高等数学(A,B)(上册)试卷.doc

03～09级高等数学（A）（上册）试卷

2003级高等数学（A）（上）期中试卷
一、单项选择题（每小题4分，共12分）

1., （）
（A）；（B）；
（C）；（D）。
2.方程（）
（A） 一个实根；（B）二个实根；（C）三个实根；（D）五个实根。
3.已知函数
则（）
（A） 不可导；（B）可导且；（C）取得极大值；（D）取得极小值。
二、填空题（每小题4分，共24分）
1. 时，.
2.设函数，则处 ，
其类型是 .

3.函数余项的三阶公式为
4.设函数，则 .
5.已知，则 .
6.设，其中，
三、（每小题7分，共28分）

1.求极限. 2.求极限
3.已知，求. 4.设.
四、（8分）求证，.
五、（6分）落在平静水面上的石头产生同心圆形波纹。若最外一圈半径的增大率总是，问2秒末受到扰动的水面面积的增大率为多少？
六、（8分）试就a的不同取值，讨论方程的实根的个数。
七、（6分）设函数，，，证明：至少存在一点，使。
八、（8分）在椭圆上求一点，使得它与另外两点，构成的三角形。

2004级高等数学（A）（上）期中试卷
一. 填空题(每小题4分,共20分)
1.设时, 与是等价无穷小,则 .
2.设在处连续,则 .
3.设则 .
4.函数在区间 内单调减少.
5.函数在处的带Lagrange余项的一阶Taylor公式为
二. 选择题(每小题4分,共16分)
1.设则是的 [ ]
(A) 连续点 (B) 第一类(非可去)间断点 (C) 可去间断点 (D) 第二类间断点
2.设且在处连续,,则 [ ]
(A) = (B) = - (C) (D) 不存在
3.函数在内的零点个数为 [ ]
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
4.设曲线则该曲线 [ ]
(A)有渐近线 (B) 仅有水平渐近
(C) 仅有垂直渐近线 (D) 既有水平渐近线, 又有垂直渐近线
三. 计算题(每小题7分共3 5分)
1. 2.
3. 设是由方程确定的隐函数,求.
4. 设, 求.
5. 设函数且存在,试确定常数
四.(8分) 证明不等式: 当时, .
五.(8分) 求曲线的切线,使切线与直线及直线所围成的图形的面积最大.
六.(7分) 设,证明数列收敛,并求.
七.(6分) 设在上连续,在内可导,且证明:，使得
.

2005级高等数学（A）（上）期中试卷
一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）
1． ；
2．当时,与是等价无穷小,则 ;
3．设，则 ；

4．函数在处带有余项的二阶公式为 ；
5．已知函数可导，则 ， 。
二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）
6．设函数，则 [ ]
（A）都是的第一类间断点（B）都是的第二类间断点（C）是的第一类间断点，是的第二类间断点
（D）是的第二类间断点，是的第一类间断点
7．设函数由参数方程确定，则曲线在处的切线与轴交点的横坐标是 [ ]
（A） （B） （C） （D）8．以下四个命题中，正确的是 [ ]
（A）若在内连续，则在内有界
（B）若在内连续，则在内有界
（C）若在内有界，则在内有界
（D）若在内有界，则在内有界
9．当取下列哪个数值时，函数恰有两个不同的零点[ ]
（A） （B） （C） （D）
三．计算题（本题共5小题，每小题7分，满分35分）
10． 11。
12． 13。设求
14．设函数由方程所确定，求。
四．（本题共4道题，满分29分）
15．（本题满分6分）如果以每秒的匀速给一个气球充气，假设气球内气压保持常值，且形状始终为球形，问当气球的半径为时，半径增加的速率是多少？
16．（本题满分7分）证明不等式：
17．（本题满分8分）在抛物线上求一点，，使弦的长度最短，并求最短长度，其中是过点的法线与抛物线的另一个交点。
18．（本题满分8分）设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且
，证明：
（1） 至少存在一点，使得；
(2) 至少存在互异的两点，使得

2006级高等数学（A）（上）期中试卷
一. 填空题（前四题每题4分，第5题8分，满分24分）
1．函数的全部间断点分别是 ，它们的类型依次分别为 ；
2．已知，则，；
3．设，其中为可微函数，则微分；
4．设，若在处可导，则，；
5．举出符合各题要求的一例，并将其填写在横线上：
（1）在处不连续，但当时，极限存在的函数有
（2）在处连续，但在时不可导的函数有
（3）在处导数为，但不为极值点的连续函数有
（4）属于“”或“”未定型，且存在有限极限，但极限不能用洛必达法则求得
的有
二.单项选择题（每题4分，满分12分）
1．设是单调增函数，是单调减函数，且复合函数，
都有意义，则下列函数组中全为单调减函数的是 [ ]
(A) (B)

(C) (D)
2．当时，若是比更高阶的无穷小，则 [ ]
(A) (B) (C) (D)
3．下面四个论述中正确的是 [ ]
(A)若，且数列单调递减，则数列收敛，且其极限 (B)若，且数列收敛，则其极限
(C)若，则
(D)若，则存在正整数，当时，都有。
三.计算题（每题7分，满分35分）
1． 2.
3．设，求
4. 设，求.
5. 设是由方程所确定的隐函数，求曲线在点
处的切线方程.
四.（8分）设，证明数列收敛并求极限.
五.（8分）证明：当时, 有
.
六. (7分) 设函数在区间上连续，在内可导，，试证：存在一点，使得
七．(6分) 设 (其中为正整数)，
（1）证明：在内有唯一的零点，即存在唯一的，使；
（2）计算极限.

2007级高等数学（A）（上）期中试卷
一.填空题（每小题4分，满分24分）
1．当时，与是等价无穷小，则，；
2．已知，则，；
3．函数带余项的阶公式是
4．；
5．当某质点沿曲线运动到点处时, 该质点的坐标和坐标关于时间的变化率相等，点的坐标为
6．函数的单调增加区间为 ，极大值为 .
二.单项选择题（每题4分，满分12分）
7．设对, 有, , 则 [ ]
(A) 存在且等于零 (B) 存在且不等于零 (C) 一定不存在 (D) 不一定存在
8．极限 [ ]
(A) (B ) (C) (D)
9．函数的不可导点的个数为 [ ]
(A) (B) (C) (D)
三.计算题（每小题8分，满分32分）
10． 11. 设，求.
12．设，求.
13.试确定常数、的值，使得曲线和在点处相切，并求切线方程.
四(14).（8分）讨论的连续性，并指出间断点的类型（应说明理由）.
五(15).（8分）设函数在上定义，,并对任意实数和,恒有, 证明在上处处可导,并求.
六(16). (8分) 设, , 且，证明：当时，.
七(17)．(8分) 设在闭区间上具有一阶连续导数，在开区间内二阶可导，且，， 试证：至少存在一点 使得.

2008级高等数学（A）（上）期中试卷
一.填空题（每个空格4分，本题满分32分）
1． ；
2．当时，与是等价无穷小，则 ， ；
3．设，则______________；
4．设是由方程所确定的隐函数，则 ；
5．在处带有余项的二阶公式为_____ ______；
6．已知曲线和在点处相切，则 ， .
二.单项选择题（每小题4分，本题满分12分）
7．设,其中常数、、、互不相等,且
, 则的值等于 [ ]
(A) (B) (C) (D)
8．若极限存在，则下列极限一定存在的是 [ ]
(A) （为实常数） (B )
(C) (D)
9． 已知存在,则 [ ]
(A) (B) (C) (D)
三.计算题（本题满分27分）
10．（7分） 11. （6分）
12．（7分）设，求.
13. （7分）设，其中函数具有二阶连续导数，求.
四(14).（7分）已知函数可导，试求常数和的值.
五(15).（7分）试求函数的间断点，并指出间断点的类型（需说明理由）.
六(16). (9分)设，证明：.
七(17)．(6分) 设函数在区间上二阶可导，且，证明：对于任意的，都存在，使得 .

2009级高等数学（A）（上）期中试卷（附在最后面）

2003级高等数学（A）（上）期末试卷
一、单项选择题（每小题4分，共16分）

1．设函数由方程确定，则（ ）

2．曲线的渐近线的条数为（ ）

3．设函数在定义域内可导的图形如右图所示，
则导函数的图形为（ ）

4．微分方程的特解形式为（ ）

二、填空题（每小题3分，共18分）
1．
2．若，其中可导，则
3．设若导函数在处连续，则的取值范围是。
4．若，则的单增区间为,单减区间为.
5．曲线的拐点是
6．微分方程的通解为
三、计算下列各题（每小题6分，共36分）

1．计算积分 2．计算积分
3. 计算积分 4. 计算积分
5.设连续，在处可导，且，求
6.求微分方程的通解
四.（8分）求微分方程满足条件的特解
五.（8分）设平面图形D由与所确定，试求D绕直线旋转一周所生成的旋转体的体积。
六.（7分）设质量均匀分布的平面薄板由曲线C:与轴所围成，试求其质量
七.（7分）设函数在上有连续的二阶导数，且，证明：至少存在一点，使得

2004级高等数学（A）（上）期末试卷
一. 填空题（每小题4分，共20分）
1．函数的间断点 是第 类间断点.
2. 已知是的一个原函数,且,则 .
3. .
4. 设,则 .
5. 设函数,则当 时,取得最大值.
二. 单项选择题(每小题4分,共16分)
1. 设当时,都是无穷小,则当时,下列表达式中不一定为无穷小的是 [ ]
(A) (B) (C) (D)
2. 曲线的渐近线共有 [ ]
(A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条
3. 微分方程的一个特解形式为 [ ]
(A) (B) (C) (D)
4. 下列结论正确的是 [ ]
(A) 若,则必有.
(B) 若在区间上可积,则在区间上可积.
(C) 若是周期为的连续函数,则对任意常数都有.
(D) 若在区间上可积,则在内必有原函数.
三. (每小题7分,共35分)
1.
2. 设函数是由方程所确定的隐函数,求曲线在点处的切线方程.
3. 4.
5. 求初值问题 的解.
四.(8分) 在区间上求一点使得图中所示阴影部分绕轴旋转所得旋转体的体积最小.

五.(7分) 设 ,求证 .
六.(7分) 设当时,可微函数满足条件

且,试证: 当时,有 成立.
七.(7分) 设在区间上连续,且,
证明在区间内至少存在互异的两点,使.

2005级高等数学（A）（上）期末试卷
一．填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）
1． ；
2．曲线的斜渐近线方程是 ；
3．设是由方程所确定的隐函数，则 ；
4．设在区间上连续，且，则 ；
5．设，则 ；
6． ；
7．曲线相应于的一段弧长可用积分 表示；
8．已知与分别是微分方程的两个特解，则常数
，常数 ；
9．是曲线以点为拐点的 条件。
二．计算下列各题（本题共4小题，每小题7分，满分28分）
1．设，求
2． 3． 4．
三．（本题满分9分）设有抛物线，试确定常数、的值，使得（1）与直线相切；（2）与轴所围图形绕轴旋转所得旋转体的体积最大。
四．（本题共2小题，满分14分）
1．（本题满分6分）求微分方程的通解。
2．（本题满分8分）求微分方程满足初始条件的特解。
五．（本题满分7分） 第4页
试证：（1）设，方程在时存在唯一的实根；
（2）当时，是无穷小量，且是与等价的无穷小量。
六．（本题满分6分）证明不等式：，
其中是大于的正整数。

2006级高等数学（A）（上）期末试卷
一.填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）
1． ；
2．曲线在对应的点处的切线方程为 ；
3．函数在区间 内严格单调递减；
4．设是由方程所确定的隐函数，则 ；
5． ；
6．设连续，且，已知,则 ；
7．已知在任意点处的增量，当时，是的
高阶无穷小，已知，则；
8．曲线的斜渐近线方程是 ；
9．若二阶线性常系数齐次微分方程有两个特解，则该方程为
.
二.计算题（本题共4小题，每小题7分，满分28分）
1．计算不定积分 2．计算定积分
3．计算反常积分 4．设 ，求

三．（本题满分7分）求曲线自到一段弧的长度。 （第3页）
四．（本题共2小题，第1小题7分，第2小题9分，满分16分）
1．求微分方程的通解。
2．求微分方程的特解，使得该特解在原点处与直线相切。
五．（本题满分7分）设，求积分的最大值。 （第4页）
六．（本题满分6分）设函数在上存在二阶连续导数，且，证明：至少存在一点，使得 。
2007级高等数学（A）（上）期末试卷
一.填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）
1．；
2．设，则；
3．已知，则；
4．对数螺线在对应的点处的切线方程是；
5．设是由方程确定的隐函数，则的单调增加区间是，单调减少区间是；
6．曲线的拐点坐标是，渐进线方程是；
7．；
8． ；
9．二阶常系数线性非齐次微分方程的特解形式为
.
二.计算下列积分（本题共3小题，每小题7分，满分21分）
10. 11．

12。
三（13）．（本题满分8分）设，.
（1）问是否为在内的一个原函数？为什么？（2）求.
四（14）．（本题满分7分）设，求.
五（15）．（本题满分6分）求微分方程的通解.
六（16）．（本题满分8分）设、满足，且，求.
七（17）．（本题满分8分） 设直线与抛物线所围成的图形面积为，它们与直线所围成的图形面积为.（1）试确定的值，使达到最小，并求出最小值.（2）求该最小值所对应的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积.
八（18）．（本题满分6分）设，求证：当时，.

2008级高等数学（A）（上）期末试卷
一.填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）
1．函数的单调增加区间为 ；
2．已知，则 ；
3．曲线的拐点是 ；
4．曲线的斜渐近线的方程是 ；
5．二阶常系数线性非齐次微分方程的特解形式是 ；
6．设是常数，若对，有，则 ；
7． ；

8．设是连续函数，且，则 ；
9．设，则 .

二.按要求计算下列各题（本题共5小题，每小题6分，满分30分）
10． 11.
12．已知的一个原函数为，求
13．设，求常数、、，使得
。
14。
三（15）．（本题满分8分）求微分方程满足初始条件，
的特解.
四（16）．（本题满分7分）设函数在区间上连续，且恒取正值，若对，在上的积分（平）均值等于与的几何平均值，试求的表达式.
五（17）．（本题满分7分） 在平面上将连接原点和点的线段（即区间）作等分，分点记作，，过作抛物线的切线，切点为，（1）设三角形的面积为，求；（2）求极限.
六（18）．（本题满分6分）试比较与的大小，并给出证明注：若通过比较这两个数的近似值确定大小关系，则不得分）
七（19）．（本题满分6分）设在区间上连续可导，，求证： .

2009级高等数学（A）（上）期末试卷
1．函数的定义域是 ，值域是 ；
2．设，当 时，在处连续；
3．曲线的斜渐进线的方程是 ；
4． ；
5．函数的极大值点是 ；
6． ；
7．设是由所确定的函数，则 ；
8．曲线族（,为任意常数）所满足的微分方程是 ；
9． .
二.按要求计算下列各题（本题共5小题，每小题6分，满分30分）
10． 11.
12． 13．
14。设，，计算.
三（15）．（本题满分8分）求微分方程满足初始条件，
的特解.
四（16）．（本题满分8分）设函数在区间上可导，在内恒取正值，且满足，又由曲线与直线所围成的图形的面积为，求函数的表达式，并计算图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积.
五（17）．（本题满分6分） 已知方程在区间内存在两个互异的实根，试确定常数的取值范围.
六（18）．（本题满分6分）设在区间上非负、连续，且满足,
证明：对，有.
七（19）．（本题满分6分）设，在处可导，且，
（1）求证：，使得

（2）求极限.

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