控制工程基础(经典控制部分)MATLAB分析.doc

《控制工程基础（经典控制部分）》的MATLAB分析

第一章　MATLAB的基本使用
§1-1　MATLAB语言简介
MATLAB是一种高级矩阵语言，它由Math Works公司于1984年正式推出，它的基本处理对象是矩阵，即使是一个标量纯数，MATLAB也认为它是只有一个元素的矩阵。随着MATLAB的发展，特别是它所包含的大量工具箱（应用程序集）的集结，使MATLAB已经成为带有独特数据结构、输入输出、流程控制语句和函数、并且面向对象的高级语言。
MATLAB语言被称为一种“演算纸式的科学计算语言”，它在数值计算、符号运算、数据处理、自动控制、信号处理、神经网络、优化计算、模糊逻辑、系统辨识、小波分析、图象处理、统计分析、甚至于金融财会等广大领域有着十分广泛的用途。
MATLAB语言在工程计算与分析方面具有无可比拟的优异性能。它集计算、数据可视化和程序设计于一体，并能将问题和解决方案以使用者所熟悉的数学符号或图形表示出来。
MATLAB语言和C语言的关系与C语言和汇编语言的关系类似。例如当我们需要求一个矩阵的特征值时,在MATLAB下只需由几个字符组成的一条指令即可得出结果，而不必去考虑用什么算法以及如何实现这些算法等低级问题，也不必深入了解相应算法的具体内容。就象在C语言下不必象汇编语言中去探究乘法是怎样实现的，而只需要采用乘积的结果就可以了。
MATLAB语言还有一个巨大的优点是其高度的可靠性。例如对于一个病态矩阵的处理，MATLAB不会得出错误的结果，而用C或其它高级语言编写出来的程序可能会得出错误的结果。这是因为MATLAB函数集及其工具箱都是由一些在该领域卓有研究成果，造诣很深的权威学者经过反复比较所得出来的最优方法，而且经过多年的实践检验被证明是正确可靠的。
§1-2　MATLAB的工作窗口
下面以MATLAB6.1为例介绍。
从实用的角度MATLAB的工作窗口包括命令窗口、M文件编辑器窗口、图形编辑窗口、数学函数庫、应用程序接口及在线窗口。下面首先介绍MATLAB的命令窗口及M文件编辑器。
一、命令窗口
启动MATLAB之后，屏幕上自动出现命令窗口MATLAB，它是MATLAB提供给用户的操作界面，用户可以在命令窗口内提示符“>>”之后（有的MATLAB版本命令窗口没有提示符）键入MATLAB命令，回车即获得该命令的答案。
命令窗口内有File、Edit、View、Web、Window、Help等菜单条。
二、M文件编辑窗口
M文件是MATLAB语言所特有的文件。用户可以在M文件编辑窗口内，编写一段程序，调试，运行并存盘，所保存的用户程序即是用户自己的M文件。MATLAB工具箱中大量的应用程序也是以M文件的形式出现的，这些M文件可以打开来阅读，甚至修改，但应注意，不可改动工具箱中的M文件！

1．进入M文件窗口有两种方法
1) 命令窗口 — File — New — M-File；
2) 命令窗口 — 点击“File”字样下面的图标。
M文件编辑窗口的标记是“Untitled”（无标题的）。当用户编写的程序要存盘时，Untitled作为默认文件名提供给用户，自然，用户可以，也应当自己命名。若用户不自己命名，则MATLAB会对Untitled进行编号。

2．M文件的执行：
返回命令窗口，在当前目录（Current Directory）内选择所要运行的M文件的目录，在命令窗口提示符“>>”后，直接键入文件名（不加后缀）即可运行。
注意：（1）机器默认路径为一级子目录MATLAB6 p1\work；
（2）MATLAB 6.1以前的版本，运行M文件的方法稍有不同，它必须在File菜单下，打开“Run Script…”子菜单，键入需要运行的文件路径及名称再回车，在这种情况下，work作为根目录对待，不出现在M文件的路径之中。本讲义的参考程序都是在M文件窗口下编制的。
三、在线帮助窗口
在命令窗口中键入Help(空格) 函数名，可以立即获得该函数的使用方法。
§1-3 MATLAB最基本的矩阵操作
作为命令窗口及M文件编辑器的应用实例，介绍几个最基本的矩阵运算命令。
一、矩阵的输入
在方括号内依次按行键入矩阵元素，在一行内的各元素之间用空格或逗号分开，每行之间用分号分开。
例如，在命令窗内输入
A=[2 2 3;4 5 4;7 8 9] (注意：方括号，分号为矩阵行标记)
B=[1,3,5;6,-4,2;3,5,1] (逗号与空格功能相同)
A＝ 2　 2 3 B＝ 1 3 5
4 5 4 6 -4 2
7 8 9 3 5 1
同理：输入A1＝［2　4　6］得到行矢量，
　　　输入A2＝［2；4；6］得到列矢量，
于是，当输入
C=［A；A1］　有
C= 1 2 3
4 5 6
7 8 9
2 4 6
A1作为矩阵C的最后一行，C和A相比，增加了一行。

二、矩阵的转置
矩阵A的转置用A′表示，显然，A1与A2互为转置，即A1＇会得到以2,4，6为元素的列矢量。
思考一下输入 C1＝［ A　A2 ］
C2＝［ A　A1＇］
有什么结果？而输入［A；A1＇］有无意义？

三、矩阵的四则运算
1．矩阵的加减法：
当两个矩阵维数相同时可以直接进行“＋”或“－”运算。
如 D1＝A＋B，D2＝A－B

2． 矩阵的乘法：
当矩阵A，B维数相容时
C3＝A﹡B：普通意义下的矩阵相乘
C4＝A .﹡B：矩阵A与B的对应元素相乘
显然，A﹡B≠B﹡A（一般情况），而A .﹡B＝B .﹡A。A .﹡B称为数列型乘法，它要求参加运算的矩阵或数列具有相同的行列数，这是MATLAB语言中的一种特殊运算，它在今后求取函数值等运算时是很重要的。实际上，前面所述的矩阵加、减法就是一种数列型运算。

3． 矩阵的除法
D4＝A\B：表示A-1﹡B或inv(A)*B，即A的逆矩阵左乘矩阵B。
D5＝B/A：表示B﹡A-1或B﹡inv(A)，即A的逆矩阵右乘B。
D6＝A .\B：表示B的每一个元素被A的对应元素除。
D7＝A ./B：表示A的每一个元素被B的对应元素除。显然，A .\B与A ./B的各对应元素互为倒数。
读者可以思考一下，D6 .﹡D7等于什么？
D8＝inv(A)：A的逆矩阵。
打开M文件编辑窗口，将上述命令依次键入，得到fanli001如下：

参考程序fanli001:矩阵的四则运算
A=[2 2 3;4 5 4;7 8 9] % 三阶矩阵输入
B=[1,3,5;6,-4,2;3,5,1] % 三阶矩阵输入
A1=[2 4 6] %行向量
A2=[2;4;6] %列向量
C=[A;A1] %矩阵A增加一行
C1=[A A2]　%矩阵A增加一列
C2=[A A1']　 %矩阵A增加一列
D1=[A+B]　 %矩阵相加
D2=A-B　%矩阵相减
C3=A*B　%矩阵与矩阵相乘
C4=A.*B　%矩阵的对应元素相乘
D3=A\B　%A的逆左乘B
D4=B/A　%A的逆右乘B
D6=A.\B　%B的各元素被A的对应元素除
D7=A./B　%A的各元素被B的对应元素除
D8=inv(A)　 %A的逆矩阵

语句后面的%为语句说明符。
MATLAB中矩阵运算的其它主要命令可通过在线帮助获得。
§1-4　MATLAB的符号运算操作
一、进入符号运算功能
在命令窗口键入
syms x y z t
此后，即可以使用x，y，z，t等作自变量定义函数。
syms x y z t real 规定所定义的变量为实型。

二、代数方程求解
使用命令solve 可以求解代数方程，如求下例方程组
　的解，命令为
[x,y]=solve(‘x^2+x*y+y-3=0,x^2-4*x-2*y+3=0’)
程序见范例程序fanli002。

参考程序fanli002:代数方程求解
syms x y　%进入符号运算功能
f1=x^2+x*y+y-3　%函数f1
f2=x^2-4*x-2*y+3 %函数f2
[x,y]=solve('x^2+x*y+y-3=0','x^2-4*x-2*y+3=0')
%求解方程组
f1a=simplify(subs(f1)) %用求解出的x,y检验方程1
f2a=simplify(subs(f2)) %用求解出的x,y检验方程2
x=double(x) %将符号变量转换成浮点数
y=double(y) %将符号变量转换成浮点数
f1=subs(f1) %用浮点数x,y检验方程1
f2=subs(f2) %用浮点数x,y检验方程2

由solve求出的根是根的符号表达形式，是准确解。
命令simplify(f)表示化简，subs(f1)表示将求解出x，y代回f1中；double是将符号变量转换成浮点数，是准确解x，y的近似值。这从程序运行f1a=0，f2a=0，f1≠0，f2≠0可以确认。

三、符号矩阵运算
符号矩阵可以和数值矩阵一样进行运算，例如：求矩阵特征值eig，求矩阵的逆inv等命令都支持符号运算。
设
计算其特征值eig(A)，逆矩阵inv(A)，程序见fanli003。

参考程序fanli003:符号矩阵的特征值
syms t real 　%定义为实型变量
A=[sin(t) -cos(t);cos(t) sin(t)] %定义矩阵A
B1=eig(A) %求矩阵A的特征值
B1=simple(B1) %化简A的特征值表达式
B2=inv(A) %求矩阵A的逆矩阵
B2=simple(B2) %化简A的逆矩阵表达式
C1=A*B2 %检验A的逆矩阵
C1=simple(C1) %C1为单位矩阵

注意函数的输入方法，自变量用圆括号括起来。

四、微积分运算
设函数，则MATLAB中微积分运算命令为
fiff(f)：求函数f对自变量x的一阶导数；
diff(f，2)：求函数f对自变量x的二阶导数；
int(f)：求函数f的不定积分
例1.1，设

试计算其一阶，二阶导数，积分运算，并作出函数图象，见范例fanli004。

参考程序fanli004:函数的微分与积分
syms x
f=1/(5+4*cos(x))
ezplot(f) %函数f的曲线
f1=diff(f) %函数f的一阶导数
figure,ezplot(f1) %函数f一阶导数的曲线
f2=diff(f,2) %函数f的二阶导数
figure,ezplot(f2) %函数f二阶导数的曲线
g=int(int(f2)) %函数f的二阶导数f2的二重积分
figure,ezplot(g) %函数f2二重积分的曲线
e=f-g %二阶导数的二重积分与原函数的差
e=simple(e)
figure,ezplot(e)
程序中
ezplot(f)：作函数的图形，x的取值范围默认值为-2π< x <2π

fanli004的函数曲线

fanli004的一阶导函数曲线

fanli004的二阶导函数曲线

fanli004的二阶导函数的二重积分曲线
ezplot(f)是一个很有用的作图命令，它的其它应用形式，请查在线帮助。
细心的读者会发现，一个函数求二阶导数后再对二阶导数进行二重积分，其结果与原函数相差一个常数。相当于纵坐标发生平移。
第二章　系统的时域特性
§2-1　传递函数
一、传递函数的两种形式
传递函数通常表达成s的有理分式形式及零极点增益形式。

设传递函数

1．有理分式形式
分别将分子、分母中s多项式的系数按降幂排列成行矢量，缺项的系数用0补齐。上述函数可表示为
num1=[2 1] %（注意：方括号，同一行的各元素间留空格或逗号）。
den1=[1 2 2 1]
syss1=tf(num1,den1)
运行后，返回传递函数的形式。这种形式不能直接进行符号运算！

2．零极点增益形式
[Z,P,K] = tf2zp(num1,den1)
sys2 = zpk(Z,P,K)
返回零、极点、增益表达式，其Z，P分别将零点和极点表示成列向量，若无零点或极点用[ ]（空矩阵）代替。
运行得到的
点 Z = -0.5
极点　P= -1，-0.5±j0.866
增益　K = 2
指令zp2tf(Z，P，K)将零极点增益变换成有理分式形式，见程序fanli005。

参考程序fanli005:传递函数的有理分式及零极点增益模型
num1=[2 1] % 传递函数的分子系数向量
den1=[1 2 2 1] % 传递函数的分母系数向量
sys1=tf(num1,den1) % 传递函数的有理分式模型
[Z,P,K]=tf2zp(num1,den1)
% 有理分式模型转换成零极点增益模型
[num2,den2]=zp2tf(Z,P,K)
% 零极点增益模型转换成有理分式模型
sys2=zpk(Z,P,K) % 传递函数的零极点增益模型
[A1,B1,C1,D1]=tf2ss(num1,den1)
% 有理分式模型转换成状态空间模型
[A2,B2,C2,D2]=zp2ss(Z,P,K)
% 零极点及增益模型转换成状态空间模型
[num1,den1]=ss2tf(A1,B1,C1,D1)
% 状态空间模型转换成有理分式模型
[Z,P,K]=ss2zp(A2,B2,C2,D2)
% 状态空间模型转换成零极点增益模型

程序中，命令tf2ss，zp2ss及ss2tf，ss2zp是状态空间模型与有理分式及零、极点、增益模型之间的相互转换。

二、传递函数框图的处理
用框图可以方便地表示传递函数的并联，串联及反馈。为简洁，仅以有理分式模型为例。
G1
G1
G1+G2
1． 并联

sysp = parallel(sys1,sys2)
[num,den]=parallel(num1,den1,num2,den2)

2． 串联
G1(s)
G2(s)
G1(s)·G2(s)

syss = series(sys1,sys2)
[nums,dens] = series(num1,den1,num2,den2)

3． 反馈
G1(s)
G2(s)
G1(s)G2(s)
1+G1(s)G2(s) G3(s)
G3(s)

sysc=feedback(syss,sys3,±1) %默认值（-1）
[numc, denc] = feedback(nums, dens, num3, den3)

4． 单位反馈
G1(s)
G2(s)
G1(s)G2(s)
1+G1(s)G2(s)

sysd = feedback(syss, 1)
[numd, dend] = feedback(nums, dens, 1, 1) %(单位反馈)
上面给出了同一指令的两种形式，相当于两套平行指令。
对于零极点增益形式，书写稍复杂一些，可先用zpk转换成系统形式，或用zp2tf转折换成有理分式形式后再进行框图化简操作。

三、简单函数的拉普拉斯变换
在MATLAB的符号功能中，可以对简单函数进行拉普拉斯正、逆变换。
拉氏正变换：laplace(f(t))
拉氏逆变换：ilaplace(L(s))
其中为原函数，为象函数。命令格式参见fanli007。

参考程序fanli007:拉普拉斯变换
syms s t w a b c
f1=sqrt((b-a)^2+w^2)/w*exp(-a*t)*sin(w*t+atan(w/(b-a)))%原函数f1
L1=laplace(f1) %f1的拉氏变换（象函数）
L1=simple(L1)　 %化简
f2=ilaplace(L1)　%L1的拉氏逆变换
f2=simple(f2) %化简

在MATLAB中使用laplace及ilaplace命令时，要注意象、原函数的符号，特别是对初相不等于零的振荡系统，运行结果常常同手册上的结果相差一个符号，这要注意函数表达式成立的条件。保险的办法是再使用拉氏变换的初值定理确定象、原函数的符号。
§2-2　系统时域特性曲线
在MATLAB中，当传递函数已知时，可以方便地求出系统的单位脉冲响应、单位阶跃响应等曲线。

一、系统的单位阶跃响应step
step有以下几种格式
step(sys)：
直接作出sys的单位阶跃响应曲线。其中sys = tf(num, den) 或sys = zpk(z, p, k)，MATLAB自动决定响应时间。
step(sys, t)
设定响应时间的单位阶跃响应。t可以设定为最大响应时间 t =
t终值(秒)，也可以设置为一个向量
t = 0 : △t : t终值
注意冒号的使用。它产生一个从0到t终值的行矢量，元素之间的间隔为△t。
step(sys1, sys2, …, sysn)
在同一幅图上画出几个系统的单位阶跃响应。
[y, t] = step(sys)；
命令输出对应时刻t的各个单位阶跃响应值，不画图。语句后的分号控制数据的屏幕显示。
如果要查看机器计算了多少个数据，可以使用命令
size(y)
得出的结果也表明数据作为列矢量的行数。要将计算出的[y, t]作成曲线，使用一般的作图命令
plot(t, y)
plot后面跟的两个参数横坐标在前，纵坐标在后。
参考程序见fanli008：
参考程序fanli008:系统的单位阶跃响应
num1=[4 2]
den1=[2 8 14 11 4]
sys1=tf(num1,den1) %系统G1(s)
num2=[2 1]
den2=[1 4 6 7 3]
sys2=tf(num2,den2) %系统G2(s)
[y1,t1]=step(sys1); %系统G1(s)的单位阶跃响应数据
[y2,t2]=step(sys2); %系统G2(s)的单位阶跃响应数据
step(sys1,sys2) %系统G1(s)、G2(s)的单位阶跃响曲线
figure,step(sys1,sys2,20)
%系统G1(s)、G2(s)在自选时间（20秒）内的单位阶跃响曲线
figure,plot(t1,y1) %系统G1(s)的单位阶跃响应曲线
figure,plot(t2,y2) %系统G2(s)的单位阶跃响应曲线

fanli008:step(sys1,sys2,t)单位阶跃曲线
二、系统的单位脉冲响应
impulse命令格式与单位阶跃响应step的命令格式完全相同，只需将语句中的step用impulse代替即可。针对同样的系统，其单位脉冲响应的参考程序见fanli009。
参考程序fanli009:系统的单位脉冲响应
num1=[4 2]
den1=[2 8 14 11 4]
sys1=tf(num1,den1)
num2=[2 1]
den2=[1 4 6 7 3]
sys2=tf(num2,den2)
[y1,t1]=impulse(sys1); %系统G1(s)的单位脉冲响应数据
[y2,t2]=impulse(sys2); %系统G2(s)的单位脉冲响应数据
impulse(sys1,sys2) %系统G1(s)、G2(s)的单位脉冲响应曲线
figure,impulse(sys1,sys2,20)
%系统G1(s)、G2(s)在自选时间（20秒）内的单位脉冲响应曲线
figure,plot(t1,y1) %系统G1(s)的单位脉冲响应曲线
figure,plot(t2,y2) %系统G2(s)的单位脉冲响应曲线
hold on,step(sys2) %系统G2(s)的单位阶跃和单位脉冲响应曲线

fanli009:impulse(sys1,sys2)单位脉冲响应曲线

程序的最后一句hold on是当前图形保护模式。当要将新图形作在当前图形上时，必须使用hold on。而figure的含意是另开一个新的图形窗口，如果不用figure或hold on，则新的图形会占用原图形窗口，始终只保留一个最新的图形窗口。

三、一阶系统及二阶系统的时域特性
一阶系统及二阶系统是最基本也是最重要的系统，高阶系统总可以视为由若干个一阶和（或）二阶系统组合构成。

1． 一阶系统（设增益为1）

影响系统特性的参数是其时间常数T，T越大，系统惯性越大，响应越慢。
参考程序fanli010给出了T＝0.4, 1.2, 2.0, 2.8, 3.6, 4,4六条单位阶跃响应曲线。

参考程序fanli010:一阶系统的单位阶跃响应曲线
num=1;i=1;
for del=0.1:0.2:1.1 %一阶系统时间常数递增间隔
den=[4*del 1]; %一阶系统分母向量
step(tf(num,den)) %一阶系统单位阶跃响应曲线
hold on, %不同时间常数的一阶系统单位阶跃响应曲线簇
i=i+1;
end

同理，可以作出对应的单位脉冲响应曲线，参考程序fanli011。
参考程序fanli011:一阶系统的单位脉冲响应曲线
num=1;i=1;

fanli010一阶系统时间常数对单位阶跃响应的影响
fanli011一阶系统时间常数对单位脉冲响应的影响
for del=0.1:0.2:1.1
den=[4*del 1];
impulse(tf(num,den),10) %一阶系统单位阶脉冲应曲线
hold on, %不同时间常数的一阶系统单位脉冲响应曲线簇
i=i+1;
end
注意MATLAB中for语句的结构。读者可以改变不同的增益，看看图形有何变化。

2． 二阶系统（设0<ξ<1）
设二阶系统为

二阶系统的特征参数为固有频率及阻尼比ξ。当增大，系统振动频率加快，振荡加剧；而随着ξ减小，系统振荡加剧，振荡峰尖锐。
参考程序fanli012示出了当ξ＝0.5, =1, 2, 3, 4, 5 rad/s时的间接阶跃曲线簇。
参考程序fanli012:
不同固有频率的二阶系统的单位阶跃响应曲线（ξ=0.5）
i=1;
for del=1:1:5; % 二阶系统固有频率递增间隔
num=del^2; % 二阶系统传递函数分子系数向量
den=[1 del del^2]; % 不同固有频率的二阶系统分母系数向量
step(tf(num,den),6) %二阶系统单位阶跃响应曲线
hold on, %不同固有频率的二阶系统单位阶跃响应曲线簇
i=i+1;
end

fanli012二阶系统固有频率对单位阶跃响应的影响
参考程序fanli013示出了同一二阶系统的单位脉冲响应曲线簇。

参考程序fanli013:
不同固有频率的二阶系统的单位脉冲响应曲线（ξ=0.5）
i=1;
for del=1:1:5;
num=del^2;
den=[1 del del^2]; % 不同固有频率的二阶系统分母系数向量
impulse(tf(num,den),6) %二阶系统单位脉冲响应曲线
hold on, %不同固有频率的二阶系统单位脉冲响应曲线簇
i=i+1;
end

fanli013二阶系统固有频率对单位脉冲响应的影响
参考程序fanlio14示出了当＝1，ξ＝0.1，0.3，0.5，0.7，0.9的二阶系统的单位阶跃响应曲线簇。

参考程序fanli014:
不同阻尼比的二阶系统的单位阶跃响应曲线（=1）
i=1;
for del=0.1:0.2:0.9; % 二阶系统阻尼比ξ递增间隔
num=1;
den=[1 2*del 1]; % 不同阻尼比的二阶系统分母系数向量
step(tf(num,den),30)
hold on, %不同阻尼比的二阶系统单位阶跃响应曲线簇
i=i+1;
end

famli014二阶系统阻尼比对单位阶跃响应的影响
参考程序fanli015示出了同一二阶系统当ξ取0.1，0.3，0.5，0.7，0.9的单位脉冲响应曲线簇。

参考程序fanli015:
不同阻尼比的二阶系统的单位脉冲响应曲线（=1）
i=1;
for del=0.1:0.2:0.9;
num=1;
den=[1 2*del 1];
impulse(tf(num,den),30)
hold on, %不同阻尼比的二阶系统单位脉冲响应曲线簇
i=i+1;
end

fanli015二阶系统阻尼比对单位脉冲响应的影响
四、带延时环节系统的典型响应
设具有纯延时环节的传递函数为

计算这种系统的单位阶跃响应不能使用一般方法。首先应使用Pade法对延时环节进行近似展开，
[numT, dent] = pade(T, 5) （表示使用5阶Pade级数）
得出的分子、分母系数的向量，然后将系统视为惯性环节与延迟环节的串联，再求其阶跃脉冲响应。
设K = 2.5，T＝1，程序见fanli016。

参考程序fanli016: 带延时环节系统的单位阶跃响应
K=2.5;T=1; T1=0.5;
[numt,dent]=pade(T,5);%5阶Pade法近似延时环节
syst=tf(numt,dent); %延时环节的近似传递函数
num1=K;
den1=[T1 1];
sys1=tf(num1,den1);%惯性环节
sys=series(sys1,syst);% 带延时环节的惯性系统
step(sys,6),grid % 带延时环节惯性系统的单位阶跃响应
figure,impulse(sys,6),grid
% 带延时环节惯性系统的单位脉冲响应

fanli016带延迟的一阶系统的单位阶跃响应

fanli016带延迟的一阶系统的单位脉冲响应
从响应曲线上可见，具有延时环节的惯性系统当加上单位阶跃或单位脉冲输入前后，其响应初始有振荡特性，脉冲响应更为明显。这种振荡现象使得对这种系统进行校正需要使用特殊的方法。
在作图命令后，加上格线命令grid，机器自动给曲线图加上格线。
§2-3　响应曲线的动态分析
一、MATLAB图形的编辑
在MATLAB中，用于编辑图形的命令很多，因为可视化正是MATLAB的一种强大而优越的性能。从工程实用角度，仅在图形窗口进行编辑已经夠用了。
在图形窗口顶部的第二排依次排有下列命令按钮：
Edit Plot（）：图形编辑。点击进入图形编辑功能。点击选择编辑对象。例如，曲线，标题，纵、横坐标的说明等，可对选中项进行编辑。
Insert Text（）：插入文本。点击可在图区内插入文字，并可选择字体及大小等。
Insert Arrow（）：插入箭头。点击可在图区内画箭头，并可对该箭头进行编辑。
Insert Line()：插入直线。点击可在图区内插入直线，并可对该直线进行编辑，改变线宽及颜色。
Zoom In（）：曲线放大。激活该按钮，可以逐次放大曲线，以观察曲线某些部分的细节，这对观察变化剧烈的曲线部分很有帮助。
Zoom Out（）：曲线缩小。激活该按钮，可以逐次从放大状态返回到原状态。
Rotate 3D（）：三维旋转。激活该按钮，在图区内按住鼠标左键，拖曳鼠标，原二维曲线可三维空间内任意旋转。
此外，还有平面旋转、三维动画、前后放大、平移、飞逸等。
例如，将曲线加粗，以利作图（曲线默认宽度为0.5）。按Edit Plot— 选择曲线双击左键 — 出现线宽选择框（line width）— 选择线宽— OK。

二、对曲线进行数据分析
不激活Edit Plot按钮（图形编辑不使能），
▲ 读取曲线上任一点的坐标值：鼠标指向选择点，单击左键，显示曲线编号，横坐标及纵坐标值；
▲ 研究曲线拟合情况：按Tools — Basic Fitting，出现Plot fitt（图形拟合）窗口，选择需要拟合的曲线，点击拟合方式，即可对所选图形进行曲线拟合。
MATLAB提供了样条插值、保形插值（shape-preserving interpolant）及直到10阶的多项式拟合。当选择多项式拟合时，机器会给出曲线及拟合方程。
在所给出的拟合方式中，三次样条插值（Cubic spline interpolant）及保形插值（shape-preserving interpolant）效果最好。

第三章 系统的频率特性
系统的频率特性就是，这是一个复变函数。
§3-1　MATLAB中的复数及复变量
在MATLAB中复数x的输入方法：
x = 2 + 3*i　或　2 + 3*j
也可以s = 2 + 3i　或　s = 3 + 2j
在符号运算功能下，复变函数表示为（设a，b都是实数）：
syms a b real
x = a–b*I　或a–b*j（*不能省略）
在MATLAB中与复数有关的命令有
abs(x)：求实数的绝对值及复数的模，支持符号运算；
angle(x)：求复数的相角，单位为弧度，不支持符号运算。
conj(x)：求复数的共轭复数，支持符号运算；
imag(x)：求复数的虚部，支持符号运算；
real(x)：求复数的实部，支持符号运算。
复数的运算见参考程序fanli017。

参考程序fanli017:复数运算（含符号功能）
syms a b c d real　%符号均为实变量
X1=2-3i
X2=a+c/b*j
X3=c/a-2*d*j
S1=X2*X3/X1 %复数的乘除
S2=simple(abs(S1)) %复数的模
S3=simple(real(S1)) %复数的实部
S4=simple(imag(S1)) %复数的虚部
S5=simple(conj(S1)) %复数的共轭
S6=simple(expand(S1*S5)) %复数与其共轭的积
S7=simple(S3^2+S4^2) %复数实部、虚部的平方和
S8=simple(S6-S7) %检验复数运算的正确性

fanli018给出了系统的频率特性。
参考程序fanli018:系统频率特性的解析表达
syms w real %定义频率w 为实型变量
g=50*(0.6*w*i+1)/(i*w)^2/(4*w*j+1) %系统频率特性
g1=simple(conj(g)) %系统频率特性的复共轭
gr=simple(real(g)) %系统实频特性
gi=simple(imag(g)) %系统虚频特性
ga=simple(abs(g)) %系统幅频特性（模）
gb=simple(sqrt(gr^2+gi^2)) %系统幅频特性的另一计算方法
gc=simple(ga-gb) %检验系统幅频特性的两种计算方法
§3-2　频率特性的Nyquist图
将系统传递函数中的复变数s用纯虚数jω（ω为角频率，rad/s）代替，即得到系统的频率特性，又称为谐波传递函数，有三种表示方法：

式中
： 实频特性
： 虚频特性
： 幅频特性
： 相频特性
在研究控制系统的特性时，采用图示方法比采用解析方法直观、简单，便于对动态特性进行更深入的研究。以下讨论设系统传递函数为sys。

一、Nyquist图
1． Nyquist 图的有关命令
nyquist(sys)
直接返回系统sys的Nyquist图，机器自己确定频率范围（通常为　-∞ → +∞）
nyquist(sys, w)
返回在规定频率（rad/s）范围内的Nyquist图，频率范围的格式为
w = {wmin, wmax} (0<wmin<wmin)
nyquist(sys1,sys2,…,sysn)
nyquist(sys1,sys2,…,sysn,w)
在同一幅度图上画出几个系统的Nyquist图，可以由机器确定频率范围，也可以自选频率范围。
[re,im,w]=nyquist(sys)
分别返回系统sys对应频率w的实部（re）及虚部（im）值。
读取实部，虚部及对应频率点的方法：
re(1,1,k)
im(1,1,k)
w(k) (rad/s)
其中，k为机器计算Nyquist响应的序列编号，必须是正整数而且应当在计算范围内。可以使用命令size(w)查看。k值随问题的简、繁而变化。
这是一个非常有用的命令，当然也可以采用直接在Nyquist图上用鼠标读取的方法。
[re,im] = nyquist(sys,w)
返回在某一频率w（rad/s）或某一频率范围w ={ wmin, wmax }系统的实部及虚部值。当选定为频率范围时，调出实部，虚部及对应频率值的方法同前一指令。

例3.1 分析系统

的频率特性。
该传递函数是一个零极点及有理分式的混合形式。首先将子系统

变换成零极点增益形式[z1，p1，k1]，再将系统变换成零极点增益模型（z，p，k）再作Nyquist图。
使用[re，im，w]＝nyquist(sys)语句，可计算出若干频率点所对应的实部、虚部值，而且在
w(25)=0.8802rad/s
w(26)=0.8951rad/s
之间，曲线将从第三象限穿过负实轴进入第二象限，在w(0.8802，0.8951)之间使用语句
[re，im]=nyquist(sys，w)
[0.8802，Δw，0.8951]
进行更细致的计算，在需要的精度内求出穿越负实轴的参数。
参考程序见fanli019。

参考程序fanli019:用Nyquist图分析系统频率特性
num=5;den=[1 0.2 1];%子系统的传递函数
[Z1,P1,K1]=tf2zp(num,den) %子系统的极点
Z=[-2.5;-2] %系统的零点
P=[P1;1/1.2;-1/1.4] %系统的极点
K=num %系统的增益
sys=zpk(Z,P,K) %系统的零、极点、增益模型
nyquist(sys) %系统的Nyquist图
[re,im,w]=nyquist(sys) %计算系统若干频率点所对应的实部与虚部值
w(25) %w(25)=0.8802,曲线处于第三象限靠近负实轴的频率点
w(26) %w(26)=0.8951,曲线处于第二象限靠近负实轴的频率点
[re1,im1]=nyquist(sys,[0.8802:0.00005:0.8951])
%在（0.8802, 0.8951）(rad/s)范围内，以0.00005rad/s为间隔计算实部及虚部值

fanli019的Nyquist图

2． 带延时环节系统的Nyquist图
对带有延时环节的系统，由于不能表示成传递函数的有理分式，所以MATLAB中没有直接命令可用。但由于Nyquist图实际上是以频率ω为参变量，横坐标为实频特性，纵坐标为虚频特性的直角坐标系图。所以，可以通过计算实频特性与虚频特性，再使用plot(x，y)作出Nyquist图。

例3.2 求作具有延时环节的系统

的Ny