河南省郑州外国语学校2012-2013学年初三年级反比例函数综合题汇编.doc

河南省郑州外国语学校2012-2013学年初三年级反比例函数综合题汇编
1．已知点A是双曲线y＝ （k1＞0）上一点，点A的横坐标为1，过点A作平行于y轴的直线，与x轴交于点B，与双曲线y＝ （k2＜0）交于点C．点D（m，0）是x轴上一点，且位于直线AC右侧，E是AD的中点．（1）如图1，当m＝4时，求△ACD的面积（用含k1、k2的代数式表示）；
（2）如图2，若点E恰好在双曲线y＝ （k1＞0）上，求m的值；
（3）如图3，设线段EB的延长线与y轴的负半轴交于点F，当m＝2时，若△BDF的面积为1，且CF∥AD，求k1的值，并直接写出线段CF的长．
图3
E
B
O
C
A
x
y
D
F
图2
E
B
O
C
A
x
y
D
图1
E
B
O
C
A
x
y
D

2． Rt△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，tan∠BAC＝ ，反比例函数y＝ （k≠0）在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，m），与AB边交于点E（2，n），△BDE的面积为2．
（1）求反比例函数和直线AB的解析式；
（2）设直线AB与y轴交于点F，点P是射线FD上一动点，是否存在点P使以E、F、P为顶点的三角形与△AEO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
B

O
C
A
x
y
D
E
F

3．已知点P的坐标为（m，0），在x轴上存在点Q（不与P重合），以PQ为边，∠PQM＝60°作菱形PQMN，使点M落在反比例函数y＝－ 的图象上．
（1）如图所示，若点P的坐标为（1，0），图中已经画出一个符合条件的菱形PQMN，若另一个菱形为PQ1M1N1，求点M1的坐标；
（2）探究发现，当符合上述条件的菱形只有两个时，一个菱形的顶点M在第四象限，另一个菱形的顶点M1在第二象限．通过改变P点坐标，对直线MM1的解析式y＝kx＋b进行探究可得k＝__________，若点P的坐标为（m，0），则k＝_用含m的代数式表示）；
（3）继续探究：①若点P的坐标为（m，0），则m在什么范围时，符合上述条件的菱形分别为两个、三个、四个？
②求出符合上述条件的菱形刚好有三个时，点M坐标的所有情况．

x
y
O
备用图
x
y
P
O
Q
M
N

（1）P(1,0),设Q(1+a,0),则M(1+a/2,-a√3/2)在反比例函数y=-(2√3)/x的图像上,

∴（1+a/2)(-a√3/2）=-2√3，a(2+a)=8, a^2+2a-8=0, a=2或-4.
∴M1(2，-√3），M2(-1,2√3） （i)M1M2的解析式中的k=-√3，
(ii)?(2)P(m,0),设Q(m+a,0),则M(m+a/2,-a√3/2)在反比例函数y=-(2√3)/x的图像上,
∴（m+a/2)(-a√3/2)=-2√3，
a(2m+a)=8,a^2+2ma-8=0,a=-m土√（m^2+8),
如果不看图，那么M(m+a/2,a√3/2)在反比例函数y=-(2√3)/x的图像上,得a^2+2ma+8=0,△/4=m^2-8=0,m=土2√2.
当-2√2√6-2√3），（-2+√2，√6+2√3），（m/2,m√3/2）（第3个点是（√2，√6）或（-√2，-√6））；
当m<-2√2或m>2√2时，所求的菱形有4个.
4．已知点P（m，n）是反比例函数y＝ （x＞0）图象上的动点，PA∥x轴，PB∥y轴，分别交反比例函数y＝ （x＞0）的图象于点A、B，点C是直线y＝2x上的一点．
（1）请用含m的代数式分别表示P、A、B三点的坐标；
（2）在点P运动过程中，连接AB，△PAB的面积是否变化，若不变，请求出△PAB的面积；若改变，请说明理由；
B
x
O
y
A
P
C
y＝
y＝
y＝2x
（3）在点P运动过程中，以点P、A、B、C为顶点的四边形能否为平行四边形，若能，请求出此时m的值；若不能，请说明理由．

5．如图，已知一次函数y1＝kx＋b的图象与x轴相交于点A，与反比例函数y2＝ 的图象相交于B（－1，5）、C（ ，d）两点．点P（m，n）是一次函数y1＝kx＋b的图象上的动点．
（1）求k、b的值；
（2）设－1＜m ＜ ，过点P作x轴的平行线与函数y2＝ 的图象相交于点D．试问△PAD的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设m＝1－a，如果在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，求实数a的取值范围．
B
x
O
y
A
D
C
P

6．如图，双曲线y＝ （x＞0）与过A（1，0）、B（0，1）的直线交于P、Q两点，连接OP、OQ．
（1）求证△OAQ≌△OBP；
（2）若点C是线段OA上一点（不与O、A重合），CD⊥AB于D，DE⊥OB于E．设CA＝a．
①当a为何值时，CE＝AC？
②是否存在这样的点C，使得CE∥AB？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．
x
y
C
A
B
E
P
Q
D
O

1对于求证：△OAQ≌△OBP
解个方程3/16x=1-x算出P,Q坐标算出BP、OP、AQ、OQ长度，证明BP=AQ和OP=OQ，又因为OA=OB=1，三边相等可证就不多说了。
2、对于第二个问题，首先我们知道＜OAB=45度，所以△CDA是等腰直角三个形，引辅助线DM⊥OA交于M点，于是△DMA是等腰直角三个形，又DE⊥OB，则DE∥OA，所以OE=DM=AM=a/2，OC=1-a，直角三个形OCE知道了OE、OC两个直角边，算出以a为未知数CE的长度不难吧，又CE=AC=a，列个方程算出a的值就行了。
3、因为如果CE∥AB，那么＜OCE=＜OAB=45度，△OCE是等腰直角三个形则OC=OE=DM=AM=a/2，又OC=1-a，得方程a/2=1-a，所以a=2/3，于是C的坐标为（1/3，0）（注意第二个和第三个问题是不同的两个问题不要搞混淆了，这里是不保证CE=AC的，也不可能保证）。

7．如图，四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0），B（3，1），C（3，3）．反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过点D，点P是一次函数y＝kx＋3－3k（k≠0）的图象与该反比例函数图象的一个公共点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）通过计算，说明一次函数y＝kx＋3－3k（k≠0）的图象一定过点C；
B
x
O
y
A
D
C
P
（3）对于一次函数y＝kx＋3－3k（k≠0），当y随x的增大而增大时，确定点P横坐标的取值范围（不必写出过程）．

解：（1）四边形是平行四边形，点
，且轴，
轴，且在
∴反比例函数的解析式为
（2） 中，当时，
∴一次函数的图象一定过点
（3） 一次函数，当随的增大而增大时，，如图，只有在的时满足条件，横坐标的取值范围是：.

B
x
O
y
A
D
C
8．如图，已知双曲线y＝ 经过点D（6，1），点C是双曲线第三象限分支上的动点，过C作CA⊥x轴，过D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC．
（1）求k的值；
（2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；
（3）判断AB与CD的位置关系，并说明理由．

【解答】解：（1）∵双曲线经过点D（6，1），
∴，解得k=6；
（2）设点C到BD的距离为h，
∵点D的坐标为（6，1），DB⊥y轴，
∴BD=6，∴S△BCD=×6•h=12，解得h=4，
∵点C是双曲线第三象限上的动点，点D的纵坐标为1，
∴点C的纵坐标为1-4= -3，
∴，解得x= -2，
∴点C的坐标为（-2，-3），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
所以，直线CD的解析式为；
（3）AB∥CD．
理由如下：
∵CA⊥x轴，DB⊥y轴，点C的坐标为（-2，-3），点D的坐标为（6，1），
∴点A、B的坐标分别为A（-2，0），B（0，1），
设直线AB的解析式为y=mx+n，
则，解得，
所以，直线AB的解析式为，
∵AB、CD的解析式k都等于相等，
∴AB与CD的位置关系是AB∥CD．
9．（山东淄博）如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E（3，4）．
（1）求反比例函数的解析式；
A
B
D
O
C
E
F
y
x
（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线y＝－ x＋b过点D，与线段AB相交于点F求点F的坐标；
（3）连接OF，OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明．

10．（福建莆田）如图，一次函数y＝k1x＋b的图象过点A（0，3），且与反比例函数y＝ （x＞0）的图象相交于B、C两点．
（1）若B（1，2），求k1·k2的值；
（2）若AB＝BC，则k1·k2的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

x
O
y
B
C
A

11．（福建某校自主招生）如图1，已知直线y＝－ x＋m与反比例函数y＝ 的图象在第一象限内交于A、B两点（点A在点B的左侧），分别与x、y轴交于点C、D，AE⊥x轴于E．
（1）若OE·CE＝12，求k的值；
（2）如图2，作BF⊥y轴于F，求证：EF∥CD；
（3）在（1）（2）的条件下，EF＝，AB＝2，P是x轴正半轴上一点，且△PAB是以P为直角顶点的等腰直角三角形，求P点的坐标．

A
B
D
C
E
x
O
y
备用图
F
A
B
D
C
E
x
O
y
图2
F
图1
A
B
D
C
E
x
O
y

12．（广西北海）如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A＝90°，AB＝AC，A（－2，0）、B（0，1）、C（d，2）．
（1）求d的值；
（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′ 正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′ 的解析式；
（3）在（2）的条件下，设直线B′C′ 交y轴于点G．问是否存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形PGMC′ 是平行四边形．如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
O
B
C
A
G
A′
B′
C′
x
y