空间立体几何知识点归纳.doc

第一章 空间几何体知识点归纳
1、空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体
⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。简单组合体的构成形式：
一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成。
⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。
1、 空间几何体的三视图和直观图
投影：中心投影 平行投影
（1）定义：几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。
（2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等”
2、空间几何体的直观图（表示空间图形的平面图）. 观察者站在某一点观察几何体，画出的图形.
3、斜二测画法的基本步骤：
①建立适当直角坐标系（尽可能使更多的点在坐标轴上）
②建立斜坐标系，使=450（或1350），注意它们确定的平面表示水平平面；
③画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y‘轴，且长度变为原来的一半；
一般地，原图的面积是其直观图面积的倍，即
4、空间几何体的表面积与体积
⑴圆柱侧面积；⑵圆锥侧面积：

⑶圆台侧面积：
⑷体积公式：
；；
⑸球的表面积和体积：
.一般地，面积比等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方。

第二章 点、直线、平面之间的位置关系及其论证

1 、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

公理1的作用：判断直线是否在平面内

2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

若A，B，C不共线，则A，B，C确定平面

推论1：过直线的直线外一点有且只有一个平面

若，则点A和确定平面

推论2：过两条相交直线有且只有一个平面

若，则确定平面

推论3：过两条平行直线有且只有一个平面

若，则确定平面
公理2及其推论的作用：确定平面；判定多边形是否为平面图形的依据。

3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

公理3作用：（1）判定两个平面是否相交的依据；（2）证明点共线、线共点等。
4、公理4：也叫平行公理，平行于同一条直线的两条直线平行.

5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

作用：该定理也叫等角定理，可以用来证明空间中的两个角相等。

6、线线位置关系：平行、相交、异面。
（1）没有任何公共点的两条直线平行
（2）有一个公共点的两条直线相交
（3）不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线

7、线面位置关系：直线在平面内、平行、相交

8、面面位置关系：平行、相交。

9、线面平行：（即直线与平面无任何公共点）
⑴判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
（只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以）

证明两直线平行的主要方法是：
①三角形中位线定理：三角形中位线平行并等于底边的一半；
②平行四边形的性质：平行四边形两组对边分别平行；

③线面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线和它们的交线平行；

④平行线的传递性：
⑤面面平行的性质：如果一个平面与两个平行平面相交，那么它们的交线平行；

⑥垂直于同一平面的两直线平行；
⑵直线与平面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线和它们的交线平行；（上面的③）
10、面面平行：（即两平面无任何公共点）
（1）判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

（2）两平面平行的性质：

性质Ⅰ：如果一个平面与两平行平面都相交，那么它们的交线平行；

性质Ⅱ：平行于同一平面的两平面平行；

性质Ⅲ：夹在两平行平面间的平行线段相等；

性质Ⅳ：两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行；

11、线面垂直：
⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。

⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

⑶性质Ⅰ：垂直于同一个平面的两条直线平行。

性质Ⅱ：垂直于同一直线的两平面平行
12、面面垂直：

⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。
（只需在一个平面内找到另一个平面的垂线就可证明面面垂直）
⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

证明两直线垂直和主要方法：
①利用勾股定理证明两相交直线垂直；
②利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直；
③利用线面垂直的定义证明（特别是证明异面直线垂直）；

④利用三垂线定理证明两直线垂直（“三垂”指的是“线面垂”“线影垂”，“线斜垂”）

空间角及空间距离的计算

1. 异面直线所成角：使异面直线平移后相交形成的夹角，
通常在两异面直线中的一条上取一点，过该点作另一条直线平行线，

2. 斜线与平面成成的角：斜线与它在平面上的射影成的角。如图：PA是平面的一条斜线，A为斜足，O为垂足，OA叫斜线PA在平面上射影，为线面角。

3.二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形，如图为二面角，二面角的大小指的是二面角的平面角的大小。二面角的平面角分别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直

用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是：

① 确构成二面角两个半平面和棱；②明确二面角的平面角是哪个？
而要想明确二面角的平面角，关键是看该角的两边是否都和棱垂直。
（求空间角的三个步骤是“一找”、“二证”、“三计算”）
5.点到平面的距离：指该点与它在平面上的射影的连线段的长度。
如图：O为P在平面上的射影，
线段OP的长度为点P到平面的距离
求法通常有：定义法和等体积法
等体积法：就是将点到平面的距离看成是
三棱锥的一个高。如图在三棱锥
中有：

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