1、二次函数与平行四边形综合
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一、二次函数与平行四边形综合
【例1】 已知：如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、轴的交点分 别为，将对折，使点的对应点落在直线上，折痕交轴于点
（1）直接写出点的坐标，并求过三点的抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为，在直线上是否存在点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，阐明理由；
（3）设抛物线的对称轴与直线的交点为为线
2、段上一点，直接写出的取值范围.
【考点】二次函数与平行四边形综合，轴对称与线段和差最值问题
【难度】4星
【题型】解答
【核心词】09北京西城一模
【解析】略
【答案】（1）点的坐标为.
∵ 点A、B的坐标分别为，
∴ 可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为.
将代入抛物线的解析式，得.
∴ 过A、B、C三点的抛物线的解析式为.
（2）可得抛物线的对称轴为，顶点D的坐标为
，设抛物线的对称轴与x轴的交点为G.
直线BC的解析式为.
设点P的坐标为.
解法一：如图8，作OP∥AD交直线BC于点P，
连结AP，作PM⊥x轴于点M.
∵ OP
3、∥AD，
∴ ∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD.
∴ ，即.
解得. 经检查是原方程的解.
此时点P的坐标为.
但此时，OM＜GA.
∵
∴ OP＜AD，即四边形的对边OP与AD平行但不相等
∴ 直线BC上不存在符合条件的点P.
解法二：如图9，取OA的中点E，作点D有关点E的对称点P，作PN⊥x
轴于点N. 则∠PEO=∠DEA，PE=DE.可得△PEN≌△DEG ．
由，可得E点的坐标为.
NE=EG=， ON=OE－NE=，NP=DG=.
∴ 点P的坐标为.
∵ x=时，，
∴ 点P不在直线BC上.
∴ 直线BC上不存在
4、符合条件的点P .
（3）的取值范围是.
阐明：如图10，由对称性可知QO=QH，.当点Q与点B重叠时，Q、H、A三点共线，取得最大值4（即为AH的长）；设线段OA的垂直平分线与直线BC的交点为K，当点Q与点K重叠时，取得最小值0.
【例2】 抛物线与轴相交于、两点（点在的左侧），与轴相交于点，顶点为.
⑴ 直接写出、、三点的坐标和抛物线的对称轴；
⑵ 连接，与抛物线的对称轴交于点，点为线段上的一个动点，过点作交抛物线于点，设点的横坐标为；
① 用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，四边形为平行四边形？
② 设的面积为，求与的函数关系式．
【考点】二次函数与平行
5、四边形综合
【难度】4星
【题型】解答
【核心词】江西省中考
【解析】略
【答案】⑴，，．
抛物线的对称轴是：．
⑵①设直线的函数关系式为：．
把分别代入得：
解得：．
因此直线的函数关系式为：．
当初，，∴．
当初，，
∴．
在中，当初，．
∴
当初，∴．
∴线段，线段．
∵
∴当初，四边形为平行四边形．
由解得：．（不合题意，舍去）．
因此，当初，四边形为平行四边形．
②设直线与轴交于点，由，，可得：．
∵．
即．
∴．
【例3】 如图，点是坐标原点，点是轴上一动点.以为一边作矩形，点在第二象限，且．矩形绕点逆时针旋转得矩形．过点
6、的直线交轴于点，．抛物线过点、、且和直线交于点，过点作轴，垂足为点．
⑴ 求的值；
⑵ 点位置变化时，的面积和矩形 的面积的比值是否变化？阐明你的理由．
【考点】二次函数与平行四边形综合，坐标与面积
【难度】3星
【题型】解答
【核心词】湖北省宜昌市中考
【解析】略
【答案】⑴ 依照题意得到： ，
当初，，∴点坐标为
∵中，，
∵，
∴，
化简得：，
对于，当初，，
∴，
∴
⑵ ∵抛物线过点、、，
∴
解得：
∴抛物线为
解方程组：
得：；
∴坐标是：，，
∴的面积；
而矩形的面积＝，∴的面积∶矩形的面积，不伴随点的位置的变化而变化．
【例4】
【考点】
【难度】
【题型】
【核心词】
【解析】
【答案】
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