第17讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数.doc

第17讲　任意角、弧度制及任意角的三角函数
1．任意角
(1)角的概念的推广
①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．
②按终边位置不同分为象限角和轴线角．
(2)终边相同的角
终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．
(3)弧度制
①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．
③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制，比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．
④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．
⑤弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S扇形＝lr＝|α|r2.
2．任意角的三角函数定义
设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r(r＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝，cos α＝，tan α＝，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．
3．三角函数线
设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，则点M是点P在x轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P的坐标为(cos_α，sin_α)，即P(cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM，sin α＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tan α＝AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线．
三角函数线

有向线段MP为正弦线

有向线段OM为余弦线

有向线段AT
为正切线
一条规律
三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
(2) 终边落在x轴上的角的集合{β|β＝kπ，k∈Z}；终边落在y轴上的角的集合；终边落在坐标轴上的角的集合可以表示为.
两个技巧
(1)在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP|＝r一定是正值．
(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．
三个注意
(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．
(2)角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
(3)注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．
一例题
1．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是
(　　)．
A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋π(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
2．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在(　　)．
A．第一或第三象限 B．第一或第二象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
3．若sin α＜0且tan α＞0，则α是(　　)．
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
4．已知角α的终边过点(－1,2)，则cos α的值为(　　)．
A．－ B. C．－ D．－
5．(2011·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________.
　角的集合表示及象限角的判定
6(1)写出终边在直线y＝x上的角的集合；
(2)若角θ的终边与角的终边相同，求在[0,2π)内终边与角的终边相同的角；
(3)已知角α是第二象限角，试确定2α、所在的象限．
7 角α与角β的终边互为反向延长线，则(　　)．
A．α＝－β B．α＝180°＋β
C．α＝k·360°＋β(k∈Z) D．α＝k·360°±180°＋β(k∈Z)
三角函数的定义
8已知角θ的终边经过点P(－，m)(m≠0)且sin θ＝ m，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．
9(2011·课标全国)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝(　　)．
A．－ B．－ C. D.
弧度制的应用
10已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.
(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；
(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.
11 已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？
三角函数线及其应用
12在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围．并由此写出角α的集合：
(1)sin α≥；　(2)cos α≤－.
利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是：
(1)用边界值定出角的终边位置；
(2)根据不等式(组)定出角的范围；
(3)求交集，找单位圆中公共的部分；
(4)写出角的表达式．
13求下列函数的定义域：
(1)y＝；　 (2)y＝lg(3－4sin2x)．
14(本题满分12分)(2011·龙岩月考)已知角α终边经过点P(x，－)(x≠0)，且cos α＝x，求sin α、tan α的值．
15 已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α＋cos α＋tan α.
1C2A3C4A5　－8 7D9B
6解　(1)在(0，π)内终边在直线y＝x上的角是，
∴终边在直线y＝x上的角的集合为.
(2)∵θ＝＋2kπ(k∈Z)，∴＝＋(k∈Z)．
依题意0≤＋＜2π⇒－≤k＜，k∈Z.
∴k＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与相同的角为，，.
(3)∵α是第二象限角，
∴k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z.
∴2k·360°＋180°＜2α＜2k·360°＋360°，k∈Z.
∴2α是第三、第四象限角或角的终边在y轴非正半轴上．
∵k·180°＋45°＜＜k·180°＋90°，k∈Z，
当k＝2m(m∈Z)时，m·360°＋45°＜＜m·360°＋90°；当k＝2m＋1(m∈Z)时，
m·360°＋225°＜＜m·360°＋270°；∴为第一或第三象限角．
8由题意得，r＝，∴＝m，∵m≠0，∴m＝±
故角θ是第二或第三象限角．
当m＝时，r＝2，点P的坐标为(－，)，角θ是第二象限角，
∴cos θ＝＝＝－，tan θ＝＝＝－.
当m＝－时，r＝2，点P的坐标为(－，－)，角θ是第三象限角．
∴cos θ＝＝＝－，tan＝＝＝.
10(1)由⊙O的半径r＝10＝AB，知△AOB是等边三角形，
∴α＝∠AOB＝60°＝.
(2)由(1)可知α＝，r＝10，∴弧长l＝α·r＝×10＝，
∴S扇形＝lr＝××10＝，而S△AOB＝·AB·＝×10×＝，
∴S＝S扇形－S△AOB＝50.
11解　设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40，
S＝lr＝r(40－2r)＝r(20－r)≤2＝100.
当且仅当r＝20－r，即r＝10时，Smax＝100.
∴当r＝10，θ＝2时，扇形面积最大，即半径为10，圆心角为2弧度时，扇形面积最大．
12解　

(1)作直线y＝交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为
.

(2)作直线x＝－交单位圆于C、D两点，连接OC、OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为
.
13解　(1)∵2cos x－1≥0，∴cos x≥.
由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．

∴定义域为(k∈Z)．(2)∵3－4sin2x＞0，
∴sin2x＜，∴－＜sin x＜.
利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，

∴定义域为(k∈Z)．
14∵P(x，－)(x≠0)，
∴P到原点的距离r＝，(2分)又cos α＝x，∴cos α＝＝x，
∵x≠0，∴x＝±，∴r＝2.(6分)
当x＝时，P点坐标为(，－)，
由三角函数定义，有sin α＝－，tan α＝－；(9分)
当x＝－时，P点坐标为(－，－)，∴sin α＝－，tan α＝.(12分)
15取直线3x＋4y＝0上的点P1(4，－3)，则|OP1|＝5，则sin α＝－，cos α＝，tan α＝－，故sin α＋cos α＋tan α＝－＋＋×＝－；
取直线3x＋4y＝0上的点P2(－4,3)，
则sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.
故sin α＋cos α＋tan α＝－＋×＝－.
综上，sin α＋cos α＋tan α的值为－或－.　

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