常微分方程试题库 - 邢台学院.doc

常微分方程试题库
（一）、填空题（每空3分）
1、 当 时，方程称为恰当方程，或称全微分方程，其原函数为： 。
2、形如________________的方程，称为齐次方程。
3、求满足的解等价于求积分方程____________________的连续解。
4、设是一阶非齐次线性方程于区间上的任一解，是其对应齐线性方程于区间上的一个非零解。则一阶非齐次线性方程的全部解的共同表达式为： 。
5、若为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。
6、方程组的_________________,称之为的一个基本解组。
7、若是常系数线性方程组的基解矩阵，则 = 。
8、方程 称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为 。
9、设是与二阶线性方程： ，对应的齐次线性方程的基本解组，则的二阶线性方程全部解的共同表达式为： .
10、形如 的方程称为欧拉方程。
11、若和都是的基解矩阵，则和具有的关系： 。
12、若向量函数在域上 ，则方程组的解存在且惟一。
13、方程经过变换 ，可化为含有 个未知函数的一阶微分方程组。
14、方程的基本解组是 ．
15、向量函数组在区间I上线性相关的________________条件是在区间I上它们的朗斯基行列式．
16、若是常系数线性方程组的 基解矩阵,则该方程满足初始条件的解=_____________________
17、阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间．
18、方程 称为黎卡提方程。
19、如果在上： ，则方程存在唯一的解定义于区间上，连续且满足初始条件，其中 ， 。
20、若1，2，……，是阶齐线性方程的个解，为其伏朗斯基行列式，则满足一阶线性方程 。
21、方程有只含的积分因子的充要条件是 。其积分因子为： ；有只含的积分因子的充要条件是 ，其积分因子为： 。
22、方程 称为黎卡提方程，若它有一个特解,则经过变换 ，可化为伯努利方程。
23、若，而（x）、且时，则：= 。
24、若是阶非齐线形方程的一个特解，（）是其对应齐线性方程的一个基本解组，则非齐线形方程的所有解可表为 。
25、如果是n×n矩阵，是n维列向量，则它们在 atb上 时，方程组满足初始条件的解在atb上存在唯一。
26、若，而，是关于的次多项式.则当时, 有，其中是的次多项式,它是将按的升幂排列后用通常的多项式除法去除1,在第 步上得到的商式。
27、在用皮卡逐步逼近法求方程组，的近似解时，则 。
28、若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为 ．
29、线性齐次微分方程组的一个基本解组的个数不能多于 个。
30、二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要条件是 ．
31、方程的所有常数解是 ．
32、方程所有常数解是 ．
33、 线性齐次微分方程组的解组为基本解组的 条件是它们的朗斯基行列式．
34、微分方程的阶数是____________
35、对于任意的 , (为某一矩形区域),若存在常数使 ______________________ ,则称在上关于满足李普希兹条件.
36、函数组的伏朗斯基行列式为 。
37、若矩阵具有个线性无关的特征向量，它们对应的特征值分别为，那么矩阵= 线性方程组的一个基解矩阵。
38、设是方程组的基本解矩阵，为的某一解，则它的任一解都可表为 。
39、方程 称为变量分离方程,它有积分因子 。
40、若是的基解矩阵，则向量函数
= 是的满足初始条件的解；向量函数= 是的满足初始条件的解。
41、方程是 阶方程。
42、方程是 阶方程。
43、函数满足的一阶方程是 。
44、函数满足的一阶方程是 。
45、方程的通解为 。
46、方程的通解为 。
47、齐次方程经过变换 可化为变量分离方程。
48、设是一阶线性齐次方程于区间上的解。若存在某点，有，则 。
49、方程的通解为： 。
50、方程的通解为： 。
51、方程的通解为： 。
52、方程的通解为： 。
53、方程的通解为： 。
   54、方程的积分因子为： 。
55、方程的积分因子为： 。
56、方程 的左端可以因式分解为： ，从而得到两个方程
与 ，原方程的解有 和 。
57、方程 称为克莱洛方程，它的通解为：
。
58、设，是区间上(LH)的n个解，则在区间上线性相关的 条件是向量组线性相关.
59、设是 (LH)的任一基本解矩阵，则 (LH)的标准基本解矩阵是 .
60、 非齐线性次方程组(NH)的任意两个解之差都
是 的解.
填空题参考答案（每空3分）
1., , 或
；
2. ； 3. ； 4. ；
5. 它们的朗斯基行列式W(x)不为零； 6. n个线性无关解；
7.
8. ，，
9. ；
10. ；
11. 存在非奇异矩阵A,使得；
12. 连续且关于满足李氏条件； 13. ；
14. ；15. 充分； 16. ；17. ；
18. ；
19. 连续且关于满足李氏条件，， ；
20. ；21. 只与x有关，   ；  只与y 有关，   ；
22. ，；23. ；
24. ；25. 连续；26. ；
27. ；28. ；29. ；
30. 线性无关；31. ；
32. ；33. 充要；34. 一；
35. ；36. ；
37. ；38. ；39. ，；
40. ， . 41.二；42.三；
43. ；44.；45.；46.；
47. ； 48. 则在区间上恒等于零；49. ； 50. ；
51. ；52. ；53. ；54. ；55. ；
56. 、、、、；
57. 、； 58. 充要；59. ；