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期数 0510 SXG3 030
学科：理科数学 年级：高三 编稿老师：毕 伟
审稿老师：杨志勇
[同步教学信息]
预 习 篇
预习篇二十 复数的概念
【教材阅读提示】
1．
2、 了解引进复数的必要性，注意实数、虚数、纯虚数、复数之间的区别与联系.
2． 实数集与虚数集都是复数集的真子集，它们的并集是复数集，它们的交集是空集，
纯虚数集是虚数集的真子集.
3．复数z=a+bi(a、b∈R)是由它的实部和虚部唯一确定的. 两个复数相等的充要条件是把复数问题转化成实数问题的主要方法.
【基础知识精讲】
一、知识结构
二、重要内容提示
1．复数的概念
（1）虚数单位i及其性质
① i是一个新引入的数，它不同于以前学过的实数. 由于数i的引入产生了一种新的数叫虚数，i叫虚数单位.
②规定了i有两条性质：i2=－1；实数可以与它进行
3、四则运算，并且运算时原有的加、乘运算律仍然成立.
（2）复数的定义：形如a+bi (a,b∈R)的数叫做复数，常记作z=a+bi(a, b∈R). 其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部.
2．复数的分类
①当且仅当时，是实数；
②当且仅当时，是0；
③当时，叫做虚数；
④当且时，叫做纯虚数．
3．复数相等的充要条件
(a、b、c、d∈R).
特别地：．
【典型例题解析】
例1下列命题中：
（1）两个复数不能比较大小；（2）若，则当且仅当时，为纯虚数；
（3）若，则；（4）；
（5）若实数与对应，则实数集与纯虚数集一一对应．其中正确的命题的个数是（ ）
4、
Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3
解：（1）当两个复数都是实数时，可以比较大小；（2）若时，则有；（3）只有时，命题才成立，当满足条件，故结论不成立；
（4） 只有当是实数时，才成立；（５）若，则不再是纯虚数．故选Ａ．
例2当为何值时，复数为：
（1）实数； （2）虚数；（3）纯虚数．
解：（1）当，即时，ｚ为实数；
（2）当，即且时，ｚ为虚数；
（3）当，即时，ｚ为纯虚数．
点评：复数的分类的充要性的掌握是解决此类问题的关键．特别注意理解复数为纯虚数的等价条件，切不可忘记复数为纯虚数的一个
5、必要条件是，计算中分母不为零不可忽视．
例3 已知关于x的方程有实根，求这个实根以及实数k的值.
分析：方程的实根必然适合方程，设为方程的实根，代入整理后得a+bi=0的形式（a、b∈R）. 由复数相等的充要条件，可得关于与k的方程组，通过解方程组便可求得与k.
解：设是方程的实根，代入方程并整理得
，
由复数相等的条件得
∴方程的实根为或，相应的k值为或.
【强化训练】
同步落实[※级]
一、选择题
1．“复数a+bi(a、b∈R)为纯虚数”是“a=0”的（ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件
6、 D．既不充分也不必要条件
2．下列命题中正确的是（ ）
A．－3i的实部为0，虚部为－3i
B．2i+1的实部为2，虚部为1
C．若x、y∈R，a、b∈C，则a+xi=b+yi的充要条件是a=b且x=y
D．若，且x、y∈R，则x=1, y=3
二、填空题
3．已知，则实数m=________.
4．若，则x+y =______.
同步检测[※※级]
一、选择题
1．设，复数，则由复数组成的集合中（ ）
（A）有复数30个 （B）有实数5个 （C）有纯虚数5个 （D）虚数不足30个
2．复数对应的点在复
7、平面中实轴的下方，则实数的取值范围是（ ）
（A）（3，5） （B）（-9，7） （C）[-9，7] （D）
二、填空题
3．若，且，则的值为_______.
4．复数是纯虚数，则实数 ．
三、解答题
5．m为何实数时，复数.（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数？
6．已知关于x、y的方程组
有实数解，求实数a、b的值.
参考答案
同步落实[※级]
一、1．D 2．B
二、3．－2 4．2
同步检测[※※级]
一、1．C 2．B
二、3． 4．1
三、5．（1）m=2;
（2）m≠2且m≠±5;
（3）.
6．根据复数相等的条件，由①得，解得 ，
代入方程②得 解得，
∴a=1, b=2.
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