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《第十一章 全等三角形》

学习目标：
1、 理解全等三角形的定义及性质。
2、 以能用全等三角形的性质解决问题。
3、 探索归纳三角形全等的条件。
4、 正确运用全等三角形的判定方法判定两个三角形全等。
5、 理解两个直角三角形全等的判定方法。
6、 能运用角平分线的性质进行有关的计算或证明。

重点：全等三角形的性质及全等三角形的判定方法。

难点：根据已知条件灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。

一、注意三角形全等思路的归纳
1、全等三角形的基本图形
（1翻折型 （2）平移型 （3）旋转型

2、找对应边、对应角三法
（1）对应顶点确定法
在表示两个三角形全等时，通常是把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，那么我们就可以按照对应顶点去确定全等三角形的对应边和对应角，对应顶点确定的是对应角，两个对应顶点确定对应边。
（2）对应角、对应边的互相确定
A）全等三角形的对应边（角）所对的角（边）是对应角（边）。
B）全等三角形的两对应边（角）所夹的角（边）是对应角（边）。
（3）图形特征确定法
A）若两个全等三角形有公共边，则公共边一般是对应边。
B）若两个全等三角形有公共角，则公共角一般是对应角。
C）若两个全等三角形有对顶角，则对顶角一般是对应角。
D）两个三角形中的最大边（角）是对应边（角）；最小的边（角）是对应边（角）。
3、证明三角形全等的策略
A
D
C
B
O
E
F
大家知道，证明三角形全等，必须具备三个条件，即“边角边、角边角、边边边、角角边、斜边直角边”，不能使用角角角；不能使用角边边，但是，面对一个命题的已知条件，到底采用以上哪一条公理或定理来证明三角形全等呢？这是学生们普遍感到困难的问题，为此，向学生们介绍证明三角形全等的思路与思考方法，根据题目中所给的条件不同，总的可分为如下三大类：

一类：已知两边： 找夹角 （S.A.S.）
找直角 (H.L.)

找另一边 (S.S.S.)

例：如图，AB=CD，AD=CB，点O为AC上任意一点,
过点O作直线分别交AB,CD的延长线于点F、E,试说明∠E=∠F。

分析：∠E、∠F所在的三角形不具备全等的条件，可以考虑
△ABC≌△CDA，推出∠BAC=∠DCA，在利用三角形内角
A
B
C
D
E
F
和定理得出结论。而在△ABC和△CDA中，已经具备了
条件AB=CD，AD=CB，再加上AC公共边，从而利用“SSS”即可判断两三角形全等。

二类：已知两角： 找夹边 (A.S.A.)
找另一边 (A.A.S.)

例：如图，点B，F，C，E在同一条直线上，FB=CE，AB//ED，
AC//FD，试证明AC=DF。

分析：要说明AC=DF，需说明△ABC≌△DEF，由AB//ED，
AC//FD，得∠B=∠E，∠BCA=∠DFE，但还缺少一边对应相等。由FB=CE
，得FB+FC=CE+FC，即BC=EF，从而利用“ASA”可判定两个三角形全等。

C
A
B
D
E
H

三类：一边一角： 边为角的对边 找一角 (A.S.A.)
边为角的邻边 找夹边的另一角 (A.S.A.)
找边的对角 (A.A.S.)
找夹角的另一边 (S.A.S)

例：如图，AD，BE是△ABC的高，AD和EB的延长线相交于点H，
连接HC，且AH=BC。试说明CE=HE。

分析：欲说明CE=HE，只需要判定△AHE≌△BCE，两个三角形
已经具备了条件∠AEH=∠BEC=90°，AH=BC，只需要再推出
∠EHA=∠ECB，从而利用“AAS”判定两个三角形全等。

A
B
C
D
4、注意挖掘隐含条件证明三角形全等
A）利用公共边（公共角）相等
例：如图，AB=DC，AC=DB，△ABC与△DCB全等吗？为什么？

B）利用等边（等角）加、减等边（等角），其和、差仍相等
例：如图，AB=DC，BF=CE，AE=DF，求证：△ABF≌△DCE

C）利用平行线的性质得出同位角、内错角相等
A
B
C
D
例：如图，AB//CD，∠A=∠D，BF=CE，∠AEB=110°，
求∠DFC的读数。

D）利用对顶角相等 例：已知：如图：AB=DC，AC=DB。求证：∠A=∠D

二、注重全等三角形的具体运用
利用全等三角形可以证明线段相等或角相等，全等三角形是证明线段或角相等的重要方法之一。用全等三角形解题的关键是构造全等三角形，它作为重要的思想方法之一一直倍受关注，构造全等三角形的方法主要有翻折、旋转、平移等。

全等三角形练习卷（45分钟）
一、 选择题：
1、下列说法正确的是（　　）
A、周长相等的两个三角形全等　　　　
B、有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
C、面积相等的两个三角形全等
D、有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

2、在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中与这100°角对应相等的角是（　　）
A、∠A　　　　　　　B、∠B　　　　　　C、∠C　　　　　　D、∠B或∠C

3、下列条件中，能判定△ABC≌△DEF的是（　　）
A、AB＝DE，BC＝ED，∠A＝∠D
B、∠A＝∠D，∠C＝∠F，AC＝EF
C、∠B＝∠E，∠A＝∠D，AC＝EF
D、∠B＝∠E，∠A＝∠D，AB＝DE

4、如图，△ABC≌△DCB，A、B的对应顶点分别为点D、C，如果
AB＝7cm，BC＝12cm，AC＝9cm，那么BD的长是( )
A、7cm B、9cm C、12cm D、无法确定

5、如图,D在AB上,E在AC上,且∠B＝∠C,那么补充下列一个条件后,
仍无法判定△ABE≌△ACD的是( ).
A、AD＝AE　 Ｂ、∠AEB＝∠ADC　Ｃ、BE＝CD　 Ｄ、AB＝AC

6、如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃
店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ）
A、带①去 B、带②去 C、带③去 D、带①和②去

二、 填空题：
1、如图，△OCA≌△OBD，∠C和∠B、∠A和∠D是对应角，则另一组对应角是 　和 　，对应边是 　 　和 　、　 　 和 和 、 和
图5
2、如图，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，
且AD＝AE， AB＝AC，若，则。
3、在△ABC中，∠A＝90°，CD是∠C的平分线，交
AB于点D，DA＝7，则D点到BC的距离是　 。

4、要使下列各对三角形全等，需要增加什么条件？
（1）　　　　　　　　　　　　　　 （2）

三、解答题：
1、如图，在直线l上找出一点P，使得点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等。
(保留作图痕迹，不用写作法)
A
B
O
l

2、如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜想线段CE与DE的大小关系，并证明你的结论。
A
C
E
D
B

3、如图所示,已知点A、E、F、D在同一条直线上,AE=DF,BF⊥AD,CE⊥AD,
垂足分别为F、E,AB=CD,求证:AB∥CD.

4、如图，AD∥BC，∠B＝∠D。求证：AB＝CD。

5、已知：如图AB⊥BC，BE⊥AC，∠1=∠2，AD=AB，
求证：FD∥BC

A
B
E
C
D

6、如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE
求证：AE＝DE

答案：
一、选择题：DADBBC

三、 填空题：1）∠COA＝∠BOD；OC、OB；AC、DB；AO、DO
2）20 3）7 4）AB=FD；AC=FD（∠C＝∠F、∠B＝∠E）

三、解答题：

4、提示：连结AC 证明△ABC≌△CDA

5、提示：（1）证明△AFD≌△AFB（SAS）
有∠ADF＝∠ABE
（2）∠ABE与∠C同为∠EBC的余角，则∠ABE＝∠C
所以∠ADF＝∠C 得FD∥BC

6、提示：（1）证明△ABC≌△DCB
得∠DCB＝∠ACB（∠ABC＝∠DCB）
（2）证明△AEC≌△DEB（△ABE≌△DCE）