2015高考理科数学总复习题及解析-6不等式、推理与证明6-3-二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题.doc

[A组　基础演练·能力提升]
一、选择题
1．已知关于x，y的不等式组所表示的平面区域的面积为4，则k的值为(　　)
A．1　 　　 　B．－3　　　　C．1或－3　　　　D．0
解析：由题意可知，平面区域kx－y＋2≥0是含有坐标原点的半平面．且直线kx－y＋2＝0过定点(0,2)，又平面区域的面积为4，作出平面区域如图，可得A(2,4)，代入直线方程得k＝1.

答案：A
2．(2014年山西大同模拟)已知点P(x，y)在不等式组表示的平面区域上运动，则x－y的取值范围是(　　)
A．[－2，－1] B．[－2,1]
C．[－1,2] D．[1,2]
解析：题中的不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，平移直线x－y＝0，当平移到经过该平面区域内的点(0,1)时，相应直线在x轴上的截距达到最小，此时x－y取得最小值，最小值是x－y＝0－1＝－1；当平移到经过该平面区域内的点(2,0)时，相应直线在x轴上的截距达到最大，此时x－y取得最大值，最大值是x－y＝2－0＝2.因此x－y的取值范围是[－1,2]，选C.

答案：C
3．(2013年高考山东卷)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为(　　)
A．2 B．1
C．－ D．－
解析：已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M与点A重合时直线OM的斜率最小，由直线方程x＋2y－1＝0和3x＋y－8＝0，解得A(3，－1)，故OM斜率的最小值为－.

答案：C
4．(2013年高考全国新课标卷Ⅱ)已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝(　　)
A. B.
C．1 D．2
解析：由已知约束条件，作出可行域如图中△ABC内部及边界部分，由目标函数z＝2x＋y的几何意义为直线l：y＝－2x＋z在y轴上的截距，知当直线l过可行域内的点B(1，－2a)时，目标函数z＝2x＋y的最小值为1，则2－2a＝1，a＝，故选B.

答案：B
5.已知点(x，y)在△ABC所包围的阴影区域内(包含边界)，若B是使得z＝ax－y取得最大值的最优解，则实数a的取值范围为(　　)
新*课标*第*一*网
A．a≥－
B．a≥0
C．a≤－
D．－≤a≤0
解析：∵直线AB的斜率为－，直线BC的斜率不存在，∴要使B是目标函数取得最大值的最优解，则需a≥－，故选A.
答案：A
6．已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组则tan ∠AOB的最大值为(　　)
A. B. C. D.新$课$标$第$一$网
解析：由题意可知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分．根据正切函数的单调性，在∠AOB为锐角的情况下，当∠AOB最大时，tan ∠AOB最大．结合图形，在点A，B位于图中位置时∠AOB最大．由x－3y＋1＝0，x＋y－3＝0得A(2,1)，由x＝1，x＋y－3＝0得B(1,2)，所以tan ∠xOA＝，tan ∠xOB＝2，则tan ∠AOB＝tan(∠xOB－∠xOA)＝＝.

答案：B
二、填空题
7．(2014年桂林模拟)若实数x，y满足，则的取值范围是________．
解析：由题可知＝，即为求不等式所表示的平面区域内的点与(0，－1)的连线斜率k的取值范围，由图可知k∈[1,5]．

答案：[1,5]
8．设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，则使函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是__．
解析：画出平面区域如图中阴影部分所示，求得A(2,10)，B(1,9)，C(3,8)．由图可知，欲满足条件必有a>1且y＝ax的图象必过B，C两点之间的区域．当图象过B时，a1＝9，所以a＝9；当图象过C时，a3＝8，所以a＝2，故a的取值范围是[2,9]．

答案：[2,9]
9．(2014年合肥模拟)设动点P(x，y)在区域Ω：上(含边界)，过点P任意作直线l，设直线l与区域Ω的公共部分为线段AB，则以AB为直径的圆的面积的最大值为________．
解析：如图，区域Ω为△MON及其内部，A、B∈区域Ω，则|AB|的最大值为|OM|＝4.
所以以AB为直径的圆的面积的最大值为π·2＝4π.

答案：4π
三、解答题
10．设实数x，y满足不等式组且x2＋y2的最小值为m，当9≤m≤25时，求实数k的取值范围．
解析：不等式组表示的可行域如图中的阴影部分，x2＋y2的最小值m即为|OA|2，联立，

得A.由题知9≤2＋2≤25，解得－2≤k≤5.
11．已知点P(2，t)在不等式组表示的平面区域内，求点P(2，t)到直线3x＋4y＋10＝0距离的最大值．
解析：由题意可知，不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，点P(2，t)是直线x＝2位于阴影部分的线段AB上的一点，结合图形可知，在点A(2,1)处，点P(2，t)到直线3x＋4y＋10＝0的距离最大，这个最大值是dmax＝＝4.

12．(能力提升)设点P(x，y)满足：，求＋的取值范围．w w w .x k b 1.c o m
解析：由题意，令t＝，则＋＝t＋，只要求出t的取值范围，再根据函数f(t)＝t＋的性质即可求出其取值范围．不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，根据t的几何意义，即t为区域内的点与坐标原点连线的斜率，显然OA的斜率最小，OB的斜率2最大，即≤t≤2.由于函数f(t)＝t＋，f′(t)＝1－，故f(t)在上单调递减，在[1,2]上单调递增，即f(t)min＝f(1)＝2，f(t)max＝max＝，故2≤f(t)≤，所以2≤＋≤

[B组　因材施教·备选练习]
1．某厂生产的甲、乙两种产品每件可获利润分别为30元、20元，生产甲产品每件需用A原料2千克、B原料4千克，生产乙产品每件需用A原料3千克、B原料2千克．A原料每日供应量限额为60千克，B原料每日供应量限额为80千克．要求每天生产的乙种产品不能比甲种产品多10件以上，则合理安排生产可使每日获得的最大利润为(　　)
A．500元 B．700元
C．400元 D．650元
解析：设每日生产甲、乙两种产品分别为x、y件，则x、y满足
[来源:学。科。网Z。X。X。K]

每日获得的利润z＝30x＋20y.
不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示(取阴影部分中横坐标、纵坐标均为整数的点)，根据目标函数的几何意义，z在直线2x＋3y＝60和4x＋2y＝80的交点B处取得最大值，由，解得B(15,10)，代入目标函数得zmax＝30×15＋20×10＝650.
答案：D
2．已知平面区域D由以点A(1,3)，B(5,2)，C(3,1)为顶点的三角形内部以及边界组成．若在区域D上有无穷多个点(x，y)可使目标函数z＝x＋my取得最小值，则实数m的值为(　　)
A．－2 B．－1 [来源:Z*xx*k.Com]
C．1 D．4
解析：依题意，作出符合条件的可行域如图中阴影部分所示．

将目标函数变形，可得y＝－x＋.当m>0时，直线过点C时，z取得最小值，欲使最优解有无数个，则需－＝kAC＝－1.∴m＝1.当m<0时，直线过点A时，z取得最小值，但仅在A点时取得最小值，不满足题意．∴m＝1.故选C.
答案：C
3．(2014年西安模拟)设点A(1，－1)，B(0,1)，若直线ax＋by＝1与线段AB(包括端点)有公共点，则a2＋b2的最小值为(　　)
A. B.
C. D．1
解析：由题意知，线段AB的方程为2x＋y＝1(0≤x≤1)，∵直线ax＋by＝1与线段AB有公共点，∴有方程组，(a－2b)x＝1－b(0≤x≤1)有解，∴，或0≤≤1，即，或，其表示的平面区域如阴影部分所示．

而a2＋b2即为阴影部分的点到原点的距离的平方，容易得到，当a＝，b＝时，a2＋b2取最小值.
答案：C
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