高-中-必-备-基-础-专-讲第八讲：平面向量.doc

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高 中 必 备 基 础 专 讲、专 练
第八讲：平面向量
高考要求
1：向量的概念、向量的加法和减法、实数与向量的积.
2：向量的坐标运算、平面向量的数量积.
重难点归纳
1、 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做向量；
2、 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做共线向量（平行向量）；
3、 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做相等向量；
4、 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做单位向量.
5、 向量加法法则是＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿＿＿.减法法则是＿＿＿＿＿＿＿＿.
6、 设a＝（x1,y1），b＝（x2,y2），R
a＋b＝＿＿＿＿＿＿，它满足的运算性质有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
a－b＝＿＿＿＿＿＿，它满足的运算性质有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
a＝＿＿＿＿＿＿，它满足的运算性质有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
＝＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿，它满足的运算性质有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
cos< a, b>=____________=__________________.
a∥ b＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿；a⊥ b＿＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿＿＿.
典型题例示范讲解
1.向量的有关概念与运算
例1.此类题经常出现在填空题中，在复习中要充分理解平面向量的相关概念，熟练掌握向量的坐标运算、数量积运算，掌握两向量共线、垂直的条件.
已知a是以点A(3,－1)为起点，且与向量b = (－3,4)平行的单位向量，则向量a的终点坐标是　　　　　　　　　　.
方法一：设向量a的终点坐标是(x,y),则a =(x-3,y+1)，则题意可知
，故填 (,-)或(,-)
方法二　与向量b = (-3,4)平行的单位向量是±(-3,4)，故可得a＝±(-,)，从而向量a的终点坐标是(x,y)= a－(3,－1),便可得结果.
例2. 已知| a |=1,| b |=1，a与b的夹角为60°, x =2a－b，y=3b－a,则x与y的夹角的余弦是多少？
解：由已知|a|=|b|=1，a与b的夹角α为60°,得a·b=|a||b|cosα=.
要计算x与y的夹角θ，需求出|x|，|y|，x·y的值.
∵|x|2=x2=(2a－b)2=4a2－4a·b+b2=4－4×+1=3，
|y|2=y2=(3b－a)2=9b2－6b·a+a2=9－6×+1=7.
x·y=(2a－b)·(3b－a)=6a·b－2a2－3b2+a·b
=7a·b－2a2－3b2 =7×－2－3=－，
又∵x·y=|x||y|cosθ，即－=×cosθ，
∴cosθ=－

2.平面向量与函数、不等式的综合运用
当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式在此基础上，可以设计出有关函数、不等式的综合问题.此类题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：①利用向量平行或垂直的充要条件，②利用向量数量积的公式和性质.
例3．已知平面向量a＝(，－1)，b＝(, ).
(1) 若存在实数k和t，便得x＝a＋(t2－3)b, y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数的关系式k＝f(t)；

解：（1）法一：由题意知x＝(,),
y＝(t－k，t＋k)，又x⊥y
故x · y＝×（t－k）＋×(t＋k)＝0.
整理得：t3－3t－4k＝0，即k＝t3－t.
法二：∵a＝(，－1)，b＝(, ), ∴. ＝2，＝1且a⊥b
∵x⊥y，∴x · y＝0，即－k2＋t(t2－3)2＝0，∴t3－3t－4k＝0,即k＝t3－t

演变1： 已知平面向量＝(，－1)，＝(，)，若存在不为零的实数k和角α，使向量＝＋(sinα－3), ＝－k＋(sinα),且⊥，试求实数k 的取值范围.
演变2：已知向量，若正数k和t使得向量
垂直，求k的最小值.

3.平面向量与三角函数的综合运用
向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查.
例4．设函数f (x)＝a · b，其中向量a＝(2cosx , 1), b＝(cosx,sin2x), x∈R.
（1）若f(x)＝1－且x∈[－，]，求x；
（2）若函数y＝2sin2x的图象按向量c＝(m , n) (﹤)平移后得到函数y＝f(x)的图象，求实数m、n的值.
解： (1)依题设，f(x)＝（2cosx，1）·(cosx,sin2x)
＝2cos2x＋sin2x＝1＋2sin(2x＋)
由1＋2sin(2x＋)=1－，得sin(2x＋)＝－.
∵－≤x≤ , ∴－≤2x＋≤,
∴2x＋=－, 即x＝－.
（2）函数y＝2sin2x的图象按向量c＝（m , n）平移后得到函数y＝2sin2(x－m)+n的图象，即函数y＝f(x)的图象.
由(1)得f (x)＝ ∵＜， ∴m＝－，n＝1.

专题测试强化一（08高考题节选）
1.（全国一3）在中，，．若点满足，则（ ）
A． B． C． D．
2.（安徽卷3）．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若，,则（ ）
A． （－2，－4） B．（－3，－5） C．（3，5） D．（2，4）
3.（湖北卷1）设,,则
A.　　　　B. C. D.
4.（湖南卷7）设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且
则与( )
A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直

5.（陕西卷3）的内角的对边分别为，若，则等于（ ）A． B．2 C． D．
6.（陕西卷15）关于平面向量．有下列三个命题：
①若，则．②若，，则．
③非零向量和满足，则与的夹角为．
其中真命题的序号为　　　　．（写出所有真命题的序号）②
7.（广东卷8）在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则（ ）
A． B． C． D．
8.（浙江卷9）已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足,则 的最大值是（ ） （A）1 （B）2 （C） （D）
9.（辽宁卷5）已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足，则 （ ）A． B． C． D．
10.（辽宁卷8）将函数的图象按向量平移得到函数的图象，则（ ）
A． B． C． D．
11.（上海卷5）若向量，满足且与的夹角为，则　　　　．
12.（全国二13）设向量，若向量与向量共线，则 ．2
13.（北京卷10）已知向量与的夹角为，且，那么的值为 ．0
14.（天津卷14）已知平面向量，．若，则____．
15.（江苏卷5），的夹角为，， 则 ．7
16.（江西卷13）直角坐标平面上三点，若为线段的三等分点，则= ．22
17.（浙江卷11）已知>0，若平面内三点A（1，-），B（2，），C（3，）共线，则=。
18．（海南卷13）已知向量，，且，则= ___3__
（以下为06高选改）
19. 如图，函数（其中）的图像与轴交于点（0，1）。（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设是图像上的最高点，M、N是图像与轴的交点，求与的夹角的余弦。

解：（Ⅰ）因为函数图象过点（0，1） 所以 ,即 =
因为，所以.
（Ⅱ）由函数及其图象，得
所以 ，从而
20.设函数，其中向量，，，。
（Ⅰ） 求函数的最大值和最小正周期；（Ⅱ）求使不等式f(x)≥3成立的x的集合
（Ⅲ） 将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的。
解：(Ⅰ)由题意得，=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx－3cosx)
＝sin2x－2sinxcosx+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+sin(2x+).
所以，f(x)的最大值为2+，最小正周期是＝.
（Ⅱ）求使不等式f(x)≥3， 即使成立的x的取值集合是

（Ⅲ）由sin(2x+)＝0得2x+＝k.，即x＝,k∈Z，
于是d＝（，－2），k∈Z.
因为k为整数，要使最小，则只有k＝1，此时d＝（―，―2）即为所求.
21. 已知向量（Ⅰ）若，求θ；
（Ⅱ）求 的最大值．
解：（Ⅰ）若 ，则，
由此得 tanθ＝－1，所以 ；
（Ⅱ）由)得

当时，取得最大值，即当时，最大值为＋1．
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