高等数学(A,B)(上册)试卷.doc

03～09级高等数学（A）（上册）试卷

2003级高等数学（A）（上）期中试卷
一、单项选择题（每小题4分，共12分）

1., （）
（A）；（B）；
（C）；（D）。
2.方程（）
（A） 一个实根；（B）二个实根；（C）三个实根；（D）五个实根。
3.已知函数
则（）
（A） 不可导；（B）可导且；（C）取得极大值；（D）取得极小值。
二、填空题（每小题4分，共24分）
1. 时，.
2.设函数，则处 ，
其类型是 .

3.函数余项的三阶公式为
4.设函数，则 .
5.已知，则 .
6.设，其中，
三、（每小题7分，共28分）

1.求极限. 2.求极限
3.已知，求. 4.设.
四、（8分）求证，.
五、（6分）落在平静水面上的石头产生同心圆形波纹。若最外一圈半径的增大率总是，问2秒末受到扰动的水面面积的增大率为多少？
六、（8分）试就a的不同取值，讨论方程的实根的个数。
七、（6分）设函数，，，证明：至少存在一点，使。
八、（8分）在椭圆上求一点，使得它与另外两点，构成的三角形。

2004级高等数学（A）（上）期中试卷
一. 填空题(每小题4分,共20分)
1.设时, 与是等价无穷小,则 .
2.设在处连续,则 .
3.设则 .
4.函数在区间 内单调减少.
5.函数在处的带Lagrange余项的一阶Taylor公式为
二. 选择题(每小题4分,共16分)
1.设则是的 [ ]
(A) 连续点 (B) 第一类(非可去)间断点 (C) 可去间断点 (D) 第二类间断点
2.设且在处连续,,则 [ ]
(A) = (B) = - (C) (D) 不存在
3.函数在内的零点个数为 [ ]
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
4.设曲线则该曲线 [ ]
(A)有渐近线 (B) 仅有水平渐近
(C) 仅有垂直渐近线 (D) 既有水平渐近线, 又有垂直渐近线
三. 计算题(每小题7分,共3 5分)
1. 2.
3. 设是由方程确定的隐函数,求.
4. 设, 求.
5. 设函数且存在,试确定常数
四.(8分) 证明不等式: 当时, .
五.(8分) 求曲线的切线,使切线与直线及直线所围成的图形的面积最大.
六.(7分) 设,证明数列收敛,并求.
七.(6分) 设在上连续,在内可导,且证明:，使得
.

2005级高等数学（A）（上）期中试卷
一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）
1． ；
2．当时,与是等价无穷小,则 ;
3．设，则 ；
4．函数在处带有余项的二阶公式为 ；
5．已知函数可导，则 ， 。
二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）
6．设函数，则 [ ]
（A）都是的第一类间断点（B）都是的第二类间断点（C）是的第一类间断点，是的第二类间断点
（D）是的第二类间断点，是的第一类间断点
7．设函数由参数方程确定，则曲线在处的切线与轴交点的横坐标是 [ ]
（A） （B） （C） （D）8．以下四个命题中，正确的是 [ ]
（A）若在内连续，则在内有界
（B）若在内连续，则在内有界
（C）若在内有界，则在内有界
（D）若在内有界，则在内有界
9．当取下列哪个数值时，函数恰有两个不同的零点[ ]
（A） （B） （C） （D）
三．计算题（本题共5小题，每小题7分，满分35分）
10． 11。
12． 13。设求
14．设函数由方程所确定，求。
四．（本题共4道题，满分29分）
15．（本题满分6分）如果以每秒的匀速给一个气球充气，假设气球内气压保持常值，且形状始终为球形，问当气球的半径为时，半径增加的速率是多少？
16．（本题满分7分）证明不等式：
17．（本题满分8分）在抛物线上求一点，，使弦的长度最短，并求最短长度，其中是过点的法线与抛物线的另一个交点。
18．（本题满分8分）设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且
，证明：
（1） 至少存在一点，使得；
(2) 至少存在互异的两点，使得

2006级高等数学（A）（上）期中试卷
一. 填空题（前四题每题4分，第5题8分，满分24分）
1．函数的全部间断点分别是 ，它们的类型依次分别为 ；
2．已知，则，；
3．设，其中为可微函数，则微分；
4．设，若在处可导，则，；
5．举出符合各题要求的一例，并将其填写在横线上：
（1）在处不连续，但当时，极限存在的函数有
（2）在处连续，但在时不可导的函数有
（3）在处导数为，但不为极值点的连续函数有
（4）属于“”或“”未定型，且存在有限极限，但极限不能用洛必达法则求得
的有
二.单项选择题（每题4分，满分12分）
1．设是单调增函数，是单调减函数，且复合函数，
都有意义，则下列函数组中全为单调减函数的是 [ ]
(A) (B)
(C) (D)
2．当时，若是比更高阶的无穷小，则 [ ]
(A) (B) (C) (D)
3．下面四个论述中正确的是 [ ]
(A)若，且数列单调递减，则数列收敛，且其极限 (B)若，且数列收敛，则其极限
(C)若，则
(D)若，则存在正整数，当时，都有。
三.计算题（每题7分，满分35分）
1． 2.
3．设，求 .
4. 设，求.
5. 设是由方程所确定的隐函数，求曲线在点
处的切线方程.
四.（8分）设，证明数列收敛并求极限.
五.（8分）证明：当时, 有
.
六. (7分) 设函数在区间上连续，在内可导，，试证：存在一点，使得
七．(6分) 设 (其中为正整数)，
（1）证明：在内有唯一的零点，即存在唯一的，使；
（2）计算极限.

2007级高等数学（A）（上）期中试卷
一.填空题（每小题4分，满分24分）
1．当时，与是等价无穷小，则，；
2．已知，则，；
3．函数带余项的阶公式是
4．；
5．当某质点沿曲线运动到点处时, 该质点的坐标和坐标关于时间的变化率相等，点的坐标为
6．函数的单调增加区间为 ，极大值为 .
二.单项选择题（每题4分，满分12分）
7．设对, 有, , 则 [ ]
(A) 存在且等于零 (B) 存在且不等于零 (C) 一定不存在 (D) 不一定存在
8．极限 [ ]
(A) (B ) (C) (D)
9．函数的不可导点的个数为 [ ]
(A) (B) (C) (D)
三.计算题（每小题8分，满分32分）
10． 11. 设，求.
12．设，求.
13.试确定常数、的值，使得曲线和在点处相切，并求切线方程.
四(14).（8分）讨论的连续性，并指出间断点的类型（应说明理由）.
五(15).（8分）设函数在上定义，,并对任意实数和,恒有, 证明在上处处可导,并求.
六(16). (8分) 设, , 且，证明：当时，.
七(17)．(8分) 设在闭区间上具有一阶连续导数，在开区间内二阶可导，且，， 试证：至少存在一点 使得.

2008级高等数学（A）（上）期中试卷
一.填空题（每个空格4分，本题满分32分）
1． ；
2．当时，与是等价无穷小，则 ， ；
3．设，则______________；
4．设是由方程所确定的隐函数，则 ；
5．在处带有余项的二阶公式为_____ ______；
6．已知曲线和在点处相切，则 ， .
二.单项选择题（每小题4分，本题满分12分）
7．设,其中常数、、、互不相等,且
, 则的值等于 [ ]
(A) (B) (C) (D)
8．若极限存在，则下列极限一定存在的是 [ ]
(A) （为实常数） (B )
(C) (D)
9． 已知存在,则 [ ]
(A) (B) (C) (D)
三.计算题（本题满分27分）
10．（7分） 11. （6分）
12．（7分）设，求.
13. （7分）设，其中函数具有二阶连续导数，求.
四(14).（7分）已知函数可导，试求常数和的值.
五(15).（7分）试求函数的间断点，并指出间断点的类型（需说明理由）.
六(16). (9分)设，证明：.
七(17)．(6分) 设函数在区间上二阶可导，且，证明：对于任意的，都存在，使得 .

2009级高等数学（A）（上）期中试卷（附在最后面）

2003级高等数学（A）（上）期末试卷
一、单项选择题（每小题4分，共16分）

1．设函数由方程确定，则（ ）

2．曲线的渐近线的条数为（ ）

3．设函数在定义域内可导，的图形如右图所示，
则导函数的图形为（ ）

4．微分方程的特解形式为（ ）

二、填空题（每小题3分，共18分）
1．
2．若，其中可导，则
3．设若导函数在处连续，则的取值范围是。
4．若，则的单增区间为,单减区间为.
5．曲线的拐点是
6．微分方程的通解为
三、计算下列各题（每小题6分，共36分）

1．计算积分 2．计算积分
3. 计算积分 4. 计算积分
5.设连续，在处可导，且，求
6.求微分方程的通解
四.（8分）求微分方程满足条件的特解
五.（8分）设平面图形D由与所确定，试求D绕直线旋转一周所生成的旋转体的体积。
六.（7分）设质量均匀分布的平面薄板由曲线C:与轴所围成，试求其质量
七.（7分）设函数在上有连续的二阶导数，且，证明：至少存在一点，使得

2004级高等数学（A）（上）期末试卷
一. 填空题（每小题4分，共20分）
1．函数的间断点 是第 类间断点.
2. 已知是的一个原函数,且,则 .
3. .
4. 设,则 .
5. 设函数,则当 时,取得最大值.
二. 单项选择题(每小题4分,共16分)
1. 设当时,都是无穷小,则当时,下列表达式中不一定为无穷小的是 [ ]
(A) (B) (C) (D)
2. 曲线的渐近线共有 [ ]
(A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条
3. 微分方程的一个特解形式为 [ ]
(A) (B) (C) (D)
4. 下列结论正确的是 [ ]
(A) 若,则必有.
(B) 若在区间上可积,则在区间上可积.
(C) 若是周期为的连续函数,则对任意常数都有.
(D) 若在区间上可积,则在内必有原函数.
三. (每小题7分,共35分)
1.
2. 设函数是由方程所确定的隐函数,求曲线在点处的切线方程.
3. 4.
5. 求初值问题 的解.
四.(8分) 在区间上求一点,使得图中所示阴影部分绕轴旋转所得旋转体的体积最小.

五.(7分) 设 ,求证 .
六.(7分) 设当时,可微函数满足条件

且,试证: 当时,有 成立.
七.(7分) 设在区间上连续,且,
证明在区间内至少存在互异的两点,使.

2005级高等数学（A）（上）期末试卷
一．填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）
1． ；
2．曲线的斜渐近线方程是 ；
3．设是由方程所确定的隐函数，则 ；
4．设在区间上连续，且，则 ；
5．设，则 ；
6． ；
7．曲线相应于的一段弧长可用积分 表示；
8．已知与分别是微分方程的两个特解，则常数
，常数 ；
9．是曲线以点为拐点的 条件。
二．计算下列各题（本题共4小题，每小题7分，满分28分）
1．设，求
2． 3． 4．
三．（本题满分9分）设有抛物线，试确定常数、的值，使得（1）与直线相切；（2）与轴所围图形绕轴旋转所得旋转体的体积最大。
四．（本题共2小题，满分14分）
1．（本题满分6分）求微分方程的通解。
2．（本题满分8分）求微分方程满足初始条件的特解。
五．（本题满分7分） 第4页
试证：（1）设，方程在时存在唯一的实根；
（2）当时，是无穷小量，且是与等价的无穷小量。
六．（本题满分6分）证明不等式：，
其中是大于的正整数。

2006级高等数学（A）（上）期末试卷
一.填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）
1． ；
2．曲线在对应的点处的切线方程为 ；
3．函数在区间 内严格单调递减；
4．设是由方程所确定的隐函数，则 ；
5． ；
6．设连续，且，已知,则 ；
7．已知在任意点处的增量，当时，是的
高阶无穷小，已知，则；
8．曲线的斜渐近线方程是 ；
9．若二阶线性常系数齐次微分方程有两个特解，则该方程为
.
二.计算题（本题共4小题，每小题7分，满分28分）
1．计算不定积分 2．计算定积分
3．计算反常积分 4．设 ，求

三．（本题满分7分）求曲线自到一段弧的长度。 （第3页）
四．（本题共2小题，第1小题7分，第2小题9分，满分16分）
1．求微分方程的通解。
2．求微分方程的特解，使得该特解在原点处与直线相切。
五．（本题满分7分）设，求积分的最大值。 （第4页）
六．（本题满分6分）设函数在上存在二阶连续导数，且，证明：至少存在一点，使得 。
2007级高等数学（A）（上）期末试卷
一.填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）
1．；
2．设，则；
3．已知，则；
4．对数螺线在对应的点处的切线方程是；
5．设是由方程确定的隐函数，则的单调增加区间是，单调减少区间是；
6．曲线的拐点坐标是，渐进线方程是；
7．；
8． ；
9．二阶常系数线性非齐次微分方程的特解形式为
.
二.计算下列积分（本题共3小题，每小题7分，满分21分）
10. 11．

12。
三（13）．（本题满分8分）设，.
（1）问是否为在内的一个原函数？为什么？（2）求.
四（14）．（本题满分7分）设，求.
五（15）．（本题满分6分）求微分方程的通解.
六（16）．（本题满分8分）设、满足，且，求.
七（17）．（本题满分8分） 设直线与抛物线所围成的图形面积为，它们与直线所围成的图形面积为.（1）试确定的值，使达到最小，并求出最小值.（2）求该最小值所对应的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积.
八（18）．（本题满分6分）设，求证：当时，.

2008级高等数学（A）（上）期末试卷
一.填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）
1．函数的单调增加区间为 ；
2．已知，则 ；
3．曲线的拐点是 ；
4．曲线的斜渐近线的方程是 ；
5．二阶常系数线性非齐次微分方程的特解形式是 ；
6．设是常数，若对，有，则 ；
7． ；

8．设是连续函数，且，则 ；
9．设，则 .

二.按要求计算下列各题（本题共5小题，每小题6分，满分30分）
10． 11.
12．已知的一个原函数为，求
13．设，求常数、、，使得
。
14。
三（15）．（本题满分8分）求微分方程满足初始条件，
的特解.
四（16）．（本题满分7分）设函数在区间上连续，且恒取正值，若对，在上的积分（平）均值等于与的几何平均值，试求的表达式.
五（17）．（本题满分7分） 在平面上将连接原点和点的线段（即区间）作等分，分点记作，，过作抛物线的切线，切点为，（1）设三角形的面积为，求；（2）求极限.
六（18）．（本题满分6分）试比较与的大小，并给出证明.（注：若通过比较这两个数的近似值确定大小关系，则不得分）
七（19）．（本题满分6分）设在区间上连续可导，，求证： .

2009级高等数学（A）（上）期末试卷
1．函数的定义域是 ，值域是 ；
2．设，当 时，在处连续；
3．曲线的斜渐进线的方程是 ；
4． ；
5．函数的极大值点是 ；
6． ；
7．设是由所确定的函数，则 ；
8．曲线族（,为任意常数）所满足的微分方程是 ；
9． .
二.按要求计算下列各题（本题共5小题，每小题6分，满分30分）
10． 11.
12． 13．
14。设，，计算.
三（15）．（本题满分8分）求微分方程满足初始条件，
的特解.
四（16）．（本题满分8分）设函数在区间上可导，在内恒取正值，且满足，又由曲线与直线所围成的图形的面积为，求函数的表达式，并计算图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积.
五（17）．（本题满分6分） 已知方程在区间内存在两个互异的实根，试确定常数的取值范围.
六（18）．（本题满分6分）设在区间上非负、连续，且满足,
证明：对，有.
七（19）．（本题满分6分）设，在处可导，且，
（1）求证：，使得

（2）求极限.

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