云南省2011届高三数学一轮复习专题题库：立体几何（4）.doc

61. 在正方体ABCD-A’B’C’D’中,与棱AA’异面的直线共有几条
（ ）
A.4 B.6
C.8 D.10
解析：A
62.在正方体ABCD-A’B’C’D’中12条棱中能组成异面直线的总对数是
（ ）
A.48对 B.24对
C.12对 D.6对
解析：B
棱AA’有4条与之异面,所以,所有棱能组成4×12=48对,但每一对都重复计算一次,共有24对.
63.. 正方体ABCD-A’B’C’D’中,异面直线CD’和BC’所成的角的度数是（ ）
A.45° B.60°
C.90° D.120°
解析：B
∠AD’C=60°即为异面直线CD’和BC’所成的角的度数为60°
64.异面直线a、b，a⊥b，c与a成30°角，则c与b成角的范围是
（ ）[来源:学,科,网]
A. B.
C. D.
解A 直线c在位置c2时,它与b成角的最大值为90°,直线c在c1位置时,它与b成角的最小值是60°[来源:Z。xx。k.Com]
65..如图，空间四边形ABCD的各边及对角线长都是1，点M在边AB上运动、点Q在边CD上运动，则P、Q的最短距离为（ ）

解析：B
当M,N分别为中点时。
因为AB, CD为异面直线，所以M, N的最短距离就是异面直线AB,CD的距离为最短。连接BN,AN则CD⊥BN,CD⊥AN且AN=BN,所以NM⊥AB。同理，连接CM,MD可得MN⊥CD。所以MN为AB,CD的公垂线。因为AN=BN＝所以在RT△BMN中，MN＝求异面直线的距离通常利用定义来求，它包括两个步骤:先证一条线段同时与两异面直线相交垂直；再利用数量关系求解。在做综合题时往往大家只重视第二步，而忽略第一步。
66. 空间四边形ABCD中，AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点，EF＝√3，则AD,BC所成的角为（ ）
A.30° B.60°
C.90° D.120°
解B注：考察异面直线所成角的概念，范围及求法，需注意的是，异面直线所成的角不能是钝角，而利用平行关系构造可求解的三角形，可能是钝角三角形，望大家注意。同时求角的大小是先证明再求解这一基本过程。
67. 直线a是平面α的斜线，b在平α内，已知a与b成60°的角，且b与a在平α内的射影成45°角时，a与α所成的角是（ ）
A.45° B.60°
C.90° D.135°
解A[来源:学,科,网]

68. m和n是分别在两个互相垂直的面α、β内的两条直线，α与β交于l，m和n与l既不垂直，也不平行，那么m和n的位置关系是
    A.可能垂直，但不可能平行
    B.可能平行，但不可能垂直
    C.可能垂直，也可能平行
    D.既不可能垂直，也不可能平行
解析：这种结构的题目，常常这样处理，先假设某位置关系成立，在此基础上进行推理，若无矛盾，且推理过程可逆，就肯定这个假设；若有矛盾，就否定这个假设。
    设m//n,由于m在β外，n在β内，
    ∴m//β
    而α过m与β交于l
    ∴m//l，这与已知矛盾，
    ∴m不平行n.
    设m⊥n，在β内作直线α⊥l,
    ∵α⊥β,
    ∴a⊥α,
    ∴m⊥a.
    又由于n和a共面且相交（若a//n 则n⊥l，与已知矛盾）
    ∴m⊥β
    ∴m⊥l与已知矛盾，
    ∴m和n不能垂直.
    综上所述，应选（D）.
69. 如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体，E、F分别是AD、DD1的中点，则面EFC1B和面BCC1所成二面角的正切值等于

解析：为了作出二面角E-BC1-C的平面角，需在一个面内取一点，过该点向另一个面引垂线（这是用三垂线定理作二面角的平面角的关键步骤）。
从图形特点看，应当过E（或F）作面BCC1的垂线.
解析：过E作EH⊥BC，垂足为H. 过H作HG⊥BC1，垂足为G.连EG.
∵面ABCD⊥面BCC1，而EH⊥BC
∵EH⊥面BEC1，
EG是面BCC1的斜线，HG是斜线EG在面BCC1内的射影.
∵HG⊥BC1，
    ∴EG⊥BC1，
    ∴∠EGH是二面角E-BC1-C的平面角。
    在Rt△BCC1中：sin∠C1BC==
    在Rt△BHG中：sin∠C1BC=
    ∴HG=（设底面边长为1）.
    而EH=1，
    在Rt△EHG中：tg∠EGH=
    ∴∠EGH=arctg
    故二面角E-BC1-C 等于arctg. [来源:Zxxk.Com]
70. 将边长为1的正方形ABCD，沿对角线AC折起，使BD=.则三棱锥D-ABC的体积为

   解析：设AC、BD交于O点，则BO⊥AC
    且DO⊥AC，在折起后，这个垂直关系不变，因此∠BOD是二面角B-AC-D的平面角.
由于△DOB中三边长已知，所以可求出∠BOD：

    这是问题的一方面，另一方面为了求体积，应求出高，这个高实际上是△DOB中，OB边上的高DE，理由是：

    ∵DE⊥OB
    ∴DE⊥面ABC.
    由cos∠DOB=，知sin∠DOE=
    ∴DE=
    ∴
    应选（B）
71. 球面上有三个点A、B、C. A和B，A和C间的球面距离等于大圆周长的. B和C间的球面距离等于大圆周长的.如果球的半径是R，那么球心到截面ABC的距离等于

  解析：本题考查球面距离的概念及空间想像能力. [来源:学,科,网]
    如图所示，圆O是球的大圆，且大圆所在平面与面ABC垂直，其中弦EF是过A、B、C的小圆的直径，弦心距OD就是球心O到截面ABC的距离，OE是球的半径，因此，欲求OD，需先求出截面圆ABC的半径.

   下一个图是过A、B、C的小圆.AB、AC、CB是每两点之间的直线段.它们的长度要分别在△AOB、△AOC、△COB中求得（O是球心）.由于A、B间球面距离是大圆周长的，所以∠AOB=×2π=，同理∠AOC=，∠BOC=.
∴|ABR， |AC|=R， |BC|=.
    在△ABC中，由于AB2+AC2=BC2.
    ∴∠BAC=90°,BC是小圆ABC的直径.
    ∴|ED|=
    从而|OD|=.
    故应选B.
72. 如图，四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，该图中，互相垂直的面有
   A.4对    B.5对   C.6对    D.7对
 答案（D）
 解析：要找到一个好的工作方法，使得计数时不至于产生遗漏
73. ABCD是各条棱长都相等的三棱锥.M是△ABC的垂心，那么AB和DM所成的角等于______

解析：90°连CM交AB于N，连DN，易知N是AB中点，AB⊥CN，AB⊥DN.[来源:学科网ZXXK]
74. 已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.
（1）求证：MN⊥CD；
（2）若∠PDA=45°，求证MN⊥面PCD.(12分)
解析：[来源:学+科+网]

75. 设P、Q是单位正方体AC1的面AA1D1D、面A1B1C1D1的中心。

如图：（1）证明：PQ∥平面AA1B1B；[来源:学科网ZXXK]
（2）求线段PQ的长。（12分）

评注：本题提供了两种解法，方法一，通过平行四边形的对边平行得到“线线平行”，从而证得“线面平行”；方法二，通过三角形的中位线与底边平行得到“线线平行”，从而证得“线面平行”。本题证法较多。
76. 如图，已知
求证a∥l
解析：

77. ．如图，ABCD为正方形，过A作线段SA⊥面ABCD，又过A作与SC垂直的平面交SB、SC、SD于E、K、H，求证：E、H分别是点A在直线SB和SD上的射影。（12分）

解析：

78. 在正方体ABCD—A1B1C1D1，G为CC1的中点，O为底面ABCD的中心。

求证：A1O⊥平面GBD（14分）
解析：

79. 如图，已知a、b是两条相互垂直的异面直线，其公垂线段AB的长为定值m，定长为n（n>m）的线段PQ的两个端点分别在a、b上移动，M、N分别是AB、PQ的中点。

（1）求证：AB⊥MN；
（2）求证：MN的长是定值（14分）

解析：

80.  已知：平面与平面相交于直线a，直线b与、都平行，求证：b∥a．
证明：在a上取点P，b和P确定平面设与交于，与交于[来源:学科网ZXXK]
∵ b∥且b∥
∴ b∥且b∥[来源:学。科。网Z。X。X。K]
∴ 与重合，而， ，实际上是、、a三线重合，
∴ a∥b．