动点问题讲义 平面图形 初中知识点等.doc

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环球雅思学科教师辅导教案
辅导科目： 数 学 学员姓名：许博皓 年级：初 二
学科教师： 卫向丰 课 时 数：3 第__3__ 次 课
授课主题
动点问题专题复习
教学目标
1.研究基本图形，引导学生探索在运动过程中形成的特殊图形与其他图形的本质区别；步步引入，研究起点、终点和状态转折点，确定时间范围，挖掘解决动点问题的基本方法。
2.动点以其知识点多、题型复杂成为中考命题组提升难度，拉开差距，选拔考生的一个“热”点，常出现于中考数学压轴题或者倒数第二道题。
3.点在动，思维跟着点转个不停，从动态变化中找到解题钥匙.从经典题目中挖掘出解决动点问题的基本方法，克服中考压轴动点问题这一难点。
授课日期及时段
2012年12月25日
10:00-12:00
教学内容
.如图，在矩形ABCD中，p是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q
（1）求证：OP=OQ
（2）若AD=8cm，AB=6cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向D运动（不与D重合）。设点P运动的时间为ts，请用t表示PD的长，并求当t为何值时，四边形PBQD是菱形
总结：
先用解析式表示出线段，再构造出直角三角形，利用勾股定理找出等量关系，最后解出所求时间及线段。

其中，还考察了运动过程中，形成特殊四边形，做题时我们还要熟悉和牢记特殊图形的基本性质。
解（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PDO=∠QBO，又OB=OD，∠POD=∠QOB，
∴△POD≌△QOB，
∴OP=OQ；
（2）解：PD=8-t，
∵四边形PBQD是菱形，
∴PD=BP=8-t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB^2+AP^2=BP^2
即6^2+t^2=（8-t）^2，
解得：t=7/4，
即运动时间为7/4秒时，四边形PBQD是菱形．
. 梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从点A开始，沿AD边，以1厘米/秒的速度向点D运动；动点Q从点C开始，沿CB边，以3厘米/秒的速度向B点运动。
已知P、Q两点分别从A、C同时出发，，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。假设运动时间为t秒，问：
（1）t为何值时，四边形PQCD是平行四边形？
（2）在某个时刻，四边形PQCD可能是菱形吗？为什么？
（3）t为何值时，四边形PQCD是直角梯形？
（4）t为何值时，四边形PQCD是等腰梯形？
解（1）PD=QC
24-t=3t则t=6
（2）当t=6时，PD=18
总结：
在运动过程中形成的特殊图形与其他图形的本质区别；找出线段关系，用解析式表示出线段，最后解出。步步引入，研究起点、终点和状态转折点，确定时间范围，挖掘解决动点问题的基本方法。
DC=2<17
(3) PD=QC-2
24-t=3t-2
t=6.5
(4) PD=QC-4
t=7
. 如右图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点
P从A开始沿折线A—B—C—D以4cm/s的速度运动，点Q从C
开始沿CD边1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时
出发，当其中一点到达点D时，另一点也随之停止运动，设运动
时间为t(s)，t为何值时，四边形APQD也为矩形？
解

总结

(2010)（10分）
（1）操作发现
如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在举行ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由．
（2）问题解决
保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求的值；
（3）类比探求
保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求的值．

(2012)（10分）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到。如下是一个案例，请补充完整。
原题：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC边的中点，点F是线段AE上的一点，BF的延长线交射线CD于点G。若=3，求的值。
（1） 尝试探究
在图一中，过点E作EH∥AB交BG于点H ,则AB和EH的数量关系是 ，CG和EH的数量关系是 ，的值是 。
（2） 类比延伸
在原题条件下，若=m（m＞0），则的值是 （用含m的代数式表示）。试写出解答过程。
（3）拓展迁移
如图二，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC的延长线上的一点，AE和BD相交于点F。若=a，=b(a＞0,b＞0),则的值是 （用含a、b的代数式表示）

1. 如图，在等腰梯形中，∥，,AB=12 cm,CD=6cm , 点从开始沿边向以每秒3cm的速度移动，点从开始沿CD边向D以每秒1cm的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达终点时运动停止。设运动时间为t秒。
（1）求证：当t=时，四边形是平行四边形
A
B
C
D
Q
P
（2）PQ是否可能平分对角线BD？若能，求出当t为何值时PQ平分BD；若不能，请说明理由；
（3）若△DPQ是以PQ为腰的等腰三角形，求t的值。

2. 如图所示，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过O作直线MN//BC，设MN交的平分线于点E，交的外角平分线于F。
（1）求让：；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。
（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，且=，求的大小。

3. 如图，矩形ABCD中，AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠，点D落在点D’处，求重叠部分⊿AFC的面积.

4. 如图所示，有四个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的四个顶点出发，沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动。
（1）试判断四边形PQEF是正方形并证明。
（2）PE是否总过某一定点，并说明理由。
（3）四边形PQEF的顶点位于何处时，
其面积最小，最大？各是多少？

5.如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，已知AD＝AB＝3，BC＝4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D 出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．
(1)求NC，MC的长(用t的代数式表示)；
(2)当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形？
(3)是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由； (4)探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形？
解（1）NC=t+1，PN=|5-(t+1)-t|=|4-2t|
（2）若t时刻满足条件则满足矩形ABNQ面积=3×(3-t))=1/2*(3+4)*3/2=21/4，则t=5/4
此时AB+BN+QA=3+2(3-t)=13/2，而梯形总周长为10+10^0.5，不满足条件。故不存在这样（1）
NC=t+1，PN=|5-(t+1)-t|=|4-2t|
（2）
若t时刻满足条件，则满足矩形ABNQ面积=3×(3-t))=1/2*(3+4)*3/2=21/4，则t=5/4
此时AB+BN+QA=3+2(3-t)=13/2，而梯形总周长为10+10^0.5，不满足条件。故不存在这样的t。t。

5、（山东青岛课改卷 ）如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC＝8cm，BC＝6cm，∠C＝90°，EG＝4cm，∠EGF＝90°，O 是△EFG斜边上的中点．
如图②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线AB方向平移，在△EFG 平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s 的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s），FG的延长线交 AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2)（不考虑点P与G、F重合的情况）．
（1）当x为何值时，OP∥AC ?
（2）求y与x 之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．

（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
（参考数据：1142 ＝12996，1152 ＝13225，1162 ＝13456
或4.42 ＝19.36，4.52 ＝20.25，4.62 ＝21.16）

11、已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点
P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移
动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两
点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形?
（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的
关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；
（2005•宁德）如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，ÐB=90°，AB=12cm，BC=8cm，DC=13cm，动点P沿A→D→C线路以2cm/秒的速度向C运动，动点Q沿B→C线路以1cm/秒的速度向C运动．P、Q两点分别从A、B同时出发，当其中一点到达C点时，另一点也随之停止．设运动时间为t秒，△PQB的面积为ym2．
（1）求AD的长及t的取值范围；

（2）当1.5≤t≤t0（t0为（1）中t的最大值）时，求y关于t的函数关系式；
（3）请具体描述：在动点P、Q的运动过程中，△PQB的面积随着t的变化而变化的规律．
（1）在梯形ABCD中，AD∥BC、ÐB=90°过D作DE⊥BC于E点，如图所示∴AB∥DE ∴四边形ABED为矩形， ∴DE=AB=12cm
在Rt△DEC中，DE=12cm，DC=13cm
∴EC=5cm
∴AD=BE=BC-=EC=3cm（2分）
点P从出发到点C共需=8（秒），
点Q从出发到点C共需=8秒（3分），
又∵t≥0，∴0≤t≤8（4分）；
（2）当t=1.5（秒）时，AP=3，即P运动到D点（5分）
∴当1.5≤t≤8时，点P在DC边上
∴PC=16-2t
过点P作PM⊥BC于M，如图所示∴PM∥DE
∴=即= ∴PM=（16-2t）（7分）
又∵BQ=t ∴y=BQ•PM=t•（16-2t）=-t2+t（3分），
（3）当0≤t≤1.5时，△PQB的面积随着t的增大而增大；
当1.5＜t≤4时，△PQB的面积随着t的增大而（继续）增大；
当4＜t≤8时，△PQB的面积随着t的增大而减小．（12分）
注：①上述不等式中，“1.5＜t≤4”、“4＜t≤8”写成“1.5≤t≤4”、“4≤t≤8”也得分．
②若学生答：当点P在AD上运动时，△PQB的面积先随着t的增大而增大，当点P在DC上运动时，△PQB的面积先随着t的增大而（继续）增大，之后又随着t的增大而减小．给（2分）
③若学生答：△PQB的面积先随着t的增大而减小给（1分）

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