2015届云南师大附中高考适应性月考卷(八)文科数学试题及答案.doc

云南师大附中2015届高考适应性月考卷（八）
文科数学参考答案

第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
B
B
C
D
B
C
D
C
D
B
【解析】
1．因为，，所以，故选D．
2．由，故选A．另该题也可直接用的周期性解答．
3．因为，所以，，故选B．
4．画出可行域，易知当时，有最小值，代入得，故选B．
5．当时，直线为，此时两直线不垂直，所以，所以的斜率为，若两直线垂直，则有，即，所以“”是直线和直线互相垂直”的充要条件，故选C．
6．因为四个命题均有线在面内的可能，所以均不正确，故选D．
7．依题意，有可得，即，故有，故选B．
8．，故选C．
9．由题得：解得：又函数的最小正周期为，
∴，∴，又直线是其图象的一条对称轴，
∴，∴，故可得：符合条件，故选D．
10．易知该几何体是一三棱锥，其体积，故选C．
图1
11．易知是以4为周期的函数，结合题意画出函数在上的图象与的图象如图1，结合图象分析可知，要使两个函数图象恰有一个交点，则有，故选D．
12．由题意：，解得：，故选B．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号
13
14
15
16
答案
20

3

【解析】
13．200∶400∶1400=1∶2∶7，所以应抽取中型超市20家．
14．易知：圆心，，所以圆的标准方程为．
15．由．
16．以A为原点，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，则，设，向量，则有，，所以 ，由题意得， ．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由，所以，
所以，又，所以，即数列是等差数列．
………………………………………………………………………………（4分
又，
所以． ……………………………………………………………………（6分）
（Ⅱ），
所以． …………………………………………………………………（12分）
18.（本小题满分12分）
解：设事件A为“方程有实根”．
当时，方程有实根的充要条件为．
（Ⅰ）基本事件共有12个：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为． ………（6分）
（Ⅱ）试验的全部结果所构成的区域为，构成事件A的区域为，所以所求的概率为．
……………………………………………………………………………（12分）
图2
19．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：如图2所示，连接交于点，连接，
在矩形中，∵为EF中点，∴，
………………………………………………（3分）
∵，，
∴． …………………………………………………………（6分）
（Ⅱ）解：由题设和图形易知：
CE⊥平面ABCD， ……………………（7分）
∴ ……………………………………………（8分）
∵，
……………………………………………………………………………（10分）
∴． ………………………………（12分）

20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）把点代入，可得，
所以椭圆C的方程为，
椭圆C的离心率为． …………………………………………………………（4分）
（Ⅱ）当的平分线为时，由和知：轴．
记的斜率分别为，
所以，的斜率满足，
设直线的方程为，
代入椭圆方程并整理可得，，
，， ………………（6分）
所以 ………（8分）
=， ……………………………………（11分）
即，所以． ……………………………………………………（12分）
21.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）当时，，
得， ……………………………………………………………………（2分）
令，即，解得，所以函数在上为增函数，
据此，函数在上为增函数， ………………………………………（4分）
而，，所以函数在上的值域为．
………………………………………………………………………………（5分）
（Ⅱ）由，令，得，即，
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增；
若，即，易得函数在上为增函数，
此时，，要使对任意恒成立，只需即可，
所以有，即，
而，即，所以此时无解． ……（9分）
若，即，易知函数在上为减函数，在上为增函数，
要使对任意恒成立，只需即
由和，
得．
若，即，易得函数在上为减函数，
此时，，要使对任意恒成立，只需即可，
所以有，即，又因为，所以．
综上所述，实数a的取值范围是． …………………………（12分）
22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】
（Ⅰ）证明：∵，
又，
直线DE为圆O的切线，，
故． …………………………………………………………………（5分）
（Ⅱ）解：且，
，
又，， ……………………………………（8分）
，
故． ……………………………………………………………………（10分）
23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】
解：（Ⅰ）由得，
从而曲线C的直角坐标方程为，
即，
时，，所以，
时，，所以． ……………………………………（5分）
（Ⅱ）M点的直角坐标为，N点的直角坐标为，
所以P点的直角坐标为，则点的极坐标为，
所以直线OP的极坐标方程为． ………………………（10分）
24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】
证明：（Ⅰ） ……………………（2分）
， ………………（4分）
当且仅当时，等号成立． …………………………………………（5分）
（Ⅱ）
，当且仅当时，等号成立． ……………（10分）