高等数学教案4-3.DOC

§4．1 不定积分的概念与性质
§4. 3 分部积分法
设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数. 那么, 两个函数乘积的导数公式为
(uv)¢=u¢v+uv¢,
移项得 uv¢=(uv)¢-u¢v.
对这个等式两边求不定积分, 得
, 或,
这个公式称为分部积分公式.
分部积分过程:
.
例1 =x sin x-cos x+C .
例2 .
例3

=x2ex-2xex+2ex+C =ex(x2-2x+2 )+C.
例4
.
例5

.
例6

.
例7 求.
解 因为

,
所以 .

例8 求.
解 因为

,
所以 .
例9 求, 其中n为正整数.
解 ;
当n>1时，用分部积分法, 有

,
即 ,
于是 .
以此作为递推公式, 并由即可得.
例10 求.
解 令x =t 2 , 则 , dx=2tdt. 于
.

.
第一换元法与分部积分法的比较:
共同点是第一步都是凑微分
,
.
哪些积分可以用分部积分法？
, , ;
, , ;
, .
,
.

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