 J, 即存在可逆
矩阵 P, 使 PT AT (PT )= J , 故 AP = PJ T 其 中
él1 1 0 ... 0 0 ù
ê 0 l 1 ... 0 0 ú
P = æç b
a
b ar ö÷
ê
1
ú
è
11
1
r1
ø
Jki = ê... ... ... ... ... ...ú
ê 0 0 0 ... l 1 ú
ê
1
ú
ê 0 0 0 ... 0 l ú
él1 1 0 ... 0 0 ù
ë
1 û ki
ê 0 l 1 ... 0 0 ú
ê
1
ú
JkiT
= ê... ... ... ... ... ...ú
ê 0 0 0 ... l 1 ú
ê
1
ú
ê 0 0 0 ... 0 l ú
所以
ë
A(b
1 û ki
ê
ù
11
a1
br1
ar ) = (b11
a1
b r1
ar )éJk1T
ë
JkrT ú û
故有 Aai = lai (i = 1, , r) i
所以li 为 A 的特征值,
a =b
i
为了运算的方便,约定:
iki
为 A 的对应特征值 li 的特征向量。
(1) ¾¾¾¾ 表示矩阵第j行k倍加到第i行; ri +kri ®
(2) ¾¾¾¾®表示矩阵第j列-k倍加到第i列。 ci-kci
é2 -1 1 ù
例1
求矩阵 A =
ê0 3 -1ú 的特征值与特征向量。
ê
ú
ê2 1 3 ú
ë û
解:
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