高中数学复数与坐标系与参数方程练习题集.doc

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学
步
骤
及
教
学
内
容
复数基础知识
一、复数的基本概念
（1）形如a + bi的数叫做复数（其中）；复数的单位为i，它的平方等于－1，即.其中a叫做复数的实部，b叫做虚部
实数：当b = 0时复数a + bi为实数
虚数：当时的复数a + bi为虚数；
纯虚数：当a = 0且时的复数a + bi为纯虚数
（2）两个复数相等的定义：

（3）共轭复数：的共轭记作；
（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；，对应点坐标为
（5）复数的模：对于复数，把叫做复数z的模；
二、复数的基本运算
设，
（1） 加法：；
（2 减法：；
（3） 乘法： 特别。
（4）幂运算：

三、复数的化简
（是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：
对于，当时z为实数；当z为纯虚数是z可设为进一步建立方程求解
复数最重要的一点就是：记住
例1：已知，求
（1） 当为何值时z为实数
（2） 当为何值时z为纯虚数
（3） 当为何值时z为虚数
（4） 当满足什么条件时z对应的点在复平面内的第二象限。
例2：已知；，求当为何值时

例3：已知，求，；

变式：1是虚数单位,等于 ( )
A．i B．-i C．1 D．-1

变式2：已知是虚数单位， （ ）
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ．
变式3：已知是虚数单位，复数= （ ）
ABCD
变式4：已知i是虚数单位，复数（ ）
(A)1＋i (B)5＋5i (C)-5-5i (D)-1－i
变式5：已知是虚数单位，则 （ ）
(A) (B)1 (C) (D)
变式6：已知=2+i,则复数z=（）
（A）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i
变式7：i是虚数单位，若，则乘积的值是
（A）－15 （B）－3 （C）3 （D）15
真题实战：
1．（2005）若，其中a、b∈R，i是虚数单位，则=（ ）
A．0 B．2 C． D．5
2．（2005）已知向量则x= .
3.（2007）若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i是虚数单位，b是实数)，则b=
A．-2 B． C. D．2
4．（2008）已知，复数（是虚数单位），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5.（2009）下列n的取值中，使=1(i是虚数单位）的是
A. n=2 B. n=3 C. n=4 D. n=5

6．（2011）设复数z满足iz=1，其中i为虚数单位，则
A．-i B．i C．-1 D．1
7.（2012）设i为虚数单位，则复数=（ ）
A.3 B.1 C.-5 D.-6
8．（2013）若，，则复数的模是
A．2 B．3 C．4 D．5

坐标系与参数方程基础知识点
一、平面直角坐标系中的伸缩变换：
二、 、为点的极径、极角有序数对就叫做的极坐标。
三、常见曲线的参数方程：
（1）圆的参数方程为 （为参数）；
（2）椭圆的参数方程为 （为参数）；
（3）双曲线的参数方程 （为参数）；
（4）抛物线参数方程 为参数）；
（6）过定点、倾斜角为的直线的参数方程（为参数）；
四、极坐标和直角坐标的互化

基础训练
一、选择题
1．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（ ）
A． B．
C． D．
2．下列在曲线上的点是（ ）
A． B． C． D．
3．将参数方程化为普通方程为（ ）
A． B． C． D．
4．化极坐标方程为直角坐标方程为（ ）
A． B． C． D．
5．点的直角坐标是，则点的极坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．极坐标方程表示的曲线为（ ）
A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆

二、填空题
1．直线被圆截得的弦长为______________。
2．直线的极坐标方程为____________________。
3．直线过定点_____________。

4．点是椭圆上的一个动点，则的最大值为___________。
5．直线上与点的距离等于的点的坐标是_____
真题演练
1．（2007）(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，直线l的方程为ρsinθ=3，则点(2，π/6)到直线l的距离为 ．

2．（2008）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线的极坐标方程分别为，，则曲线与交点的极坐标为 ．
3．（2009）（坐标系与参数方程选做题）若直线（t为参数）与直线垂直，则常数= .
4．（2010）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，）（）中，曲线与的交点的极坐标为 . w_w*w.k_s
5．（2011）（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为（0<）和（t），它们的交点坐标为
_5 u.c*o*m

6．（2012）（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为和，则曲线C1与C2的交点坐标为_______。

7．（2013）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线的极坐标方程为．以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线的参数方程为 ．
几何证明选讲
知识点总结
一、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。平分线分线段成比例定理
二、平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
三、相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。直角三角形的射影定理
四、射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。
五、圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
六、圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
七、圆内接四边形的性质与判定定理
定理1：圆的内接四边形的对角互补。
定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。
八、圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。
推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。
九、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
十、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
割线定理：从园外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

例题讲解：
1. 如图，AB的延长线上任取一点C，过C作圆的切线CD，切点为D，的平分线交AD于E,则__________

(第1题图) (第2题图)
2. 如图，是的直径，是上一点，为的中点，的弦与的延长线相交于，若则__________

3. 如图，是的切线， 为切点，为割线，，则__________

(第3题图)
4. 如图，是的高，是外接圆的直径，圆半径为5，，则__________

真题实战

1．（2007）(几何证明选讲选做题)如图4所示，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D， 则∠DAC=

2．（2008）（几何证明选讲选做题）已知是圆的切线，切点为，．是圆的直径，与圆交于点，，则圆的半径

3.（2009）(几何证明选讲选做题)如图3，点A、B、C是圆O上的点，且AB=4，，则圆O的面积等于 .

4．（2010）（几何证明选讲选做题）如图3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD=，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF= .

5．（2011）（几何证明选讲选做题）如图4，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=2．E,F分别为AD，BC上点，且EF=3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为7：5
A -4-3i B -4+3i C 4+3i D 4-3i
6.（2012）（几何证明选讲选做题）如图3所示，直线PB与圆O想切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA=∠DBA，若AD=m，AC=n，则AB=_________。

7．（2013）（几何证明选讲选做题）如图3，在矩形ABCD中，，
，，垂足为，则 ．

线性规划问题
一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题
例1、设变量x、y满足约束条件，则的最大值为　　　。　

二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题
例2、已知则的最小值是 .

三、设计线性规划，探求平面区域的面积问题
例3在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（）
(A) (B)4 (C) (D)2

四、研究线性规划中的整点最优解问题

例4、某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件则的最大值是
(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95

真题实战：
1.（2008）若变量满足则的最大值是 ．

2.（2012）已知变量x,y满足约束条件 x +y≤1，则z =x +2y的最小值为（ ）
x–y≤1
x +1≥0

3．（2013）已知变量满足约束条件，则的最大值是

作业
布置

家长
意见

家长签名：
2013 年＿月 ＿日 （第＿ 次）
审阅人：
12