1、
3.3 两角和与差的三角函数
一、选择题
1．在△ABC中，已知2sin A cos B＝sin C，那么△ABC一定是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形
答案：B
2．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值为( )
A．1 B．－1 C. D．－
解析：将已知两式化为sin α＋sin β＝－sin γ，cos α＋cos β＝－cos γ.两式平方相加，有cos(α－β)＝－.
2、答案：D
3．tan－cot等于( )
A．4 B．－4 C．2 D．－2
解析：原式＝－＝＝＝－2.
答案：D
4．已知x∈(－，0)，cos x＝，则tan 2x等于( )
A. B．－ C. D．－
解析：x∈(－，0)，cos x＝，∴sin x＝－，tan x＝＝－.
∴tan 2x＝＝－.
答案：D
二、填空题
5．coscosπ的值是________．
解析：原式＝·2sincoscos＝·2sincosπ＝sinπ＝.
答案：
6．若si
3、n(－α)＝，sin(＋β)＝，其中0＜α＜，0＜β＜，则cos(α＋β)＝________.
解析：由已知可得cos(－α)＝，cos(＋β)＝.
则cos(α＋β)＝cos[(＋β)－(－α)]＝cos(＋β)·cos(－α)＋sin(＋β)·sin(－α)＝×＋×＝.
答案：
7．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________.
解析：根据已知条件：cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，
cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0，即(cos β＋s
4、in β)(cos α－sin α)＝0.
又α、β为锐角，则sin β＋cos β ＞0，∴cos α－sin α＝0，∴tan α＝1.
答案：1
三、解答题
8．求值：(1)；(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)．
解答：(1)原式＝＝＝tan 15°＝tan(45°－30°)＝
2－.
(2)令θ＋15°＝α，则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－cos α＝(sin α＋cos α)＋(cos α－sin α)－cos α＝0.
9．已知α为第二象限角，且sin α＝，求的值．
解答：∵α为第二象限角，sin α＝，∴
5、cos α＝－＝－.
∴＝＝＝－.
10．(1)已知7sin α＝3sin(α＋β)，求证：2tan＝5tan；
(2)已知sin β＝msin(2α＋β)，m≠1，求证：tan(α＋β)＝tan α.
证明：(1)将已知化为7sin(－)＝3sin(＋)，即7sincos－7cossin＝3sincos＋3cossin，4sincos＝10cossin，两边同除以2cos·cos，得2tan＝5tan.
(2)将已知化为sin[(α＋β)－α]＝msin[(α＋β)＋α]，即sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝msin(α＋β)cos α＋mcos(α＋β)si
6、n α，(1－m)sin(α＋β)cos α＝(1＋m)·cos(α＋β)sin α，∵m≠1，∴tan(α＋β)＝tan α.
1．若α，β∈(0，)，cos(α－)＝，sin(－β)＝－，则cos(α＋β)的值等于 ( )
A．－ B．－ C. D.
解析：∵0<α<，0<β<，∴－<α－<，－<－β<，又cos(α－)＝，sin(－β)＝－，∴，解得α＝β＝.或α＋β＝0，舍去．
cos(α＋β)＝cos＝－.
答案：B
2．求函数y＝7－4sin xcos x＋4cos2x－4cos4x的最大值与最小值．
解答：y＝7－4sin xcos x＋4cos2x－4cos4x＝7－2sin 2x＋4cos2x(1－cos2x)
＝7－2sin 2x＋4cos2xsin2x＝7－2sin 2x＋sin22x＝(1－sin 2x)2＋6.
由于函数z＝(u－1)2＋6在[－1,1]中的最大值为zmax＝(－1－1)2＋6＝10，最小值为zmin＝(1－1)2＋6＝6.故当sin 2x＝－1时，y取得最大值10，当sin 2x＝1时，
y取得最小值6.
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