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一元二次方程2010分类.doc

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2010一元二次方程分类 一.选择题 1.(2010日照)如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2,x2=1,那么p,q的值分别是(A) A.-3,2 B.3,-2 C.2,-3 D.2,3 2.(2010兰州)上海世博会的某纪念品原价168元,连续两次降价%后售价为128元. 下列 所列方程中正确的是(B ) A. B. C. D. 3.(2010玉溪) 一元二次方程x2-5x+6=0 的两根分别是x1,x2,则x1+x2等于(A)   A. 5 B. 6 C. -5 D. -6 4.(2010桂林)一元二次方程的解是 ( A ). A., B., C., D., 5.(2010昆明)一元二次方程的两根之积是( B ) A.-1 B.-2 C.1 D.2 6.(2010杭州)方程 x2 + x – 1 = 0的一个根是( D ) A. 1 – B. C. –1+ D. 7.(2010上海)已知一元二次方程 x2 + x ─ 1 = 0,下列判断正确的是( B ) A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根 C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定 8.(2010益阳)一元二次方程有两个不相等的实数根,则 满足的条件是( B )      A.=0 B.>0 C.<0 D.≥0 9. (2010滨州)一元二次方程的一个根是,则另一个根是( C ) A. 3 B. C. D. 10. (2010常德)方程的两根为( A ) A.6和-1 B.-6和1 C.-2和-3 D.2和3 11.(2010常德)2008年常德GDP为1050亿元,比上年增长13.2%,提前两年实现了市委、市政府在“十一五规划”中提出“到2010年全年GDP过千亿元”的目标.如果按此增长速度,那么我市今年的GDP为( A ) A.1050×(1+13.2%)2 B.1050×(1-13.2%)2 C.1050×(13.2%)2 D.1050×(1+13.2%) 12.(2010绥化)方程(x-5)( x-6)=x-5的解是( D ) A.x=5 B.x=5或x=6 C.x=7 D.x=5或x=7 13. (2010潍坊)关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则实数的取值范围是( B ) A.  B.  C.   D. 14.(2010甘肃)近年来,全国房价不断上涨,某县201 0年4月份的房价平均每平方米为3600元, 比2008年同期的房价平均每平方米上涨了2000元,假设这两年该县房价的平均增长率均为,则关于的方程为( D ) A. B. C. D. 15.(2010包头)关于的一元二次方程的两个实数根分别是,且,则的值是( C ) A.1 B.12 C.13 D.25 16. 二.填空题 1.(2010遵义)已知,则 . 2010 2. (2010丹东)某商场销售额3月份为16万元,5月份为25万元,该商场这两个月销售额的平 均增长率是 .25% 3. (2010莱芜)某公司在年的盈利额为万元,预计年的盈利额将达到万元, 若每年比上一年盈利额增长的百分率相同,那么该公司在年的盈利额为________万元.220 4.(2010遵义)如图,在宽为,长为的矩形地面上修建两条宽都是的道路,余下部 分种植花草.那么,种植花草的面积为 .1131 5. (2010河北)已知x = 1是一元二次方程的一个根,则 的值 为 . 1 6.(2010成都)设,是一元二次方程的两个实数根,则的值为__________________.7 7.(2010无锡) 方程的解是 . 8.(2010舟山)已知x=2是一元二次方程(的一个根,则的值是 。4,0 9.(2010贵阳)方程x+1=2的解是   .x =±1 10.(2010上海)方程 = x 的根是______x=3______. 11. (2010凉山州)已知三角形两边长是方程的两个跟,则三角形的第三边的取值范围是 。 12. (2010台州)某种商品原价是120元,经两次降价后的价格是100元,求平均每次降价 的百分率.设平均每次降价的百分率为,可列方程为 . 13.(2010兰州)已知关于x的一元二次方程有实数根,则m的取值范围是 .且m≠1 14.(2010 柳州 )关于的一元二次方程的根是    .或 15.(2010绥化)代数式3x2-4x-5的值为7,则x2- x-5的值为___________.-1 16. (2010河池)方程的解为 . 三.解答题 1.(2010上海)解方程:─ ─ 1 = 0 解: ,∴ 代入检验得符合要求 2.(2010绵阳)已知关于x的一元二次方程x2 = 2(1-m)x-m2 的两实数根为x1,x2. (1)求m的取值范围; (2)设y = x1 + x2,当y取得最小值时,求相应m的值,并求出最小值. (1)将原方程整理为 x2 + 2(m-1)x + m2 = 0. ∵ 原方程有两个实数根, ∴ △= [ 2(m-1)2-4m2 =-8m + 4≥0,得 m≤. (2) ∵ x1,x2为x2 + 2(m-1)x + m2 = 0的两根, ∴ y = x1 + x2 =-2m + 2,且m≤. 因而y随m的增大而减小,故当m =时,取得最小值1. 3. (2010长沙)长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售,由于国务院有关房地 产的新政策出台后,购房者持币观望.为了加快资金周转,房地产开发商对价格经过两次下 调后,决定以每平方米4050元的均价开盘销售. (1)求平均每次下调的百分率; (2)某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子.开发商还给予以下两种优惠方案以供选择:①打9.8折销售;②不打折,送两年物业管理费.物业管理费是每平方米每月1.5元.请问哪种方案更优惠? 解:(1)设平均每次降价的百分率是x,依题意得 5000(1-x)2= 4050 解得:x1=10% x2=(不合题意,舍去) 答:平均每次降价的百分率为10%. (2)方案①的房款是:4050×100×0.98=396900(元) 方案②的房款是:4050×100-1.5×100×12×2=401400(元) ∵396900<401400 ∴选方案①更优惠. 4.(2010咸宁)随着人们节能意识的增强,节能产品的销售量逐年增加.某商场高效节能灯的年销售量2008年为5万只,预计2010年将达到7.2万只.求该商场2008年到2010年高效节能灯年销售量的平均增长率. 解:设年销售量的平均增长率为,依题意得: . 解这个方程,得,. 因为为正数,所以. 答:该商场2008年到2010年高效节能灯年销售量的平均增长率为. 5.(2010济南)如图所示,某幼儿园有一道长为16米的墙,计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD.求该矩形草坪BC边的长. 解:设BC边的长为x米,根据题意得 , 解得:, ∵20>16, ∴不合题意,舍去, 答:该矩形草坪BC边的长为12米. 6.(2010湘潭)我市某经济开发区去年总产值100亿元,计划两年后总产值达到121亿元,求平均年增长率. 解: 设平均年增长率为 依题意得: 解得: 答:平均每年增长的百分率为10﹪ 7.(2010广东广州)已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数 根,求的值。 解:∵有两个相等的实数根, ∴⊿=,即. ∵ ∵,∴ 8.(2010兰州)如图,P1是反比例函数在第一象限图像上的一点,点A1 的坐标 为(2,0). (1)当点P1的横坐标逐渐增大时,△P1O A1的面积 将如何变化? (2)若△P1O A1与△P2 A1 A2均为等边三角形,求此反比例函数的解析式及A2点的坐标. 解:(1)△P1OA1的面积将逐渐减小. (2)作P1C⊥OA1,垂足为C,因为△P1O A1为等边三角形, 所以OC=1,P1C=,所以P1. 代入,得k=,所以反比例函数的解析式为. 作P2D⊥A1 A2,垂足为D、设A1D=a,则OD=2+a,P2D=a, 所以P2. 代入,得,化简得 解的:a=-1± ∵a>0 ∴ 所以点A2的坐标为﹙,0﹚ 9.(2010南充)关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围. (2)请选择一个k的负整数值,并求出方程的根. 解:(1)方程有两个不相等的实数根,∴  >0.     即 ,解得,.              (2)若k是负整数,k只能为-1或-2.                如果k=-1,原方程为 .   解得,,.               (如果k=-2,原方程为,解得,,.) 10.(2010绍兴)某公司投资新建了一商场,共有商铺30间.据预测,当每间的年租金定为10 万元时,可全部租出.每间的年租金每增加5 000元,少租出商铺1间.该公司要为租出的商铺每 间每年交各种费用1万元,未租出的商铺每间每年交各种费用5 000元. (1)当每间商铺的年租金定为13万元时,能租出多少间? (2)当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益(收益=租金-各种费用)为275万元? 解:(1)∵ 30 000÷5 000=6, ∴ 能租出24间. (2)设每间商铺的年租金增加x万元,则 (30-)×(10+x)-(30-)×1-×0.5=275, 2 x 2-11x+5=0, ∴ x=5或0.5, ∴ 每间商铺的年租金定为10.5万元或15万元. 11.(2010中山)解方程组: 解: 由①得: ③ 将③代入②,化简整理,得: 解得: 将代入①,得: 或 12.(2010中山)已知一元二次方程。 (1)若方程有两个实数根,求m的范围; (2)若方程的两个实数根为x1,x2,且,求m的值。 (1)m≤1 (2) 13.(2010荆州)已知:关于x 的一元二次方程的两根满足,双曲线(x>0)经过Rt△OAB斜边OB 的中点D,与直角边AB交于C(如图),求. 解:有两根 ∴ 即 由得: 当时, 解得 ,不合题意,舍去 当时,, 解得: 符合题意 ∴双曲线的解析式为:. 过D作DE⊥OA于E, 则 ∵DE⊥OA,BA⊥OA ∴DE∥AB ∴△ODE∽△OBA ∴ ∴ ∴ 14.(2010天津)青山村种的水稻2007年平均每公顷产8 000 kg,2009年平均每公顷产9 680 kg,求该村水稻每公顷产量的年平均增长率. 解题方案: 设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为. (Ⅰ)用含的代数式表示: ① 2008年种的水稻平均每公顷的产量为 ; ② 2009年种的水稻平均每公顷的产量为 ; (Ⅱ)根据题意,列出相应方程 ; (Ⅲ)解这个方程,得 ; (Ⅳ)检验: ; (Ⅴ)答:该村水稻每公顷产量的年平均增长率为 %. 解:(Ⅰ)①;②; (Ⅱ); (Ⅲ),; (Ⅳ),都是原方程的根,但不符合题意,所以只取; (Ⅴ)10 . 15.(2010宁夏)在△ABC中,∠BAC=45°,AD⊥BC于D,将△ABD沿AB所在的直线折叠,使点D落在点E处;将△ACD沿AC所在的直线折叠,使点D落在点F处,分别延长EB、FC使其交于点M. (1)判断四边形AEMF的形状,并给予证明. (2)若BD=1,CD=2,试求四边形AEMF的面积. 解:(1)∵ADBC △AEB是由△ADB折叠所得 ∴∠1=∠3,∠E=∠ADB=,BE=BD, AE=AD 又∵△AFC是由△ADC折叠所得 ∴∠2=∠4,∠F=∠ADC=,FC=CD,AF=AD ∴AE=AF 又∵∠1+∠2=, ∴∠3+∠4= ∴∠EAF= ∴四边形AEMF是正方形。 (2)方法一:设正方形AEMF的边长为x 根据题意知:BE=BD, CF=CD ∴BM=x-1; CM=x-2 在Rt△BMC中,由勾股定理得: ∴ 解之得: (舍去) ∴ 方法二:设:AD=x ∴= ∴ ∵ 且 ∴ 即 解之得: (舍去) ∴ 16.(2010桂林)如图,过A(8,0)、B(0,)两点的直线与直线交于点C.平 行于轴的直线从原点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿轴向右平移,到C点时停 止;分别交线段BC、OC于点D、E,以DE为边向左侧作等边△DEF,设△DEF与△BCO 重叠部分的面积为S(平方单位),直线的运动时间为t(秒). (1)直接写出C点坐标和t的取值范围; (2)求S与t的函数关系式; (3)设直线与轴交于点P,是否存在这样的点P,使得以P、O、F为顶点的三角形为等腰三角形,若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 解(1)C(4,) 的取值范围是:0≤≤4 (2)∵D点的坐标是(,),E的坐标是(,) ∴DE=-= ∴等边△DEF的DE边上的高为: ∴当点F在BO边上时:=,∴=3 ① 当0≤<3时,重叠部分为等腰梯形,可求梯形上底为:- S= = = ② 当3≤≤4时,重叠部分为等边三角形 S= = (3)存在,P(,0) 说明:∵FO≥,FP≥,OP≤4 ∴以P,O,F以顶点的等腰三角形,腰只有可能是FO,FP, 若FO=FP时,=2(12-3),=,∴P(,0) 17.(2010成都)随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展,汽车已越来越多地进入普通家庭,成为居民消费新的增长点.据某市交通部门统计,2007年底全市汽车拥有量为180万辆,而截止到2009年底,全市的汽车拥有量已达216万辆. (1)求2007年底至2009年底该市汽车拥有量的年平均增长率; (2)为保护城市环境,缓解汽车拥堵状况,该市交通部门拟控制汽车总量,要求到2011年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆;另据估计,从2010年初起,该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%.假定每年新增汽车数量相同,请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆. 解:(1)设该市汽车拥有量的年平均增长率为。根据题意,得 解得,(不合题意,舍去)。 答:该市汽车拥有量的年平均增长率为20%。 (2)设全市每年新增汽车数量为万辆,则2010年底全市的汽车拥有量为万辆,2011年底全市的汽车拥有量为万辆。根据题意得 解得 答:该市每年新增汽车数量最多不能超过30万辆。 18.(2010成都)若关于的一元二次方程有两个实数根,求的取值范围及的非负整数值. 解:∵关于的一元二次方程有两个实数根, ∴△= 解得 ∴的非负整数值为0,1,2。 19.(2010镇江)如图,在直角坐标系的直角顶点A,C始终在x 轴的正半轴上,B,D在第一象限内,点B在直线OD上方,OC=CD,OD=2,M为OD的 中点,AB与OD相交于E,当点B位置变化时, 试解决下列问题: (1)填空:点D坐标为 ; (2)设点B横坐标为t,请把BD长表示成关于t的函数关系式,并化简; (3)等式BO=BD能否成立?为什么? (4)设CM与AB相交于F,当△BDE为直角三角形时,判断四边形BDCF的形状,并 证明你的结论. 解:(1);(1分) (2) ① ② (注:不去绝 对值符号不扣分) (3)[法一]若OB=BD,则 由①得 (5分) [法二]若OB=BD,则B点在OD的中垂线CM上. ∴直线CM的函数关系式为, ③ (5分) ④ 联立③,④得:, [法三]若OB=BD,则B点在OD的中垂线CM上,如图27 – 1 过点B作 (4)如果, ①当,如图27 – 2 ∴此时四边形BDCF为直角梯形.(7分) ②当如图27 – 3 ∴此时四边形BDCF为平行四边形.(8分) 下证平行四边形BDCF为菱形: [法一]在, [方法①]上方 (舍去). 得 [方法②]由②得: 此时 ∴此时四边形BDCF为菱形(9分) [法二]在等腰中 20.(2010浙江金华)已知点P的坐标为(m,0),在x轴上存在点Q(不与P点重合),以PQ为边作正方形PQMN,使点M落在反比例函数y = 的图像上.小明对上述问题进行了探究,发现不论m取何值,符合上述条件的正方形只有两个,且一个正方形的顶点M在第四象限,另一个正方形的顶点M1在第二象限. (1)如图所示,若反比例函数解析式为y= ,P点坐标为(1, 0),图中已画出一符合条件的一个正方形PQMN,请你在图中画出符合条件的另一个正方形PQ1M1N1,并写出点M1的坐标; M1的坐标是 (2) 请你通过改变P点坐标,对直线M1 M的解析式y﹦kx+b进行探究可得 k﹦ , 若 点P的坐标为(m,0)时,则b﹦ ; (3) 依据(2)的规律,如果点P的坐标为(6,0),请你求出点M1和点M的坐标. 解:(1)如图;M1 的坐标为(-1,2) (2), (3)由(2)知,直线M1 M的解析式为 则(,)满足 解得 , ∴ , ∴M1,M的坐标分别为(,),(,). 21. (2010泰安)解方程:原方程化为 ∴ 即 ∴, 22.(2010 达州 )在一块长16m,宽12m的矩形荒地上,要建造一个花园,要求花园面积是荒地面积的一半,下面分别是小华与小芳的设计方案. (1)同学们都认为小华的方案是正确的,但对小芳方案是否符合条件有不同意见,你认为小芳的方案符合条件吗?若不符合,请用方程的方法说明理由. (2)你还有其他的设计方案吗?请在图3中画出你所设计的草图,将花园部分涂上阴影,并加以说明. 解:(1)不符合. 设小路宽度均为 m,根据题意得: , 解这个方程得: 但不符合题意,应舍去,∴. ∴小芳的方案不符合条件,小路的宽度均为2m. (2)答案不唯一.6分 例如: (2010 柳州 )目前,“低碳”已成为保护地球环境的热门话题.风能是一种清洁能源,近几年我国风电装机容量迅速增长.图11是我国2003年-2009年部分年份的内力发电装机容量统计图(单位:万千瓦),观察统计图解答下列问题. 图11 (1)2007年,我国风力发电装机容量已达    万千瓦;从2003年到2009年,我国风力发电装机容量平均每年增长    万千瓦; (2)求2007~2009这两年装机容量的年平均增长率;(参考数据:,,) (3)按(2)的增长率,请你预测2010年我国风力发电装机容量.(结果保留到万千瓦) 设2008年的风力发电装机容量为万千瓦. 经检验,是所列方程的根. 则2007到2009这两年装机容量的年增长率为 答:2007到2009这两年装机容量的年平均增长率约为124%. (3) 2010年我国风力发电装机容量约为万千瓦. 23.(2010 柳州 )目前,“低碳”已成为保护地球环境的热门话题.风能是一种清洁能源,近几年我国风电装机容量迅速增长.图11是我国2003年-2009年部分年份的内力发电装机容量统计图(单位:万千瓦),观察统计图解答下列问题. 图11 (1)2007年,我国风力发电装机容量已达    万千瓦;从2003年到2009年,我国风力发电装机容量平均每年增长    万千瓦; (2)求2007~2009这两年装机容量的年平均增长率;(参考数据:,,) (3)按(2)的增长率,请你预测2010年我国风力发电装机容量.(结果保留到万千瓦) 设2008年的风力发电装机容量为万千瓦. 经检验,是所列方程的根. 则2007到2009这两年装机容量的年增长率为 答:2007到2009这两年装机容量的年平均增长率约为124%. (3) 2010年我国风力发电装机容量约为万千瓦. 24. (2010新疆生产建设兵团)解方程: 解法不唯一.    例解:             25. (2010乌鲁木齐)2010年5月中央召开了新疆工作座谈会,为实现新疆跨越式发展和长治久安,作出了重要战略决策部署.为此我市抓住机遇,加快发展,决定今年投入5亿元用于城市基础设施维护和建设,以后逐年增加,计划到2012年当年用于城市基础设施维护与建设资金达到8.45亿元. (1)求从2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率; (2)若2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率相同, 预计我市这三年用于城市基础设施维护和建设资金共多少亿元? 解:(1)设从2010至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为,由题意得:解得,(不合题意舍去) 答:从2010至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为30%. (2)这三年共投资 (亿元) 答:预计我市这三年用于城市建设基础设施维护和建设资金共19.95亿元 26.
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