高-中-必-备-基-础-专-讲第八讲：平面向量.doc

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高 中 必 备 基 础 专 讲、专 练
第八讲：平面向量
高考要求
1：向量的概念、向量的加法和减法、实数与向量的积.
2：向量的坐标运算、平面向量的数量积.
重难点归纳
1、 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做向量；
2、 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做共线向量（平行向量）；
3、 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做相等向量；
4、 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做单位向量.
5、 向量加法法则是＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿＿＿.减法法则是＿＿＿＿＿＿＿＿.
6、 设a＝（x1,y1），b＝（x2,y2），R
a＋b＝＿＿＿＿＿＿，它满足的运算性质有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
a－b＝＿＿＿＿＿＿，它满足的运算性质有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
a＝＿＿＿＿＿＿，它满足的运算性质有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
＝＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿，它满足的运算性质有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
cos< a, b>=____________=__________________.
a∥ b＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿；a⊥ b＿＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿＿＿.
典型题例示范讲解
1.向量的有关概念与运算
例1.此类题经常出现在填空题中，在复习中要充分理解平面向量的相关概念，熟练掌握向量的坐标运算、数量积运算，掌握两向量共线、垂直的条件.
已知a是以点A(3,－1)为起点，且与向量b = (－3,4)平行的单位向量，则向量a的终点坐标是　　　　　　　　　　.
方法一：设向量a的终点坐标是(x,y),则a =(x-3,y+1)，则题意可知
，故填 (,-)或(,-)
方法二　与向量b = (-3,4)平行的单位向量是±(-3,4)，故可得a＝±(-,)，从而向量a的终点坐标是(x,y)= a－(3,－1),便可得结果.
例2. 已知| a |=1,| b |=1，a与b的夹角为60°, x =2a－b，y=3b－a,则x与y的夹角的余弦是多少？
解：由已知|a|=|b|=1，a与b的夹角α为60°,得a·b=|a||b|cosα=.
要计算x与y的夹角θ，需求出|x|，|y|，x·y的值.
∵|x|2=x2=(2a－b)2=4a2－4a·b+b2=4－4×+1=3，
|y|2=y2=(3b－a)2=9b2－6b·a+a2=9－6×+1=7.
x·y=(2a－b)·(3b－a)=6a·b－2a2－3b2+a·b
=7a·b－2a2－3b2 =7×－2－3=－，
又∵x·y=|x||y|cosθ，即－=×cosθ，
∴cosθ=－

2.平面向量与函数、不等式的综合运用
当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式.在此基础上，可以设计出有关函数、不等式的综合问题.此类题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：①利用向量平行或垂直的充要条件，②利用向量数量积的公式和性质.
例3．已知平面向量a＝(，－1)，b＝(, ).
(1) 若存在实数k和t，便得x＝a＋(t2－3)b, y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数的关系式k＝f(t)；

解：（1）法一：由题意知x＝(,),
y＝(t－k，t＋k)，又x⊥y
故x · y＝×（t－k）＋×(t＋k)＝0.
整理得：t3－3t－4k＝0，即k＝t3－t.
法二：∵a＝(，－1)，b＝(, ), ∴. ＝2，＝1且a⊥b
∵x⊥y，∴x · y＝0，即－k2＋t(t2－3)2＝0，∴t3－3t－4k＝0,即k＝t3－t

演变1： 已知平面向量＝(，－1)，＝(，)，若存在不为零的实数k和角α，使向量＝＋(sinα－3), ＝－k＋(sinα),且⊥，试求实数k 的取值范围.
演变2：已知向量，若正数k和t使得向量
垂直，求k的最小值.

3.平面向量与三角函数的综合运用
向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查.
例4．设函数f (x)＝a · b，其中向量a＝(2cosx , 1), b＝(cosx,sin2x), x∈R.
（1）若f(x)＝1－且x∈[－，]，求x；
（2）若函数y＝2sin2x的图象按向量c＝(m , n) (﹤)平移后得到函数y＝f(x)的图象，求实数m、n的值.
解： (1)依题设，f(x)＝（2cosx，1）·(cosx,sin2x)
＝2cos2x＋sin2x＝1＋2sin(2x＋)
由1＋2sin(2x＋)=1－，得sin(2x＋)＝－.
∵－≤x≤ , ∴－≤2x＋≤,
∴2x＋=－, 即x＝－.
（2）函数y＝2sin2x的图象按向量c＝（m , n）平移后得到函数y＝2sin2(x－m)+n的图象，即函数y＝f(x)的图象.
由(1)得f (x)＝ ∵＜， ∴m＝－，n＝1.

专题测试强化一（08高考题节选）
1.（全国一3）在中，，．若点满足，则（ ）
A． B． C． D．
2.（安徽卷3）．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若，,则（ ）
A． （－2，－4） B．（－3，－5） C．（3，5） D．（2，4）
3.（湖北卷1）设,,则
A.　　　　B. C. D.
4.（湖南卷7）设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且
则与( )
A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直
5.（陕西卷3）的内角的对边分别为，若，则等于（ ）A． B．2 C． D．
6.（陕西卷15）关于平面向量．有下列三个命题：
①若，则．②若，，则．
③非零向量和满足，则与的夹角为．
其中真命题的序号为　　　　．（写出所有真命题的序号）②
7.（广东卷8）在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则（ ）
A． B． C． D．
8.（浙江卷9）已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足,则 的最大值是（ ） （A）1 （B）2 （C） （D）
9.（辽宁卷5）已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足，则 （ ）A． B． C． D．
10.（辽宁卷8）将函数的图象按向量平移得到函数的图象，则（ ）
A． B． C． D．
11.（上海卷5）若向量，满足且与的夹角为，则　　　　．
12.（全国二13）设向量，若向量与向量共线，则 ．2
13.（北京卷10）已知向量与的夹角为，且，那么的值为 ．0
14.（天津卷14）已知平面向量，．若，则____．
15.（江苏卷5），的夹角为，， 则 ．7
16.（江西卷13）直角坐标平面上三点，若为线段的三等分点，则= ．22
17.（浙江卷11）已知>0，若平面内三点A（1，-），B（2，），C（3，）共线，则=。
18．（海南卷13）已知向量，，且，则= ___3__
（以下为06高选改）
19. 如图，函数（其中）的图像与轴交于点（0，1）。（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设是图像上的最高点，M、N是图像与轴的交点，求与的夹角的余弦。

解：（Ⅰ）因为函数图象过点（0，1） 所以 ,即 =
因为，所以.
（Ⅱ）由函数及其图象，得
所以 ，从而
20.设函数，其中向量，，，。
（Ⅰ） 求函数的最大值和最小正周期；（Ⅱ）求使不等式f(x)≥3成立的x的集合
（Ⅲ） 将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的。
解：(Ⅰ)由题意得，=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx－3cosx)
＝sin2x－2sinxcosx+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+sin(2x+).
所以，f(x)的最大值为2+，最小正周期是＝.
（Ⅱ）求使不等式f(x)≥3， 即使成立的x的取值集合是

（Ⅲ）由sin(2x+)＝0得2x+＝k.，即x＝,k∈Z，
于是d＝（，－2），k∈Z.
因为k为整数，要使最小，则只有k＝1，此时d＝（―，―2）即为所求.
21. 已知向量（Ⅰ）若，求θ；
（Ⅱ）求 的最大值．
解：（Ⅰ）若 ，则，
由此得 tanθ＝－1，所以 ；
（Ⅱ）由)得

当时，取得最大值，即当时，最大值为＋1．
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