认识一次函数与正比例函数图像的三种位置关系.doc

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认识一次函数与正比例函数图像的三种位置关系
一次函数y=kx+b（k≠0）的图像是一条直线,正比例函数y=kx（k≠0）的图像也是一条直线。所以，正比例函数除了是特殊的一次函数外，它的图像与一次函数的图像之间也有着一定的关系。其关系具体表现如下：
1、一次函数y=kx+b（k≠0）的图像可有正比例函数y=kx（k≠0）的图像平移得到。
平移的规律：
①当b＞0时，一次函数y=kx+b（k≠0）的图像可有正比例函数y=kx（k≠0）的图像向上平移b个单位，得到；上下平移的位置在常数项；
②当b＜0时，一次函数y=kx+b（k≠0）的图像可有正比例函数y=kx（k≠0）的图像向下平移|b|个单位，得到；上下平移的位置在常数项；
③当n＞0时，正比例函数y=kx（k≠0）的图像向右平移n个单位，得到一次函数y=k（x-n）+b的图像，此时，一次函数的解析式为：y=kx-kn+b。左右平移的位置在底数x中；

④当n＞0时，正比例函数y=kx（k≠0）的图像向左平移n个单位，得到一次函数y=k（x+n）+b的图像，此时，一次函数的解析式为：y=kx+kn+b。左右平移的位置在底数x中；
例1、将直线y=2x向右平移2个单位所得的直线的解析式是： 。
A、y＝2x＋2     B、y＝2x－2     C、y＝2(x－2)     D、y＝2(x＋2)
解析：根据上面的平移规律第三条，得到的解析式为：y＝2(x－2)，
所以，我们应选择C。

2、一次函数y=k1x+b（k≠0）的图像与正比例函数y=k2x（k≠0）的图像平行
一次函数y=k1x+b（k≠0）的图像与正比例函数y=k2x（k≠0）的图像平行的条件：
k1= k2，与常数项b没有关系。
例2、已知，一次函数y=kx+b的图像与正比例函数y=2x的图像平行，并且经过点A（3，2），
求函数的解析式。
分析：因为一次函数y=kx+b的图像与正比例函数y=2x的图像平行，所以，一次函数中的k=2，只须把点A的坐标代如解析式，求出b 的值就得到完整的函数解析式了。
解：
因为，一次函数y=kx+b的图像与正比例函数y=2x的图像平行，
所以，k=2，
所以，一次函数的解析式为：y=2x+b，
又因为图像经过点A（3，2），
所以，2=6+b，
解得：b= -4，
所以，一次函数的解析式为：y=2x-4。
3、一次函数y=k1x+b（k1≠0）的图像与正比例函数y=k2x（k2≠0）的图像相交
一次函数y=k1x+b（k≠0）的图像与正比例函数y=k2x（k≠0）的图像相交的条件：
k1≠k2，与常数项b没有关系。
特别的，当满足k1k2=1时，两条直线是互相垂直的。
此时，经常遇到的问题是求图像的交点坐标问题或判断交点的位置。
一次函数y=k1x+b（k≠0）的图像与正比例函数y=k2x（k≠0）图像的交点坐标为：
（，）。（可以当做公式对待）
例3、直线，直线与轴围成图形的周长是 （结果保留根号）．
分析：在这里，k2= -1，k1=1，所以，k2- k1= -2，b=2，所以，两函数图像的交点坐标为（-1，1），将交点的坐标分解后，就知道交点到x轴的距离和y轴的距离，
利用一次函数，让y=0，就得到函数与x轴的交点，这样，就知道三角形的一条边的长度了，其余两条边的长度，再根据勾股定理就可以求得。
解：
因为，直线y=-x，直线y=x+2，所以，k2= -1，k1=1，
所以，k2- k1= -2，b=2，所以，两函数图像的交点A坐标为（-1，1），
如图1所示，所以，线段OD=1，AD=1，
在直角三角形ADO中，
OA=，
令直线y=x+2中的y=0，得：x=-2，
所以，直线y=x+2与x轴的交点B坐标为（-2，0），因此，线段OB=2，BD=1，
在直角三角形ADB中，
AB=，
因为，直线，直线与轴围成的图形是三角形ABO，
所以，直线，直线与轴围成图形的周长是2+2。

例4、如果函数y=ax+b（a＜0，b＜0）和y=kx（k＞0）的图象交于点P，那么点P应该位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
分析：先用a、b、k的代数式表示出交点的横坐标和纵坐标，然后根据a、b、k的性质符号，来确定交点的横坐标、纵坐标的符号，从而确定交点的位置。
解：
因为，直线y=kx，直线y=ax+b，所以，k2= k，k1=a，
所以，k2- k1= k-a，b=b，所以，两函数图像的交点P坐标为（），
因为，k＞0，a＜0，b＜0，所以，k-a＞0，＜0，
所以，交点的横坐标的符号为“-”；
又因为，k＞0，a＜0，b＜0，所以，k-a＞0，k b＜0，所以， ＜0，
所以，交点的纵坐标的符号为“-”；
因此，交点P的符号为所以，交点P应在第三象限，所以，选C。

例5、小东从A地出发以某一速度向B地走去，同时小明从B地出发以另一速度
向A地而行，如图2所示，图中的线段、分别表示小东、小明离B地的距离（千米）与所用时间（小时）的关系。
1、试用文字说明：交点P所表示的实际意义。
2、试求出A、B两地之间的距离。
分析：首先要理解坐标系的意义，横坐标表示行驶的时间，单位是小时；纵坐标表示的是行驶过程中距离B地的距离，单位是千米。
而两个图象交点的意义就是表明两人行驶多长时间，在离B地多远的地方相遇。而A、B两地之间的距离，就是当对应函数的自变量x时间为0小时时，对应的函数值。因此，根据题目的要求，看懂图象，求出某一个函数的解析式，就成了解决问题的关键。
解：
1、交点P所表示的实际意义是：
经过2.5小时后，小东与小明在距离B地7.5千米处相遇。
2、设，又经过点P（2.5，7.5），（4，0）
所以， ，解得：
所以，    ，
所以， 当时，，
故A、B两地之间的距离为20千米。

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