高等代数期末模拟题(二).doc

专业 学号 姓名 成 绩 (分)

试 题 全 文
一、填空题（请将正确答案直接填在横线上。每小题2分，共20分）：
1. 排列36125784 的逆序数是 ，是 排列。
2．。
3．线性方程组 的系数满足 时，方程组有唯一解。
4. 。
5. 向量，则α + β =____ ___。
6．单独一个零向量必线性___ ______。
7．设A是一个n阶方阵，则A非奇异的充分必要条件是R（A）=________。
8．设AX = O是有5个方程，6个未知数的齐次线性方程组，其系数矩阵A的秩为2，则方程组AX = O有___ _______组解，其基础解系含___ ______个解向量。
9．设是非齐次线性方程组AX = B的两个解， 则是方程组 __ 的解， 是方程组 ______的解。
10．若λ为可逆矩阵A的特征值，则的特征值为 。
二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，并将其号码填在括号内。每小题2分，共10分）：
1.设行列式则的取值为 ( )
① 0, 1 ② 0, 2 ③ 1, −1 ④ 2, −1
2. 设A, B为n阶方阵，A≠O, 且AB = O, 则( )。
① BA = O ② (A−B)2 = A2 + B2
③ B = O ④∣B∣= 0或∣A∣= 0
3. 设A为n阶方阵，那么是（ ）。
① 对称矩阵 ② 反对称矩阵 ③可逆矩阵 ④ 不可逆矩阵
4. 设P为m阶非奇异矩阵，Q为n阶非奇异矩阵，A为m×n阶矩阵，则（ ）。
① R(PA) = R(A)，R(AQ) ≠ R(A) ② R(PA) =R(A)，R(AQ )= R(A)
③ R(PA) ≠ R(A)，R(AQ) = R(A) ④ R(PA) ≠ R(A)，R(AQ) ≠ R(A)
5. 三阶方阵A的特征值为1, -1, 2 且 B = A 3 - 5 A 2 , 则B的特征值为( )。
① 2, -4 ② -1, 4, -6
③ 1, -4, 6 ④ -4, -6, -12

三、计算题( 每小题8分，共64分)
1. 计算4阶行列式 。

2. 设矩阵 。

3. 设 .利用分块矩阵求。

4. 求向量组的极大线性无关组和秩，并将其余向量表示成极大线性无关组的线性组合。
5．

6. 设为R3的一组基, 将其化为标准正交基。

7. 求解方程组 的通解。

8. 设，求A的特征值及对应的特征向量。

四、证明题（6分）:
设向量组线性无关，证明：向量组线性无关.

《线性代数》课程考试题
参 考 解 答
一、填空题（请将正确答案直接填在横线上。每小题2分，共20分）：
1. 排列36125784 的逆序数是 5 ，是 奇 排列。
2．。
3．线性方程组 的系数满足 ____ adbc ______时，方程组有唯一解.
4. 。

5. 向量，则α+β=____(4,4,0,5) ___。
6．单独一个零向量必线性___相关_______。
7．设A是一个n阶方阵，则A非奇异的充分必要条件是R（A）=____n______。
8．设AX = O是有5个方程，6个未知数的齐次线性方程组，其系数矩阵A的秩为2，则方程组AX = O有___无穷多_______组解，其基础解系含____4______个解向量。
9．设是非齐次线性方程组AX = B的两个解， 则是方程组__AX = O_的解， 是方程组___AX = B_____的解。
10．若λ为可逆矩阵A的特征值，则的特征值为 1/λ 。
二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，并将其号码填在括号内。每小题2分，共10分）：
1.设行列式则的取值为 ( ③ )。
① 0, 1 ② 0, 2 ③ 1, −1 ④ 2, −1
2. 设A, B为n阶方阵，A≠O, 且AB = O, 则( ④ )。
① BA = O ② (A−B)2 = A2 + B2
③ B = O ④∣B∣= 0或∣A∣= 0
3. 设A为n阶方阵，那么是（ ① ）。
① 对称矩阵 ② 反对称矩阵 ③可逆矩阵 ④ 不可逆矩阵
4. 设P为m阶非奇异矩阵，Q为n阶非奇异矩阵，A为m×n阶矩阵，则（ ② ）。
① R(PA)=R(A)，R(AQ)≠R(A) ② R(PA)=R(A)，R(AQ)=R(A)
③ R(PA)≠R(A)，R(AQ)=R(A) ④ R(PA)≠R(A)，R(AQ)≠R(A)
5. 三阶方阵A的特征值为1, -1, 2 且 B = A 3 - 5 A 2 , 则B的特征值为( ④ )。
① 2, -4 ② -1, 4, -6
③ 1, -4, 6 ④ -4, -6, -12

三、计算题( 每小题8分，共64分)：
1. 计算4阶行列式 。
解：
2. 设矩阵 。
解：

3. 设 .利用分块矩阵求。
解：令A＝,其中B＝,C=(3),D=
==
4. 求向量组的极大线性无关组和秩，并将其余向量表示成极大线性无关组的线性组合。
解：=通过初等变换为
所以这个向量组的极大线性无关组为，且=—2，=—

5．

6. 设为R3的一组基, 将其化为标准正交基。
解：(1)利用施密持正交化方法将其正交化

(2) 将标准化

7. 求解方程组 的通解。
解：

其中C1,C2是任意常数。

8. 设，求A的特征值及对应的特征向量。

特征值λ1＝λ2＝λ3＝1.
对于λ1＝1，
， 特征向量为
四、证明题（6分）:
设向量组线性无关，证明：向量组线性无关.

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