一元二次方程2010分类.doc

2010一元二次方程分类
一．选择题
1.（2010日照）如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=1，那么p，q的值分别是（A）
A.－3，2 B.3，-2 C.2，－3 D.2，3
2.(2010兰州)上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价%后售价为128元. 下列
所列方程中正确的是(B )
A． B．
C． D．
3.(2010玉溪) 一元二次方程x2-5x+6=0 的两根分别是x1,x2,则x1+x2等于（A）
　 A. 5 B. 6 C. -5 D. -6
4.(2010桂林)一元二次方程的解是 （ A ）．
A．， B．，
C．， D．，
5.（2010昆明）一元二次方程的两根之积是（ B ）
A．-1 B．-2 C．1 D．2
6.（2010杭州）方程 x2 + x – 1 = 0的一个根是（ D ）
A. 1 – B. C. –1+ D.
7.（2010上海）已知一元二次方程 x2 + x ─ 1 = 0，下列判断正确的是（ B ）
A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根
C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定
8.(2010益阳)一元二次方程有两个不相等的实数根，则
满足的条件是( B )　　　　　
Ａ．＝0 Ｂ．＞0
Ｃ．＜0 Ｄ．≥0
9. (2010滨州)一元二次方程的一个根是，则另一个根是（ C ）
A. 3 B． C． D．
10. （2010常德）方程的两根为（ A ）
A.6和-1 B.-6和1 C.-2和-3 D.2和3
11.（2010常德）2008年常德GDP为1050亿元，比上年增长13.2%，提前两年实现了市委、市政府在“十一五规划”中提出“到2010年全年GDP过千亿元”的目标.如果按此增长速度，那么我市今年的GDP为（ A ）
A．1050×(1+13.2%)2 B．1050×(1－13.2%)2
C．1050×(13.2%)2 D．1050×(1+13.2%)
12．（2010绥化）方程(x－5)( x－6)＝x－5的解是（ D ）
A．x＝5 B．x＝5或x＝6 C．x＝7 D．x＝5或x＝7
13. (2010潍坊)关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（　B　）
A.　　B.　　C. 　　D.
14.（2010甘肃）近年来，全国房价不断上涨，某县201 0年4月份的房价平均每平方米为3600元， 比2008年同期的房价平均每平方米上涨了2000元，假设这两年该县房价的平均增长率均为，则关于的方程为( D )
A． B．
C． D．
15.（2010包头）关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是（ C ）
A．1 B．12 C．13 D．25
16.
二.填空题
1.（2010遵义）已知，则 . 2010
2. (2010丹东)某商场销售额3月份为16万元，5月份为25万元，该商场这两个月销售额的平
均增长率是
．25%
3. (2010莱芜)某公司在年的盈利额为万元，预计年的盈利额将达到万元，
若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在年的盈利额为________万元．220
4.（2010遵义）如图,在宽为,长为的矩形地面上修建两条宽都是的道路,余下部
分种植花草.那么,种植花草的面积为 .1131

5. (2010河北)已知x = 1是一元二次方程的一个根，则 的值
为 ． 1
6.(2010成都)设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为__________________．7
7.(2010无锡) 方程的解是 ．
8.(2010舟山)已知x=2是一元二次方程（的一个根，则的值是 。4,0
9.（2010贵阳）方程x+1＝2的解是   ．x =±1
10.（2010上海）方程 = x 的根是______x=3______.
11. （2010凉山州）已知三角形两边长是方程的两个跟，则三角形的第三边的取值范围是 。
12. （2010台州）某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价
的百分率．设平均每次降价的百分率为，可列方程为 ．
13.(2010兰州)已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ．且m≠1
14．（2010 柳州 ）关于的一元二次方程的根是　　　　．或
15．（2010绥化）代数式3x2－4x－5的值为7，则x2－ x－5的值为___________．－1
16. （2010河池）方程的解为 .

三.解答题
1.（2010上海）解方程：─ ─ 1 = 0
解：

,∴
代入检验得符合要求
2.（2010绵阳）已知关于x的一元二次方程x2 = 2（1－m）x－m2 的两实数根为x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）设y = x1 + x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．
（1）将原方程整理为 x2 + 2（m－1）x + m2 = 0．
∵ 原方程有两个实数根，
∴ △= [ 2（m－1）2－4m2 =－8m + 4≥0，得 m≤．
（2） ∵ x1，x2为x2 + 2（m－1）x + m2 = 0的两根，
∴ y = x1 + x2 =－2m + 2，且m≤．
因而y随m的增大而减小，故当m =时，取得最小值1．
3. (2010长沙)长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地
产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下
调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费．物业管理费是每平方米每月1.5元．请问哪种方案更优惠？
解：（1）设平均每次降价的百分率是x，依题意得
5000（1－x）2= 4050
解得：x1=10％ x2＝（不合题意，舍去）
答：平均每次降价的百分率为10％．
（2）方案①的房款是：4050×100×0.98＝396900（元）
方案②的房款是：4050×100－1.5×100×12×2＝401400（元）
∵396900＜401400
∴选方案①更优惠．
4.(2010咸宁)随着人们节能意识的增强，节能产品的销售量逐年增加．某商场高效节能灯的年销售量2008年为5万只，预计2010年将达到7.2万只．求该商场2008年到2010年高效节能灯年销售量的平均增长率．
解：设年销售量的平均增长率为，依题意得：
．
解这个方程，得，．
因为为正数，所以．
答：该商场2008年到2010年高效节能灯年销售量的平均增长率为．
5.（2010济南）如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．求该矩形草坪BC边的长．

解：设BC边的长为x米，根据题意得
，
解得：，
∵20＞16，
∴不合题意，舍去，
答：该矩形草坪BC边的长为12米.
6.（2010湘潭）我市某经济开发区去年总产值100亿元，计划两年后总产值达到121亿元，求平均年增长率．
解： 设平均年增长率为
依题意得：
解得：
答：平均每年增长的百分率为10﹪
7.（2010广东广州）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数
根，求的值。
解：∵有两个相等的实数根，
∴⊿＝，即．
∵
∵，∴
8.(2010兰州)如图，P1是反比例函数在第一象限图像上的一点，点A1 的坐标
为(2，0)．
（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1O A1的面积 将如何变化？
（2）若△P1O A1与△P2 A1 A2均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及A2点的坐标．

解：（1）△P1OA1的面积将逐渐减小．
（2）作P1C⊥OA1，垂足为C，因为△P1O A1为等边三角形，
所以OC=1，P1C=，所以P1．
代入，得k=，所以反比例函数的解析式为．
作P2D⊥A1 A2，垂足为D、设A1D=a，则OD=2+a，P2D=a，
所以P2．
代入，得，化简得
解的：a=-1±
∵a＞0 ∴
所以点A2的坐标为﹙，0﹚
9.（2010南充）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．
解：（1）方程有两个不相等的实数根，∴　　＞0．
　　　　即　，解得，．　　　　　　　　　　　　　
（2）若k是负整数，k只能为－1或－2．　　　　　　　　　　　　　
　　如果k＝－1，原方程为　．
　　解得，，．　　　　　　　　　　　　
　　（如果k＝－2，原方程为，解得，，．）
10.（2010绍兴）某公司投资新建了一商场,共有商铺30间.据预测,当每间的年租金定为10
万元时,可全部租出.每间的年租金每增加5 000元,少租出商铺1间.该公司要为租出的商铺每
间每年交各种费用1万元,未租出的商铺每间每年交各种费用5 000元.
（1）当每间商铺的年租金定为13万元时,能租出多少间？
（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益（收益＝租金－各种费用）为275万元？
解：（1）∵ 30 000÷5 000＝6, ∴ 能租出24间.
（2）设每间商铺的年租金增加x万元,则
（30－）×（10＋x）－（30－）×1－×0.5＝275，
2 x 2－11x＋5＝0， ∴ x＝5或0.5，
∴ 每间商铺的年租金定为10.5万元或15万元.
11.（2010中山）解方程组：

解：
由①得： ③
将③代入②，化简整理，得：

解得：

将代入①，得：
或

12.（2010中山）已知一元二次方程。
（1）若方程有两个实数根，求m的范围；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且，求m的值。
（1）m≤1 （2）
13.（２０１０荆州）已知：关于x 的一元二次方程的两根满足，双曲线(x＞0)经过Rt△OAB斜边OB
的中点D，与直角边AB交于C（如图），求．

解：有两根
∴
即
由得：
当时， 解得 ，不合题意，舍去
当时，，
解得： 符合题意
∴双曲线的解析式为：.
过D作DE⊥OA于E， 则
∵DE⊥OA，BA⊥OA
∴DE∥AB ∴△ODE∽△OBA
∴ ∴
∴
14.（2010天津）青山村种的水稻2007年平均每公顷产8 000 kg，2009年平均每公顷产9 680 kg，求该村水稻每公顷产量的年平均增长率.
解题方案：
设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为.
（Ⅰ）用含的代数式表示：
① 2008年种的水稻平均每公顷的产量为 ；
② 2009年种的水稻平均每公顷的产量为 ；
（Ⅱ）根据题意，列出相应方程 ；
（Ⅲ）解这个方程，得 ；
（Ⅳ）检验： ；
（Ⅴ）答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为 %.
解：（Ⅰ）①；②；
（Ⅱ）；
（Ⅲ），；
（Ⅳ），都是原方程的根，但不符合题意，所以只取；
（Ⅴ）10 .
15.(2010宁夏)在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，将△ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处；将△ACD沿AC所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB、FC使其交于点M．
(1)判断四边形AEMF的形状，并给予证明．
(2)若BD=1，CD=2，试求四边形AEMF的面积．

解：（1）∵ADBC
△AEB是由△ADB折叠所得
∴∠1=∠3，∠E=∠ADB=，BE=BD, AE=AD
又∵△AFC是由△ADC折叠所得
∴∠2=∠4，∠F=∠ADC=，FC=CD，AF=AD
∴AE=AF
又∵∠1+∠2=，
∴∠3+∠4=
∴∠EAF=
∴四边形AEMF是正方形。
（2）方法一：设正方形AEMF的边长为x
根据题意知：BE=BD, CF=CD
∴BM=x－1; CM=x－2
在Rt△BMC中,由勾股定理得：

∴

解之得： (舍去)
∴
方法二：设：AD=x
∴=
∴
∵
且
∴ 即
解之得： (舍去)
∴
16.(2010桂林)如图，过A（8，0）、B（0，）两点的直线与直线交于点C．平
行于轴的直线从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向右平移，到C点时停
止；分别交线段BC、OC于点D、E，以DE为边向左侧作等边△DEF，设△DEF与△BCO
重叠部分的面积为S（平方单位），直线的运动时间为t（秒）．
（1）直接写出C点坐标和t的取值范围；
（2）求S与t的函数关系式；
（3）设直线与轴交于点P，是否存在这样的点P，使得以P、O、F为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解（1）C（4，）

的取值范围是：0≤≤4
（2）∵D点的坐标是（，），E的坐标是（，）
∴DE=-=
∴等边△DEF的DE边上的高为：
∴当点F在BO边上时：=，∴=3
① 当0≤<3时，重叠部分为等腰梯形，可求梯形上底为：-

S=
=
=
② 当3≤≤4时，重叠部分为等边三角形
S=
=
（3）存在，P（，0）
说明：∵FO≥，FP≥，OP≤4
∴以P，O，F以顶点的等腰三角形，腰只有可能是FO，FP,
若FO=FP时，=2（12-3），=，∴P（，0）
17.(2010成都)随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计，2007年底全市汽车拥有量为180万辆，而截止到2009年底，全市的汽车拥有量已达216万辆．
（1）求2007年底至2009年底该市汽车拥有量的年平均增长率；
（2）为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2011年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆；另据估计，从2010年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10％．假定每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆．
解：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为。根据题意，得

解得，（不合题意，舍去）。
答：该市汽车拥有量的年平均增长率为20%。
（2）设全市每年新增汽车数量为万辆，则2010年底全市的汽车拥有量为万辆，2011年底全市的汽车拥有量为万辆。根据题意得

解得
答：该市每年新增汽车数量最多不能超过30万辆。
18.(2010成都)若关于的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围及的非负整数值.
解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，
∴△=
解得
∴的非负整数值为0,1,2。
19.(2010镇江)如图，在直角坐标系的直角顶点A，C始终在x
轴的正半轴上，B，D在第一象限内，点B在直线OD上方，OC=CD，OD=2，M为OD的
中点，AB与OD相交于E，当点B位置变化时，
试解决下列问题：
（1）填空：点D坐标为 ；
（2）设点B横坐标为t，请把BD长表示成关于t的函数关系式，并化简；
（3）等式BO=BD能否成立？为什么？
（4）设CM与AB相交于F，当△BDE为直角三角形时，判断四边形BDCF的形状，并
证明你的结论.

解:（1）；（1分）
（2）

①

② （注：不去绝
对值符号不扣分）
（3）[法一]若OB=BD，则

由①得 （5分）

[法二]若OB=BD，则B点在OD的中垂线CM上.

∴直线CM的函数关系式为， ③ （5分）
④
联立③，④得：，

[法三]若OB=BD，则B点在OD的中垂线CM上，如图27 – 1
过点B作

（4）如果，
①当，如图27 – 2

∴此时四边形BDCF为直角梯形.（7分）
②当如图27 – 3

∴此时四边形BDCF为平行四边形.（8分）
下证平行四边形BDCF为菱形：

[法一]在，

[方法①]上方
（舍去）.
得
[方法②]由②得：
此时
∴此时四边形BDCF为菱形（9分）
[法二]在等腰中

20.（2010浙江金华）已知点P的坐标为（m，0）在x轴上存在点Q（不与P点重合），以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在反比例函数y = 的图像上.小明对上述问题进行了探究，发现不论m取何值，符合上述条件的正方形只有两个，且一个正方形的顶点M在第四象限，另一个正方形的顶点M1在第二象限.
（1）如图所示，若反比例函数解析式为y= ，P点坐标为（1， 0），图中已画出一符合条件的一个正方形PQMN，请你在图中画出符合条件的另一个正方形PQ1M1N1，并写出点M1的坐标； M1的坐标是
（2） 请你通过改变P点坐标，对直线M1 M的解析式y﹦kx＋b进行探究可得 k﹦ ， 若
点P的坐标为（m，0）时，则b﹦ ；
（3） 依据(2)的规律，如果点P的坐标为（6，0），请你求出点M1和点M的坐标．

解：（1）如图；M1 的坐标为（－1，2）
（2），
（3）由（2）知，直线M1 M的解析式为
则(，)满足
解得 ，
∴ ，

∴M1，M的坐标分别为（，），（，）．
21. （2010泰安）解方程：原方程化为

∴
即
∴，
22．(2010 达州 )在一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案.

(1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由.
(2)你还有其他的设计方案吗？请在图3中画出你所设计的草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明.

解：（1）不符合.
设小路宽度均为 m，根据题意得：
,
解这个方程得：
但不符合题意，应舍去,∴.
∴小芳的方案不符合条件，小路的宽度均为2m.
（2）答案不唯一.6分
例如：

（2010 柳州 ）目前，“低碳”已成为保护地球环境的热门话题．风能是一种清洁能源，近几年我国风电装机容量迅速增长．图11是我国2003年－2009年部分年份的内力发电装机容量统计图（单位：万千瓦），观察统计图解答下列问题．

图11

（1）2007年，我国风力发电装机容量已达　　　　万千瓦；从2003年到2009年，我国风力发电装机容量平均每年增长　　　　万千瓦；
（2）求2007～2009这两年装机容量的年平均增长率；（参考数据：，，）
（3）按（2）的增长率，请你预测2010年我国风力发电装机容量．（结果保留到万千瓦）

设2008年的风力发电装机容量为万千瓦．

经检验，是所列方程的根．
则2007到2009这两年装机容量的年增长率为
答：2007到2009这两年装机容量的年平均增长率约为124%．
（3）
2010年我国风力发电装机容量约为万千瓦．
23．（2010 柳州 ）目前，“低碳”已成为保护地球环境的热门话题．风能是一种清洁能源，近几年我国风电装机容量迅速增长．图11是我国2003年－2009年部分年份的内力发电装机容量统计图（单位：万千瓦），观察统计图解答下列问题．

图11

（1）2007年，我国风力发电装机容量已达　　　　万千瓦；从2003年到2009年，我国风力发电装机容量平均每年增长　　　　万千瓦
（2）求2007～2009这两年装机容量的年平均增长率；（参考数据：，，）
（3）按（2）的增长率，请你预测2010年我国风力发电装机容量．（结果保留到万千瓦）

设2008年的风力发电装机容量为万千瓦．

经检验，是所列方程的根．
则2007到2009这两年装机容量的年增长率为
答：2007到2009这两年装机容量的年平均增长率约为124%．
（3）
2010年我国风力发电装机容量约为万千瓦．
24. （2010新疆生产建设兵团）解方程：
解法不唯一.
　　　例解：

25. （2010乌鲁木齐）2010年5月中央召开了新疆工作座谈会，为实现新疆跨越式发展和长治久安，作出了重要战略决策部署．为此我市抓住机遇，加快发展，决定今年投入5亿元用于城市基础设施维护和建设，以后逐年增加，计划到2012年当年用于城市基础设施维护与建设资金达到8.45亿元.
（1）求从2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率；
（2）若2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率相同，
预计我市这三年用于城市基础设施维护和建设资金共多少亿元？
解：（1）设从2010至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为，由题意得：解得，（不合题意舍去）
答：从2010至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为30%.
（2）这三年共投资
（亿元）
答：预计我市这三年用于城市建设基础设施维护和建设资金共19.95亿元

26.