常微分方程试题库 - 邢台学院.doc

常微分方程试题库
（一）、填空题（每空3分）
1、 当 时，方程称为恰当方程，或称全微分方程，其原函数为： 。
2、形如________________的方程，称为齐次方程。
3、求满足的解等价于求积分方程____________________的连续解。
4、设是一阶非齐次线性方程于区间上的任一解，是其对应齐线性方程于区间上的一个非零解。则一阶非齐次线性方程的全部解的共同表达式为： 。
5、若为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是_____
6、方程组的_________________,称之为的一个基本解组。
7、若是常系数线性方程组的基解矩阵，则 = 。
8、方程 称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为 。
9、设是与二阶线性方程： ，对应的齐次线性方程的基本解组，则的二阶线性方程全部解的共同表达式为： .
10、形如 的方程称为欧拉方程。
11、若和都是的基解矩阵，则和具有的关系： 。
12、若向量函数在域上 ，则方程组的解存在且惟一。
13、方程经过变换 ，可化为含有 个未知函数的一阶微分方程组。
14、方程的基本解组是 ．
15、向量函数组在区间I上线性相关的________________条件是在区间I上它们的朗斯基行列式．
16、若是常系数线性方程组的 基解矩阵,则该方程满足初始条件的解=_____________________
17、阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间．
18、方程 称为黎卡提方程。
19、如果在上： ，则方程存在唯一的解定义于区间上，连续且满足初始条件，其中 ， 。
20、若1，2，……，是阶齐线性方程的个解，为其伏朗斯基行列式，则满足一阶线性方程 。
21、方程有只含的积分因子的充要条件是 。其积分因子为： ；有只含的积分因子的充要条件是 ，其积分因子为： 。
22、方程 称为黎卡提方程，若它有一个特解,则经过变换 ，可化为伯努利方程。
23、若，而（x）、且时，则：= 。
24、若是阶非齐线形方程的一个特解是其对应齐线性方程的一个基本解组，则非齐线形方程的所有解可表为 。
25、如果是n×n矩阵，是n维列向量，则它们在 atb上 时，方程组满足初始条件的解在atb上存在唯一。
26、若，而，是关于的次多项式.则当时, 有，其中是的次多项式,它是将按的升幂排列后用通常的多项式除法去除1,在第 步上得到的商式。
27、在用皮卡逐步逼近法求方程组，的近似解时，则 。
28、若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为 ．
29、线性齐次微分方程组的一个基本解组的个数不能多于 个。
30、二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要条件是 ．
31、方程的所有常数解是 ．
32、方程所有常数解是 ．
33、 线性齐次微分方程组的解组为基本解组的 条件是它们的朗斯基行列式．
34、微分方程的阶数是____________
35、对于任意的 , (为某一矩形区域),若存在常数使 _________ ,则称在上关于满足李普希兹条件.
36、函数组的伏朗斯基行列式为 。
37、若矩阵具有个线性无关的特征向量，它们对应的特征值分别为，那么矩阵= 线性方程组的一个基解矩阵。
38、设是方程组的基本解矩阵，为的某一解，则它的任一解都可表为 。
39、方程 称为变量分离方程,它有积分因子 。
40、若是的基解矩阵，则向量函数
= 是的满足初始条件的解；向量函数= 是的满足初始条件的解。
41、方程是 阶方程。
42、方程是 阶方程。
43、函数满足的一阶方程是 。
44、函数满足的一阶方程是 。
45、方程的通解为 。
46、方程的通解为 。
47、齐次方程经过变换 可化为变量分离方程。
48、设是一阶线性齐次方程于区间上的解。若存在某点，有，则 。
49、方程的通解为： 。
50、方程的通解为： 。
51、方程的通解为： 。
52、方程的通解为： 。
53、方程的通解为： 。
   54、方程的积分因子为： 。
55、方程的积分因子为： 。
56、方程 的左端可以因式分解为： ，从而得到两个方程
与 ，原方程的解有 和 。
57、方程 称为克莱洛方程，它的通解为：
。
58、设，是区间上(LH)的n个解，则在区间上线性相关的 条件是向量组线性相关.
59、设是 (LH)的任一基本解矩阵，则 (LH)的标准基本解矩阵是 .
60、 非齐线性次方程组(NH)的任意两个解之差都
是 的解.
填空题参考答案（每空3分）
1., , 或
；
2. ； 3. ； 4. ；
5. 它们的朗斯基行列式W(x)不为零； 6. n个线性无关解；
7.
8. ，，
9. ；
10. ；
11. 存在非奇异矩阵A,使得；
12. 连续且关于满足李氏条件； 13. ；
14. ；15. 充分； 16. ；17. ；
18. ；
19. 连续且关于满足李氏条件，， ；
20. ；21. 只与x有关，   ；  只与y 有关，   ；
22. ，；23. ；
24. ；25. 连续；26. ；
27. ；28. ；29. ；
30. 线性无关；31. ；
32. ；33. 充要；34. 一；
35. ；36. ；
37. ；38. ；39. ，；
40. ， . 41.二；42.三；
43. ；44.；45.；46.；
47. ； 48. 则在区间上恒等于零；49. ； 50. ；
51. ；52. ；53. ；54. ；55. ；
56. 、、、、；
57. 、； 58. 充要；59. ；