控制工程基础(经典控制部分)MATLAB分析.doc

《控制工程基础（经典控制部分）》的MATLAB分析

第一章　MATLAB的基本使用
§1-1　MATLAB语言简介
MATLAB是一种高级矩阵语言，它由Math Works公司于1984年正式推出，它的基本处理对象是矩阵，即使是一个标量纯数，MATLAB也认为它是只有一个元素的矩阵。随着MATLAB的发展，特别是它所包含的大量工具箱（应用程序集）的集结，使MATLAB已经成为带有独特数据结构、输入输出、流程控制语句和函数、并且面向对象的高级语言。
MATLAB语言被称为一种“演算纸式的科学计算语言”，它在数值计算、符号运算、数据处理、自动控制信号处理、神经网络、优化计算、模糊逻辑、系统辨识、小波分析、图象处理、统计分析、甚至于金融财会等广大领域有着十分广泛的用途。
MATLAB语言在工程计算与分析方面具有无可比拟的优异性能。它集计算、数据可视化和程序设计于一体，并能将问题和解决方案以使用者所熟悉的数学符号或图形表示出来。
MATLAB语言和C语言的关系与C语言和汇编语言的关系类似。例如当我们需要求一个矩阵的特征值时,在MATLAB下只需由几个字符组成的一条指令即可得出结果，而不必去考虑用什么算法以及如何实现这些算法等低级问题，也不必深入了解相应算法的具体内容。就象在C语言下不必象汇编语言中去探究乘法是怎样实现的，而只需要采用乘积的结果就可以了。
MATLAB语言还有一个巨大的优点是其高度的可靠性。例如对于一个病态矩阵的处理，MATLAB不会得出错误的结果，而用C或其它高级语言编写出来的程序可能会得出错误的结果。这是因为MATLAB函数集及其工具箱都是由一些在该领域卓有研究成果，造诣很深的权威学者经过反复比较所得出来的最优方法，而且经过多年的实践检验被证明是正确可靠的。
§1-2　MATLAB的工作窗口
下面以MATLAB6.1为例介绍。
从实用的角度MATLAB的工作窗口包括命令窗口、M文件编辑器窗口、图形编辑窗口、数学函数庫、应用程序接口及在线窗口。下面首先介绍MATLAB的命令窗口及M文件编辑器。
一、命令窗口
启动MATLAB之后，屏幕上自动出现命令窗口MATLAB，它是MATLAB提供给用户的操作界面，用户可以在命令窗口内提示符“>>”之后（有的MATLAB版本命令窗口没有提示符）键入MATLAB命令，回车即获得该命令的答案。
命令窗口内有File、Edit、View、Web、Window、Help等菜单条。
二、M文件编辑窗口
M文件是MATLAB语言所特有的文件。用户可以在M文件编辑窗口内，编写一段程序，调试，运行并存盘，所保存的用户程序即是用户自己的M文件。MATLAB工具箱中大量的应用程序也是以M文件的形式出现的，这些M文件可以打开来阅读，甚至修改，但应注意，不可改动工具箱中的M文件！

1．进入M文件窗口有两种方法
1) 命令窗口 — File — New — M-File；
2) 命令窗口 — 点击“File”字样下面的图标。
M文件编辑窗口的标记是“Untitled”（无标题的）。当用户编写的程序要存盘时，Untitled作为默认文件名提供给用户，自然，用户可以，也应当自己命名。若用户不自己命名，则MATLAB会对Untitled进行编号。

2．M文件的执行：
返回命令窗口，在当前目录（Current Directory）内选择所要运行的M文件的目录，在命令窗口提示符“>>”后，直接键入文件名（不加后缀）即可运行。
注意：（1）机器默认路径为一级子目录MATLAB6 p1\work；
（2）MATLAB 6.1以前的版本，运行M文件的方法稍有不同，它必须在File菜单下，打开“Run Script…”子菜单，键入需要运行的文件路径及名称再回车，在这种情况下，work作为根目录对待，不出现在M文件的路径之中。本讲义的参考程序都是在M文件窗口下编制的。
三、在线帮助窗口
在命令窗口中键入Help(空格) 函数名，可以立即获得该函数的使用方法。
§1-3 MATLAB最基本的矩阵操作
作为命令窗口及M文件编辑器的应用实例，介绍几个最基本的矩阵运算命令。
一、矩阵的输入
在方括号内依次按行键入矩阵元素，在一行内的各元素之间用空格或逗号分开，每行之间用分号分开。
例如，在命令窗内输入
A=[2 2 3;4 5 4;7 8 9] (注意：方括号，分号为矩阵行标记)
B=[1,3,5;6,-4,2;3,5,1] (逗号与空格功能相同)
A＝ 2　 2 3 B＝ 1 3 5
4 5 4 6 -4 2
7 8 9 3 5 1
同理：输入A1＝［2　4　6］得到行矢量，
　　　输入A2＝［2；4；6］得到列矢量，
于是，当输入
C=［A；A1］　有
C= 1 2 3
4 5 6
7 8 9
2 4 6
A1作为矩阵C的最后一行，C和A相比，增加了一行。

二、矩阵的转置
矩阵A的转置用A′表示，显然，A1与A2互为转置，即A1＇会得到以2,4，6为元素的列矢量。
思考一下输入 C1＝［ A　A2 ］
C2＝［ A　A1＇］
有什么结果？而输入［A；A1＇］有无意义？

三、矩阵的四则运算
1．矩阵的加减法：
当两个矩阵维数相同时可以直接进行“＋”或“－”运算。
如 D1＝A＋B，D2＝A－B

2． 矩阵的乘法：
当矩阵A，B维数相容时
C3＝A﹡B：普通意义下的矩阵相乘
C4＝A .﹡B：矩阵A与B的对应元素相乘
显然，A﹡B≠B﹡A（一般情况），而A .﹡B＝B .﹡A。A .﹡B称为数列型乘法，它要求参加运算的矩阵或数列具有相同的行列数，这是MATLAB语言中的一种特殊运算，它在今后求取函数值等运算时是很重要的。实际上，前面所述的矩阵加、减法就是一种数列型运算。

3． 矩阵的除法
D4＝A\B：表示A-1﹡B或inv(A)*B，即A的逆矩阵左乘矩阵B。
D5＝B/A：表示B﹡A-1或B﹡inv(A)，即A的逆矩阵右乘B。
D6＝A .\B：表示B的每一个元素被A的对应元素除。
D7＝A ./B：表示A的每一个元素被B的对应元素除。显然，A .\B与A ./B的各对应元素互为倒数。
读者可以思考一下，D6 .﹡D7等于什么？
D8＝inv(A)：A的逆矩阵。
打开M文件编辑窗口，将上述命令依次键入，得到fanli001如下：

参考程序fanli001:矩阵的四则运算
A=[2 2 3;4 5 4;7 8 9] % 三阶矩阵输入
B=[1,3,5;6,-4,2;3,5,1] % 三阶矩阵输入
A1=[2 4 6] %行向量
A2=[2;4;6] %列向量
C=[A;A1] %矩阵A增加一行
C1=[A A2]　%矩阵A增加一列
C2=[A A1']　 %矩阵A增加一列
D1=[A+B]　 %矩阵相加
D2=A-B　%矩阵相减
C3=A*B　%矩阵与矩阵相乘
C4=A.*B　%矩阵的对应元素相乘
D3=A\B　%A的逆左乘B
D4=B/A　%A的逆右乘B
D6=A.\B　%B的各元素被A的对应元素除
D7=A./B　%A的各元素被B的对应元素除
D8=inv(A)　 %A的逆矩阵

语句后面的%为语句说明符。
MATLAB中矩阵运算的其它主要命令可通过在线帮助获得。
§1-4　MATLAB的符号运算操作
一、进入符号运算功能
在命令窗口键入
syms x y z t
此后，即可以使用x，y，z，t等作自变量定义函数。
syms x y z t real 规定所定义的变量为实型。

二、代数方程求解
使用命令solve 可以求解代数方程，如求下例方程组
　的解，命令为
[x,y]=solve(‘x^2+x*y+y-3=0,x^2-4*x-2*y+3=0’)
程序见范例程序fanli002。

参考程序fanli002:代数方程求解
syms x y　%进入符号运算功能
f1=x^2+x*y+y-3　%函数f1
f2=x^2-4*x-2*y+3 %函数f2
[x,y]=solve('x^2+x*y+y-3=0','x^2-4*x-2*y+3=0')
%求解方程组
f1a=simplify(subs(f1)) %用求解出的x,y检验方程1
f2a=simplify(subs(f2)) %用求解出的x,y检验方程2
x=double(x) %将符号变量转换成浮点数
y=double(y) %将符号变量转换成浮点数
f1=subs(f1) %用浮点数x,y检验方程1
f2=subs(f2) %用浮点数x,y检验方程2

由solve求出的根是根的符号表达形式，是准确解。
命令simplify(f)表示化简，subs(f1)表示将求解出x，y代回f1中；double是将符号变量转换成浮点数，是准确解x，y的近似值。这从程序运行f1a=0，f2a=0，f1≠0，f2≠0可以确认。

三、符号矩阵运算
符号矩阵可以和数值矩阵一样进行运算，例如：求矩阵特征值eig，求矩阵的逆inv等命令都支持符号运算。
设
计算其特征值eig(A)，逆矩阵inv(A)，程序见fanli003。

参考程序fanli003:符号矩阵的特征值
syms t real 　%定义为实型变量
A=[sin(t) -cos(t);cos(t) sin(t)] %定义矩阵A
B1=eig(A) %求矩阵A的特征值
B1=simple(B1) %化简A的特征值表达式
B2=inv(A) %求矩阵A的逆矩阵
B2=simple(B2) %化简A的逆矩阵表达式
C1=A*B2 %检验A的逆矩阵
C1=simple(C1) %C1为单位矩阵

注意函数的输入方法，自变量用圆括号括起来。

四微积分运算
设函数，则MATLAB中微积分运算命令为
fiff(f)：求函数f对自变量x的一阶导数；
diff(f，2)：求函数f对自变量x的二阶导数；
int(f)：求函数f的不定积分
例1.1，设

试计算其一阶，二阶导数，积分运算，并作出函数图象，见范例fanli004。

参考程序fanli004:函数的微分与积分
syms x
f=1/(5+4*cos(x))
ezplot(f) %函数f的曲线
f1=diff(f) %函数f的一阶导数
figure,ezplot(f1) %函数f一阶导数的曲线
f2=diff(f,2) %函数f的二阶导数
figure,ezplot(f2) %函数f二阶导数的曲线
g=int(int(f2)) %函数f的二阶导数f2的二重积分
figure,ezplot(g) %函数f2二重积分的曲线
e=f-g %二阶导数的二重积分与原函数的差
e=simple(e)
figure,ezplot(e)
程序中
ezplot(f)：作函数的图形，x的取值范围默认值为-2π< x <2π

fanli004的函数曲线

fanli004的一阶导函数曲线

fanli004的二阶导函数曲线

fanli004的二阶导函数的二重积分曲线
ezplot(f)是一个很有用的作图命令，它的其它应用形式，请查在线帮助。
细心的读者会发现，一个函数求二阶导数后再对二阶导数进行二重积分，其结果与原函数相差一个常数。相当于纵坐标发生平移。
第二章　系统的时域特性
§2-1　传递函数
一、传递函数的两种形式
传递函数通常表达成s的有理分式形式及零极点增益形式。

设传递函数

1．有理分式形式
分别将分子、分母中s多项式的系数按降幂排列成行矢量，缺项的系数用0补齐。上述函数可表示为
num1=[2 1] %（注意：方括号，同一行的各元素间留空格或逗号）。
den1=[1 2 2 1]
syss1=tf(num1,den1)
运行后，返回传递函数的形式。这种形式不能直接进行符号运算！

2．零极点增益形式
[Z,P,K] = tf2zp(num1,den1)
sys2 = zpk(Z,P,K)
返回零、极点、增益表达式，其Z，P分别将零点和极点表示成列向量，若无零点或极点用[ ]（空矩阵）代替。
运行得到的
点 Z = -0.5
极点　P= -1，-0.5±j0.866
增益　K = 2
指令zp2tf(Z，P，K)将零极点增益变换成有理分式形式，见程序fanli005。

参考程序fanli005:传递函数的有理分式及零极点增益模型
num1=[2 1] % 传递函数的分子系数向量
den1=[1 2 2 1] % 传递函数的分母系数向量
sys1=tf(num1,den1) % 传递函数的有理分式模型
[Z,P,K]=tf2zp(num1,den1)
% 有理分式模型转换成零极点增益模型
[num2,den2]=zp2tf(Z,P,K)
% 零极点增益模型转换成有理分式模型
sys2=zpk(Z,P,K) % 传递函数的零极点增益模型
[A1,B1,C1,D1]=tf2ss(num1,den1)
% 有理分式模型转换成状态空间模型
[A2,B2,C2,D2]=zp2ss(Z,P,K)
% 零极点及增益模型转换成状态空间模型
[num1,den1]=ss2tf(A1,B1,C1,D1)
% 状态空间模型转换成有理分式模型
[Z,P,K]=ss2zp(A2,B2,C2,D2)
% 状态空间模型转换成零极点增益模型

程序中，命令tf2ss，zp2ss及ss2tf，ss2zp是状态空间模型与有理分式及零、极点、增益模型之间的相互转换。

二、传递函数框图的处理
用框图可以方便地表示传递函数的并联，串联及反馈。为简洁，仅以有理分式模型为例。
G1
G1
G1+G2
1． 并联

sysp = parallel(sys1,sys2)
[num,den]=parallel(num1,den1,num2,den2)

2． 串联
G1(s)
G2(s)
G1(s)·G2(s)

syss = series(sys1,sys2)
[nums,dens] = series(num1,den1,num2,den2)

3． 反馈
G1(s)
G2(s)
G1(s)G2(s)
1+G1(s)G2(s) G3(s)
G3(s)

sysc=feedback(syss,sys3,±1) %默认值（-1）
[numc, denc] = feedback(nums, dens, num3, den3)

4． 单位反馈
G1(s)
G2(s)
G1(s)G2(s)
1+G1(s)G2(s)

sysd = feedback(syss, 1)
[numd, dend] = feedback(nums, dens, 1, 1) %(单位反馈)
上面给出了同一指令的两种形式，相当于两套平行指令。
对于零极点增益形式，书写稍复杂一些，可先用zpk转换成系统形式，或用zp2tf转折换成有理分式形式后再进行框图化简操作。

三、简单函数的拉普拉斯变换
在MATLAB的符号功能中，可以对简单函数进行拉普拉斯正、逆变换。
拉氏正变换：laplace(f(t))
拉氏逆变换：ilaplace(L(s))
其中为原函数，为象函数命令格式参见fanli007。

参考程序fanli007:拉普拉斯变换
syms s t w a b c
f1=sqrt((b-a)^2+w^2)/w*exp(-a*t)*sin(w*t+atan(w/(b-a)))%原函数f1
L1=laplace(f1) %f1的拉氏变换（象函数）
L1=simple(L1)　 %化简
f2=ilaplace(L1)　%L1的拉氏逆变换
f2=simple(f2) %化简

在MATLAB中使用laplace及ilaplace命令时，要注意象、原函数的符号，特别是对初相不等于零的振荡系统，运行结果常常同手册上的结果相差一个符号这要注意函数表达式成立的条件。保险的办法是再使用拉氏变换的初值定理确定象、原函数的符号。
§2-2　系统时域特性曲线
在MATLAB中，当传递函数已知时，可以方便地求出系统的单位脉冲响应、单位阶跃响应等曲线。

一、系统的单位阶跃响应step
step有以下几种格式
step(sys)：
直接作出sys的单位阶跃响应曲线。其中sys = tf(num, den) 或sys = zpk(z, p, k)，MATLAB自动决定响应时间。
step(sys, t)
设定响应时间的单位阶跃响应。t可以设定为最大响应时间 t =
t终值(秒)，也可以设置为一个向量
t = 0 △t : t终值
注意冒号的使用。它产生一个从0到t终值的行矢量，元素之间的间隔为△t。
step(sys1, sys2, …, sysn)
在同一幅图上画出几个系统的单位阶跃响应。
[y, t] = step(sys)；
命令输出对应时刻t的各个单位阶跃响应值，不画图。语句后的分号控制数据的屏幕显示。
如果要查看机器计算了多少个数据，可以使用命令
size(y)
得出的结果也表明数据作为列矢量的行数。要将计算出的[y, t]作成曲线，使用一般的作图命令
plot(t, y)
plot后面跟的两个参数横坐标在前，纵坐标在后。
参考程序见fanli008：
参考程序fanli008:系统的单位阶跃响应
num1=[4 2]
den1=[2 8 14 11 4]
sys1=tf(num1,den1) %系统G1(s)
num2=[2 1]
den2=[1 4 6 7 3]
sys2=tf(num2,den2) %系统G2(s)
[y1,t1]=step(sys1); %系统G1(s)的单位阶跃响应数据
[y2,t2]=step(sys2); %系统G2(s)的单位阶跃响应数据
step(sys1,sys2) %系统G1(s)、G2(s)的单位阶跃响曲线
figure,step(sys1,sys2,20)
%系统G1(s)、G2(s)在自选时间（20秒）内的单位阶跃响曲线
figure,plot(t1,y1) %系统G1(s)的单位阶跃响应曲线
figure,plot(t2,y2) %系统G2(s)的单位阶跃响应曲线

fanli008:step(sys1,sys2,t)单位阶跃曲线
二、系统的单位脉冲响应
impulse命令格式与单位阶跃响应step的命令格式完全相同，只需将语句中的step用impulse代替即可。针对同样的系统，其单位脉冲响应的参考程序见fanli009。
参考程序fanli009:系统的单位脉冲响应
num1=[4 2]
den1=[2 8 14 11 4]
sys1=tf(num1,den1)
num2=[2 1]
den2=[1 4 6 7 3]
sys2=tf(num2,den2)
[y1,t1]=impulse(sys1); %系统G1(s)的单位脉冲响应数据
[y2,t2]=impulse(sys2); %系统G2(s)的单位脉冲响应数据
impulse(sys1,sys2) %系统G1(s)、G2(s)的单位脉冲响应曲线
figure,impulse(sys1,sys2,20)
%系统G1(s)、G2(s)在自选时间（20秒）内的单位脉冲响应曲线
figure,plot(t1,y1) %系统G1(s)的单位脉冲响应曲线
figure,plot(t2,y2) %系统G2(s)的单位脉冲响应曲线
hold on,step(sys2) %系统G2(s)的单位阶跃和单位脉冲响应曲线

fanli009:impulse(sys1,sys2)单位脉冲响应曲线

程序的最后一句hold on是当前图形保护模式。当要将新图形作在当前图形上时，必须使用hold on。而figure的含意是另开一个新的图形窗口，如果不用figure或hold on，则新的图形会占用原图形窗口，始终只保留一个最新的图形窗口。

三、一阶系统及二阶系统的时域特性
一阶系统及二阶系统是最基本也是最重要的系统，高阶系统总可以视为由若干个一阶和（或）二阶系统组合构成。

1． 一阶系统（设增益为1）

影响系统特性的参数是其时间常数T，T越大，系统惯性越大，响应越慢。
参考程序fanli010给出了T＝0.4, 1.2, 2.0, 2.8, 3.6, 4,4六条单位阶跃响应曲线。

参考程序fanli010:一阶系统的单位阶跃响应曲线
num=1;i=1;
for del=0.1:0.2:1.1 %一阶系统时间常数递增间隔
den=[4*del 1]; %一阶系统分母向量
step(tf(num,den)) %一阶系统单位阶跃响应曲线
hold on, %不同时间常数的一阶系统单位阶跃响应曲线簇
i=i+1;
end

同理，可以作出对应的单位脉冲响应曲线，参考程序fanli011。
参考程序fanli011:一阶系统的单位脉冲响应曲线
num=1;i=1;

fanli010一阶系统时间常数对单位阶跃响应的影响
fanli011一阶系统时间常数对单位脉冲响应的影响
for del=0.1:0.2:1.1
den=[4*del 1];
impulse(tf(num,den),10) %一阶系统单位阶脉冲应曲线
hold on, %不同时间常数的一阶系统单位脉冲响应曲线簇
i=i+1;
end
注意MATLAB中for语句的结构。读者可以改变不同的增益，看看图形有何变化。

2． 二阶系统（设0<ξ<1）
设二阶系统为

二阶系统的特征参数为固有频率及阻尼比ξ。当增大，系统振动频率加快，振荡加剧；而随着ξ减小，系统振荡加剧，振荡峰尖锐。
参考程序fanli012示出了当ξ＝0.5, =1, 2, 3, 4, 5 rad/s时的间接阶跃曲线簇。
参考程序fanli012:
不同固有频率的二阶系统的单位阶跃响应曲线（ξ=0.5）
i=1;
for del=1:1:5; % 二阶系统固有频率递增间隔
num=del^2; % 二阶系统传递函数分子系数向量
den=[1 del del^2]; % 不同固有频率的二阶系统分母系数向量
step(tf(num,den),6) %二阶系统单位阶跃响应曲线
hold on, %不同固有频率的二阶系统单位阶跃响应曲线簇
i=i+1;
end

fanli012二阶系统固有频率对单位阶跃响应的影响
参考程序fanli013示出了同一二阶系统的单位脉冲响应曲线簇。

参考程序fanli013:
不同固有频率的二阶系统的单位脉冲响应曲线（ξ=0.5）
i=1;
for del=1:1:5;
num=del^2;
den=[1 del del^2]; % 不同固有频率的二阶系统分母系数向量
impulse(tf(num,den),6) %二阶系统单位脉冲响应曲线
hold on, %不同固有频率的二阶系统单位脉冲响应曲线簇
i=i+1;
end

fanli013二阶系统固有频率对单位脉冲响应的影响
参考程序fanlio14示出了当＝1，ξ＝0.1，0.3，0.5，0.7，0.9的二阶系统的单位阶跃响应曲线簇。

参考程序fanli014:
不同阻尼比的二阶系统的单位阶跃响应曲线（=1）
i=1;
for del=0.1:0.2:0.9; % 二阶系统阻尼比ξ递增间隔
num=1;
den=[1 2*del 1]; % 不同阻尼比的二阶系统分母系数向量
step(tf(num,den),30)
hold on, %不同阻尼比的二阶系统单位阶跃响应曲线簇
i=i+1;
end

famli014二阶系统阻尼比对单位阶跃响应的影响
参考程序fanli015示出了同一二阶系统当ξ取0.1，0.3，0.5，0.7，0.9的单位脉冲响应曲线簇。

参考程序fanli015:
不同阻尼比的二阶系统的单位脉冲响应曲线（=1）
i=1;
for del=0.1:0.2:0.9;
num=1;
den=[1 2*del 1];
impulse(tf(num,den),30)
hold on, %不同阻尼比的二阶系统单位脉冲响应曲线簇
i=i+1;
end

fanli015二阶系统阻尼比对单位脉冲响应的影响
四、带延时环节系统的典型响应
设具有纯延时环节的传递函数为

计算这种系统的单位阶跃响应不能使用一般方法。首先应使用Pade法对延时环节进行近似展开，
[numT, dent] = pade(T, 5) （表示使用5阶Pade级数）
得出的分子、分母系数的向量，然后将系统视为惯性环节与延迟环节的串联，再求其阶跃脉冲响应。
设K = 2.5，T＝1，程序见fanli016。

参考程序fanli016: 带延时环节系统的单位阶跃响应
K=2.5;T=1; T1=0.5;
[numt,dent]=pade(T,5);%5阶Pade法近似延时环节
syst=tf(numt,dent); %延时环节的近似传递函数
num1=K;
den1=[T1 1];
sys1=tf(num1,den1);%惯性环节
sys=series(sys1,syst);% 带延时环节的惯性系统
step(sys,6),grid % 带延时环节惯性系统的单位阶跃响应
figure,impulse(sys,6),grid
% 带延时环节惯性系统的单位脉冲响应

fanli016带延迟的一阶系统的单位阶跃响应

fanli016带延迟的一阶系统的单位脉冲响应
从响应曲线上可见，具有延时环节的惯性系统当加上单位阶跃或单位脉冲输入前后，其响应初始有振荡特性，脉冲响应更为明显。这种振荡现象使得对这种系统进行校正需要使用特殊的方法。
在作图命令后，加上格线命令grid，机器自动给曲线图加上格线。
§2-3　响应曲线的动态分析
一、MATLAB图形的编辑
在MATLAB中，用于编辑图形的命令很多，因为可视化正是MATLAB的一种强大而优越的性能。从工程实用角度，仅在图形窗口进行编辑已经夠用了。
在图形窗口顶部的第二排依次排有下列命令按钮：
Edit Plot（）：图形编辑。点击进入图形编辑功能。点击选择编辑对象。例如，曲线，标题，纵、横坐标的说明等，可对选中项进行编辑。
Insert Text（）：插入文本。点击可在图区内插入文字，并可选择字体及大小等。
Insert Arrow（）：插入箭头。点击可在图区内画箭头，并可对该箭头进行编辑。
Insert Line()：插入直线。点击可在图区内插入直线，并可对该直线进行编辑，改变线宽及颜色。
Zoom In（）：曲线放大。激活该按钮，可以逐次放大曲线，以观察曲线某些部分的细节，这对观察变化剧烈的曲线部分很有帮助。
Zoom Out（）：曲线缩小。激活该按钮，可以逐次从放大状态返回到原状态。
Rotate 3D（）：三维旋转。激活该按钮，在图区内按住鼠标左键，拖曳鼠标，原二维曲线可三维空间内任意旋转。
此外，还有平面旋转、三维动画、前后放大、平移、飞逸等。
例如，将曲线加粗，以利作图（曲线默认宽度为0.5）。按Edit Plot— 选择曲线双击左键 — 出现线宽选择框（line width）— 选择线宽— OK。

二、对曲线进行数据分析
不激活Edit Plot按钮（图形编辑不使能），
▲ 读取曲线上任一点的坐标值：鼠标指向选择点，单击左键，显示曲线编号，横坐标及纵坐标值；
▲ 研究曲线拟合情况：按Tools — Basic Fitting，出现Plot fitt（图形拟合）窗口，选择需要拟合的曲线，点击拟合方式，即可对所选图形进行曲线拟合。
MATLAB提供了样条插值、保形插值（shape-preserving interpolant）及直到10阶的多项式拟合。当选择多项式拟合时，机器会给出曲线及拟合方程。
在所给出的拟合方式中，三次样条插值（Cubic spline interpolant）及保形插值（shape-preserving interpolant）效果最好。

第三章 系统的频率特性
系统的频率特性就是，这是一个复变函数。
§3-1　MATLAB中的复数及复变量
在MATLAB中复数x的输入方法：
x = 2 + 3*i　或　2 + 3*j
也可以s = 2 + 3i　或　s = 3 + 2j

在符号运算功能下，复变函数表示为（设a，b都是实数）：
syms a b real
x = a–b*I　或a–b*j（*不能省略）
在MATLAB中与复数有关的命令有
abs(x)：求实数的绝对值及复数的模，支持符号运算；
angle(x)：求复数的相角，单位为弧度，不支持符号运算。
conj(x)：求复数的共轭复数，支持符号运算；
imag(x)：求复数的虚部，支持符号运算；
real(x)：求复数的实部，支持符号运算。
复数的运算见参考程序fanli017。

参考程序fanli017:复数运算（含符号功能）
syms a b c d real　%符号均为实变量

X1=2-3i
X2=a+c/b*j
X3=c/a-2*d*j
S1=X2*X3/X1 %复数的乘除
S2=simple(abs(S1)) %复数的模
S3=simple(real(S1)) %复数的实部
S4=simple(imag(S1)) %复数的虚部
S5=simple(conj(S1)) %复数的共轭
S6=simple(expand(S1*S5)) %复数与其共轭的积
S7=simple(S3^2+S4^2) %复数实部、虚部的平方和
S8=simple(S6-S7) %检验复数运算的正确性

fanli018给出了系统的频率特性。
参考程序fanli018:系统频率特性的解析表达
syms w real %定义频率w 为实型变量
g=50*(0.6*w*i+1)/(i*w)^2/(4*w*j+1) %系统频率特性
g1=simple(conj(g)) %系统频率特性的复共轭
gr=simple(real(g)) %系统实频特性
gi=simple(imag(g)) %系统虚频特性
ga=simple(abs(g)) %系统幅频特性（模）
gb=simple(sqrt(gr^2+gi^2)) %系统幅频特性的另一计算方法
gc=simple(ga-gb) %检验系统幅频特性的两种计算方法
§3-2　频率特性的Nyquist图
将系统传递函数中的复变数s用纯虚数jω（ω为角频率，rad/s）代替，即得到系统的频率特性，又称为谐波传递函数，有三种表示方法：

式中
： 实频特性
： 虚频特性
： 幅频特性
： 相频特性
在研究控制系统的特性时，采用图示方法比采用解析方法直观、简单，便于对动态特性进行更深入的研究。以下讨论设系统传递函数为sys。

一、Nyquist图
1． Nyquist 图的有关命令
nyquist(sys)
直接返回系统sys的Nyquist图，机器自己确定频率范围（通常为　-∞ → +∞）
nyquist(sys, w)
返回在规定频率（rad/s）范围内的Nyquist图，频率范围的格式为
w = {wmin, wmax} (0号，必须是正整数而且应当在计算范围内。可以使用命令size(w)查看。k值随问题的简、繁而变化。
这是一个非常有用的命令，当然也可以采用直接在Nyquist图上用鼠标读取的方法。
[re,im] = nyquist(sys,w)
返回在某一频率w（rad/s）或某一频率范围w ={ wmin, wmax }系统的实部及虚部值。当选定为频率范围时，调出实部，虚部及对应频率值的方法同前一指令。

例3.1 分析系统

的频率特性。
该传递函数是一个零极点及有理分式的混合形式。首先将子系统

变换成零极点增益形式[z1，p1，k1]，再将系统变换成零极点增益模型（z，p，k）再作Nyquist图。
使用[re，im，w]＝nyquist(sys)语句，可计算出若干频率点所对应的实部、虚部值，而且在
w(25)=0.8802rad/s
w(26)=0.8951rad/s
之间，曲线将从第三象限穿过负实轴进入第二象限，在w(0.8802，0.8951)之间使用语句
[re，im]=nyquist(sys，w)
[0.8802，Δw，0.8951]
进行更细致的计算，在需要的精度内求出穿越负实轴的参数。
参考程序见fanli019。

参考程序fanli019:用Nyquist图分析系统频率特性
num=5;den=[1 0.2 1];%子系统的传递函数
[Z1,P1,K1]=tf2zp(num,den) %子系统的极点
Z=[-2.5;-2] %系统的零点
P=[P1;1/1.2;-1/1.4] %系统的极点
K=num %系统的增益
sys=zpk(Z,P,K) %系统的零、极点、增益模型
nyquist(sys) %系统的Nyquist图
[re,im,w]=nyquist(sys) %计算系统若干频率点所对应的实部与虚部值
w(25) %w(25)=0.8802,曲线处于第三象限靠近负实轴的频率点
w(26) %w(26)=0.8951,曲线处于第二象限靠近负实轴的频率点
[re1,im1]=nyquist(sys,[0.8802:0.00005:0.8951])
%在（0.8802, 0.8951）(rad/s)范围内，以0.00005rad/s为间隔计算实部及虚部值

fanli019的Nyquist图

2． 带延时环节系统的Nyquist图
对带有延时环节的系统，由于不能表示成传递函数的有理分式，所以MATLAB中没有直接命令可用。但由于Nyquist图实际上是以频率ω为参变量，横坐标为实频特性，纵坐标为虚频特性的直角坐标系图。所以，可以通过计算实频特性与虚频特性，再使用plot(x，y)作出Nyquist图。

例3.2 求作具有延时环节的系统

的Ny