1、
1.四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面．已知
，，，．
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小．
A
B
C
D
2.如图，正三棱柱的所有棱长都为
，为中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求点到平面的距离．
3.如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，，为 中点．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
2、
3.如图2，分别是矩形的边的中点，是上的一点，将，
分别沿翻折成，，并连结，使得平面平
面，，且．连结，如图3．
A
E
B
C
F
D
G
图2 图3
（I）证明：平面平面；
（II）当，，时，求直线和平面所成的角．
3、
□1.解法一：（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面．
因为，所以，
又，故为等腰直角三角形，，
D
B
C
A
S
由三垂线定理，得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，依题设，
故，由，，，得
，．
的面积．
连结，得的面积
设到平面的距离为，由于，得
，
解得．
设与平面所成角为，则．
所以，直线与平面所成的我为．
4、解法二：
（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面．
D
B
C
A
S
因为，所以．
又，为等腰直角三角形，．
如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系，
，，，，，
，，所以．
（Ⅱ）取中点，，
连结，取中点，连结，．
，，．
，，与平面内两条相交直线，垂直．
所以平面，与的夹角记为，与平面所成的角记为，则与互余．
，．
，，
所以，直线与平面所成的角为．
□2.解法一：（Ⅰ）取中点，连结．
A
B
C
D
O
F
为正三角形，．
正三棱柱中，平面平面，
平面．
连结，在正方形中，分别
5、为
的中点，
，
．
在正方形中，，
平面．
（Ⅱ）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（Ⅰ）得平面．
，
为二面角的平面角．
在中，由等面积法可求得，
又，
．
所以二面角的大小为．
（Ⅲ）中，，．
在正三棱柱中，到平面的距离为．
设点到平面的距离为．
由得，
．
点到平面的距离为．
解法二：（Ⅰ）取中点，连结．
为正三角形，．
在正三棱柱中，平面平面，
平面．
取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，
，，．
x
z
A
B
C
D
O
F
y
，，
，．
平面．
（Ⅱ）设
6、平面的法向量为．
，．
，，
令得为平面的一个法向量．
由（Ⅰ）知平面，
为平面的法向量．
，．
二面角的大小为．
（Ⅲ）由（Ⅱ），为平面法向量，
．
点到平面的距离．
□3. 证明：
（Ⅰ）由题设，连结，为等腰直角三角形，所以，且，又为等腰三角形，故，且，从而．
所以为直角三角形，．
又．
所以平面．
（Ⅱ）解法一：
取中点，连结，由（Ⅰ）知，得．
为二面角的平面角．
由得平面．
所以，又，
故．
所以二面角的余弦值为．
解法二：
以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系．
设，则．
7、
的中点，．
．
故等于二面角的平面角．
，
所以二面角的余弦值为．
□4. 解：解法一：（Ｉ）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．
（II）过点作于点，连结．
由（I）的结论可知，平面，
所以是和平面所成的角．
因为平面平面，平面平面，，
平面，所以平面，故．
因为，，所以可在上取一点，使，又因为，所以四边形是矩形．
由题设，，，则．所以，，
，．
因为平面，，所以平面，从而．
故，．
又，由得．
故．
即直线与平面所成的角是．
解法二：（I）因为平面平面，平面平面，，
平面，所以平面，从而．又，所以平面．因为平面，所以平面平面．
（II）由（I）可知，平面．故可以为原点，分别以直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系（如图），
由题设，，，则，
，，相关各点的坐标分别是，
，，．
所以，．
设是平面的一个法向量，
由得故可取．
过点作平面于点，因为，所以，于是点在轴上．
因为，所以，．
设（），由，解得，
所以．
设和平面所成的角是，则
．
故直线与平面所成的角是．
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