资源描述
2010一元二次方程分类
一.选择题
1.(2010日照)如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2,x2=1,那么p,q的值分别是(A)
A.-3,2 B.3,-2 C.2,-3 D.2,3
2.(2010兰州)上海世博会的某纪念品原价168元,连续两次降价%后售价为128元. 下列
所列方程中正确的是(B )
A. B.
C. D.
3.(2010玉溪) 一元二次方程x2-5x+6=0 的两根分别是x1,x2,则x1+x2等于(A)
A. 5 B. 6 C. -5 D. -6
4.(2010桂林)一元二次方程的解是 ( A ).
A., B.,
C., D.,
5.(2010昆明)一元二次方程的两根之积是( B )
A.-1 B.-2 C.1 D.2
6.(2010杭州)方程 x2 + x – 1 = 0的一个根是( D )
A. 1 – B. C. –1+ D.
7.(2010上海)已知一元二次方程 x2 + x ─ 1 = 0,下列判断正确的是( B )
A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根
C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定
8.(2010益阳)一元二次方程有两个不相等的实数根,则
满足的条件是( B )
A.=0 B.>0
C.<0 D.≥0
9. (2010滨州)一元二次方程的一个根是,则另一个根是( C )
A. 3 B. C. D.
10. (2010常德)方程的两根为( A )
A.6和-1 B.-6和1 C.-2和-3 D.2和3
11.(2010常德)2008年常德GDP为1050亿元,比上年增长13.2%,提前两年实现了市委、市政府在“十一五规划”中提出“到2010年全年GDP过千亿元”的目标.如果按此增长速度,那么我市今年的GDP为( A )
A.1050×(1+13.2%)2 B.1050×(1-13.2%)2
C.1050×(13.2%)2 D.1050×(1+13.2%)
12.(2010绥化)方程(x-5)( x-6)=x-5的解是( D )
A.x=5 B.x=5或x=6 C.x=7 D.x=5或x=7
13. (2010潍坊)关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则实数的取值范围是( B )
A. B. C. D.
14.(2010甘肃)近年来,全国房价不断上涨,某县201 0年4月份的房价平均每平方米为3600元, 比2008年同期的房价平均每平方米上涨了2000元,假设这两年该县房价的平均增长率均为,则关于的方程为( D )
A. B.
C. D.
15.(2010包头)关于的一元二次方程的两个实数根分别是,且,则的值是( C )
A.1 B.12 C.13 D.25
16.
二.填空题
1.(2010遵义)已知,则 . 2010
2. (2010丹东)某商场销售额3月份为16万元,5月份为25万元,该商场这两个月销售额的平
均增长率是
.25%
3. (2010莱芜)某公司在年的盈利额为万元,预计年的盈利额将达到万元,
若每年比上一年盈利额增长的百分率相同,那么该公司在年的盈利额为________万元.220
4.(2010遵义)如图,在宽为,长为的矩形地面上修建两条宽都是的道路,余下部
分种植花草.那么,种植花草的面积为 .1131
5. (2010河北)已知x = 1是一元二次方程的一个根,则 的值
为 . 1
6.(2010成都)设,是一元二次方程的两个实数根,则的值为__________________.7
7.(2010无锡) 方程的解是 .
8.(2010舟山)已知x=2是一元二次方程(的一个根,则的值是 。4,0
9.(2010贵阳)方程x+1=2的解是 .x =±1
10.(2010上海)方程 = x 的根是______x=3______.
11. (2010凉山州)已知三角形两边长是方程的两个跟,则三角形的第三边的取值范围是 。
12. (2010台州)某种商品原价是120元,经两次降价后的价格是100元,求平均每次降价
的百分率.设平均每次降价的百分率为,可列方程为 .
13.(2010兰州)已知关于x的一元二次方程有实数根,则m的取值范围是 .且m≠1
14.(2010 柳州 )关于的一元二次方程的根是 .或
15.(2010绥化)代数式3x2-4x-5的值为7,则x2- x-5的值为___________.-1
16. (2010河池)方程的解为 .
三.解答题
1.(2010上海)解方程:─ ─ 1 = 0
解:
,∴
代入检验得符合要求
2.(2010绵阳)已知关于x的一元二次方程x2 = 2(1-m)x-m2 的两实数根为x1,x2.
(1)求m的取值范围;
(2)设y = x1 + x2,当y取得最小值时,求相应m的值,并求出最小值.
(1)将原方程整理为 x2 + 2(m-1)x + m2 = 0.
∵ 原方程有两个实数根,
∴ △= [ 2(m-1)2-4m2 =-8m + 4≥0,得 m≤.
(2) ∵ x1,x2为x2 + 2(m-1)x + m2 = 0的两根,
∴ y = x1 + x2 =-2m + 2,且m≤.
因而y随m的增大而减小,故当m =时,取得最小值1.
3. (2010长沙)长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售,由于国务院有关房地
产的新政策出台后,购房者持币观望.为了加快资金周转,房地产开发商对价格经过两次下
调后,决定以每平方米4050元的均价开盘销售.
(1)求平均每次下调的百分率;
(2)某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子.开发商还给予以下两种优惠方案以供选择:①打9.8折销售;②不打折,送两年物业管理费.物业管理费是每平方米每月1.5元.请问哪种方案更优惠?
解:(1)设平均每次降价的百分率是x,依题意得
5000(1-x)2= 4050
解得:x1=10% x2=(不合题意,舍去)
答:平均每次降价的百分率为10%.
(2)方案①的房款是:4050×100×0.98=396900(元)
方案②的房款是:4050×100-1.5×100×12×2=401400(元)
∵396900<401400
∴选方案①更优惠.
4.(2010咸宁)随着人们节能意识的增强,节能产品的销售量逐年增加.某商场高效节能灯的年销售量2008年为5万只,预计2010年将达到7.2万只.求该商场2008年到2010年高效节能灯年销售量的平均增长率.
解:设年销售量的平均增长率为,依题意得:
.
解这个方程,得,.
因为为正数,所以.
答:该商场2008年到2010年高效节能灯年销售量的平均增长率为.
5.(2010济南)如图所示,某幼儿园有一道长为16米的墙,计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD.求该矩形草坪BC边的长.
解:设BC边的长为x米,根据题意得
,
解得:,
∵20>16,
∴不合题意,舍去,
答:该矩形草坪BC边的长为12米.
6.(2010湘潭)我市某经济开发区去年总产值100亿元,计划两年后总产值达到121亿元,求平均年增长率.
解: 设平均年增长率为
依题意得:
解得:
答:平均每年增长的百分率为10﹪
7.(2010广东广州)已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数
根,求的值。
解:∵有两个相等的实数根,
∴⊿=,即.
∵
∵,∴
8.(2010兰州)如图,P1是反比例函数在第一象限图像上的一点,点A1 的坐标
为(2,0).
(1)当点P1的横坐标逐渐增大时,△P1O A1的面积 将如何变化?
(2)若△P1O A1与△P2 A1 A2均为等边三角形,求此反比例函数的解析式及A2点的坐标.
解:(1)△P1OA1的面积将逐渐减小.
(2)作P1C⊥OA1,垂足为C,因为△P1O A1为等边三角形,
所以OC=1,P1C=,所以P1.
代入,得k=,所以反比例函数的解析式为.
作P2D⊥A1 A2,垂足为D、设A1D=a,则OD=2+a,P2D=a,
所以P2.
代入,得,化简得
解的:a=-1±
∵a>0 ∴
所以点A2的坐标为﹙,0﹚
9.(2010南充)关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围.
(2)请选择一个k的负整数值,并求出方程的根.
解:(1)方程有两个不相等的实数根,∴ >0.
即 ,解得,.
(2)若k是负整数,k只能为-1或-2.
如果k=-1,原方程为 .
解得,,.
(如果k=-2,原方程为,解得,,.)
10.(2010绍兴)某公司投资新建了一商场,共有商铺30间.据预测,当每间的年租金定为10
万元时,可全部租出.每间的年租金每增加5 000元,少租出商铺1间.该公司要为租出的商铺每
间每年交各种费用1万元,未租出的商铺每间每年交各种费用5 000元.
(1)当每间商铺的年租金定为13万元时,能租出多少间?
(2)当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益(收益=租金-各种费用)为275万元?
解:(1)∵ 30 000÷5 000=6, ∴ 能租出24间.
(2)设每间商铺的年租金增加x万元,则
(30-)×(10+x)-(30-)×1-×0.5=275,
2 x 2-11x+5=0, ∴ x=5或0.5,
∴ 每间商铺的年租金定为10.5万元或15万元.
11.(2010中山)解方程组:
解:
由①得: ③
将③代入②,化简整理,得:
解得:
将代入①,得:
或
12.(2010中山)已知一元二次方程。
(1)若方程有两个实数根,求m的范围;
(2)若方程的两个实数根为x1,x2,且,求m的值。
(1)m≤1 (2)
13.(2010荆州)已知:关于x 的一元二次方程的两根满足,双曲线(x>0)经过Rt△OAB斜边OB
的中点D,与直角边AB交于C(如图),求.
解:有两根
∴
即
由得:
当时, 解得 ,不合题意,舍去
当时,,
解得: 符合题意
∴双曲线的解析式为:.
过D作DE⊥OA于E, 则
∵DE⊥OA,BA⊥OA
∴DE∥AB ∴△ODE∽△OBA
∴ ∴
∴
14.(2010天津)青山村种的水稻2007年平均每公顷产8 000 kg,2009年平均每公顷产9 680 kg,求该村水稻每公顷产量的年平均增长率.
解题方案:
设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为.
(Ⅰ)用含的代数式表示:
① 2008年种的水稻平均每公顷的产量为 ;
② 2009年种的水稻平均每公顷的产量为 ;
(Ⅱ)根据题意,列出相应方程 ;
(Ⅲ)解这个方程,得 ;
(Ⅳ)检验: ;
(Ⅴ)答:该村水稻每公顷产量的年平均增长率为 %.
解:(Ⅰ)①;②;
(Ⅱ);
(Ⅲ),;
(Ⅳ),都是原方程的根,但不符合题意,所以只取;
(Ⅴ)10 .
15.(2010宁夏)在△ABC中,∠BAC=45°,AD⊥BC于D,将△ABD沿AB所在的直线折叠,使点D落在点E处;将△ACD沿AC所在的直线折叠,使点D落在点F处,分别延长EB、FC使其交于点M.
(1)判断四边形AEMF的形状,并给予证明.
(2)若BD=1,CD=2,试求四边形AEMF的面积.
解:(1)∵ADBC
△AEB是由△ADB折叠所得
∴∠1=∠3,∠E=∠ADB=,BE=BD, AE=AD
又∵△AFC是由△ADC折叠所得
∴∠2=∠4,∠F=∠ADC=,FC=CD,AF=AD
∴AE=AF
又∵∠1+∠2=,
∴∠3+∠4=
∴∠EAF=
∴四边形AEMF是正方形。
(2)方法一:设正方形AEMF的边长为x
根据题意知:BE=BD, CF=CD
∴BM=x-1; CM=x-2
在Rt△BMC中,由勾股定理得:
∴
解之得: (舍去)
∴
方法二:设:AD=x
∴=
∴
∵
且
∴ 即
解之得: (舍去)
∴
16.(2010桂林)如图,过A(8,0)、B(0,)两点的直线与直线交于点C.平
行于轴的直线从原点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿轴向右平移,到C点时停
止;分别交线段BC、OC于点D、E,以DE为边向左侧作等边△DEF,设△DEF与△BCO
重叠部分的面积为S(平方单位),直线的运动时间为t(秒).
(1)直接写出C点坐标和t的取值范围;
(2)求S与t的函数关系式;
(3)设直线与轴交于点P,是否存在这样的点P,使得以P、O、F为顶点的三角形为等腰三角形,若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
解(1)C(4,)
的取值范围是:0≤≤4
(2)∵D点的坐标是(,),E的坐标是(,)
∴DE=-=
∴等边△DEF的DE边上的高为:
∴当点F在BO边上时:=,∴=3
① 当0≤<3时,重叠部分为等腰梯形,可求梯形上底为:-
S=
=
=
② 当3≤≤4时,重叠部分为等边三角形
S=
=
(3)存在,P(,0)
说明:∵FO≥,FP≥,OP≤4
∴以P,O,F以顶点的等腰三角形,腰只有可能是FO,FP,
若FO=FP时,=2(12-3),=,∴P(,0)
17.(2010成都)随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展,汽车已越来越多地进入普通家庭,成为居民消费新的增长点.据某市交通部门统计,2007年底全市汽车拥有量为180万辆,而截止到2009年底,全市的汽车拥有量已达216万辆.
(1)求2007年底至2009年底该市汽车拥有量的年平均增长率;
(2)为保护城市环境,缓解汽车拥堵状况,该市交通部门拟控制汽车总量,要求到2011年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆;另据估计,从2010年初起,该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%.假定每年新增汽车数量相同,请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆.
解:(1)设该市汽车拥有量的年平均增长率为。根据题意,得
解得,(不合题意,舍去)。
答:该市汽车拥有量的年平均增长率为20%。
(2)设全市每年新增汽车数量为万辆,则2010年底全市的汽车拥有量为万辆,2011年底全市的汽车拥有量为万辆。根据题意得
解得
答:该市每年新增汽车数量最多不能超过30万辆。
18.(2010成都)若关于的一元二次方程有两个实数根,求的取值范围及的非负整数值.
解:∵关于的一元二次方程有两个实数根,
∴△=
解得
∴的非负整数值为0,1,2。
19.(2010镇江)如图,在直角坐标系的直角顶点A,C始终在x
轴的正半轴上,B,D在第一象限内,点B在直线OD上方,OC=CD,OD=2,M为OD的
中点,AB与OD相交于E,当点B位置变化时,
试解决下列问题:
(1)填空:点D坐标为 ;
(2)设点B横坐标为t,请把BD长表示成关于t的函数关系式,并化简;
(3)等式BO=BD能否成立?为什么?
(4)设CM与AB相交于F,当△BDE为直角三角形时,判断四边形BDCF的形状,并
证明你的结论.
解:(1);(1分)
(2)
①
② (注:不去绝
对值符号不扣分)
(3)[法一]若OB=BD,则
由①得 (5分)
[法二]若OB=BD,则B点在OD的中垂线CM上.
∴直线CM的函数关系式为, ③ (5分)
④
联立③,④得:,
[法三]若OB=BD,则B点在OD的中垂线CM上,如图27 – 1
过点B作
(4)如果,
①当,如图27 – 2
∴此时四边形BDCF为直角梯形.(7分)
②当如图27 – 3
∴此时四边形BDCF为平行四边形.(8分)
下证平行四边形BDCF为菱形:
[法一]在,
[方法①]上方
(舍去).
得
[方法②]由②得:
此时
∴此时四边形BDCF为菱形(9分)
[法二]在等腰中
20.(2010浙江金华)已知点P的坐标为(m,0),在x轴上存在点Q(不与P点重合),以PQ为边作正方形PQMN,使点M落在反比例函数y = 的图像上.小明对上述问题进行了探究,发现不论m取何值,符合上述条件的正方形只有两个,且一个正方形的顶点M在第四象限,另一个正方形的顶点M1在第二象限.
(1)如图所示,若反比例函数解析式为y= ,P点坐标为(1, 0),图中已画出一符合条件的一个正方形PQMN,请你在图中画出符合条件的另一个正方形PQ1M1N1,并写出点M1的坐标; M1的坐标是
(2) 请你通过改变P点坐标,对直线M1 M的解析式y﹦kx+b进行探究可得 k﹦ , 若
点P的坐标为(m,0)时,则b﹦ ;
(3) 依据(2)的规律,如果点P的坐标为(6,0),请你求出点M1和点M的坐标.
解:(1)如图;M1 的坐标为(-1,2)
(2),
(3)由(2)知,直线M1 M的解析式为
则(,)满足
解得 ,
∴ ,
∴M1,M的坐标分别为(,),(,).
21. (2010泰安)解方程:原方程化为
∴
即
∴,
22.(2010 达州 )在一块长16m,宽12m的矩形荒地上,要建造一个花园,要求花园面积是荒地面积的一半,下面分别是小华与小芳的设计方案.
(1)同学们都认为小华的方案是正确的,但对小芳方案是否符合条件有不同意见,你认为小芳的方案符合条件吗?若不符合,请用方程的方法说明理由.
(2)你还有其他的设计方案吗?请在图3中画出你所设计的草图,将花园部分涂上阴影,并加以说明.
解:(1)不符合.
设小路宽度均为 m,根据题意得:
,
解这个方程得:
但不符合题意,应舍去,∴.
∴小芳的方案不符合条件,小路的宽度均为2m.
(2)答案不唯一.6分
例如:
(2010 柳州 )目前,“低碳”已成为保护地球环境的热门话题.风能是一种清洁能源,近几年我国风电装机容量迅速增长.图11是我国2003年-2009年部分年份的内力发电装机容量统计图(单位:万千瓦),观察统计图解答下列问题.
图11
(1)2007年,我国风力发电装机容量已达 万千瓦;从2003年到2009年,我国风力发电装机容量平均每年增长 万千瓦;
(2)求2007~2009这两年装机容量的年平均增长率;(参考数据:,,)
(3)按(2)的增长率,请你预测2010年我国风力发电装机容量.(结果保留到万千瓦)
设2008年的风力发电装机容量为万千瓦.
经检验,是所列方程的根.
则2007到2009这两年装机容量的年增长率为
答:2007到2009这两年装机容量的年平均增长率约为124%.
(3)
2010年我国风力发电装机容量约为万千瓦.
23.(2010 柳州 )目前,“低碳”已成为保护地球环境的热门话题.风能是一种清洁能源,近几年我国风电装机容量迅速增长.图11是我国2003年-2009年部分年份的内力发电装机容量统计图(单位:万千瓦),观察统计图解答下列问题.
图11
(1)2007年,我国风力发电装机容量已达 万千瓦;从2003年到2009年,我国风力发电装机容量平均每年增长 万千瓦;
(2)求2007~2009这两年装机容量的年平均增长率;(参考数据:,,)
(3)按(2)的增长率,请你预测2010年我国风力发电装机容量.(结果保留到万千瓦)
设2008年的风力发电装机容量为万千瓦.
经检验,是所列方程的根.
则2007到2009这两年装机容量的年增长率为
答:2007到2009这两年装机容量的年平均增长率约为124%.
(3)
2010年我国风力发电装机容量约为万千瓦.
24. (2010新疆生产建设兵团)解方程:
解法不唯一.
例解:
25. (2010乌鲁木齐)2010年5月中央召开了新疆工作座谈会,为实现新疆跨越式发展和长治久安,作出了重要战略决策部署.为此我市抓住机遇,加快发展,决定今年投入5亿元用于城市基础设施维护和建设,以后逐年增加,计划到2012年当年用于城市基础设施维护与建设资金达到8.45亿元.
(1)求从2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率;
(2)若2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率相同,
预计我市这三年用于城市基础设施维护和建设资金共多少亿元?
解:(1)设从2010至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为,由题意得:解得,(不合题意舍去)
答:从2010至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为30%.
(2)这三年共投资
(亿元)
答:预计我市这三年用于城市建设基础设施维护和建设资金共19.95亿元
26.
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