平面向量的数量积及运算律市名师优质课比赛一等奖市公开课获奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,研修班,*,学校：江苏省洪泽中学,教师：傅 启 峰,平面向量数量积,2025/1/11 周六,1,研修班,第1页,普通地，实数,与向量,a,积是一个向量，记作,a,，它长度和方向要求以下：,(1)|a|=|a|,(2),当,0,时,a,方向与,a,方向相同；,当,0,时,a,方向与,a,方向相反；,尤其地，当,=0,或,a=0,时,a=0,复习,:1.,数乘定义,2025/1/11 周六,2,研修班,第2页,设,a,b,为任意向量,为任意实数，则有：,(,a,)=(),a,(,+,),a=,a+,a,(,ab,)=,a+,b,2.,数乘运算律,2025/1/11 周六,3,研修班,第3页,引入,:,我们学过功概念，即一个物体在力,F,作用下产生位移,s,（如图）,F,S,力,F,所做功,W,可用下式计算,W=|F|S|cos,其中,是,F,与,S,夹角,从力所做功出发，我们引入向量,数量积,概念。,2025/1/11 周六,4,研修班,第4页,两个非零向量,a,和,b,，,作 ，,则 叫做向量,a,和,b,夹角,O,A,B,a,b,O,A,B,b,a,若 ，,a,与,b,同向,O,A,B,b,a,若,a,与,b,反向,O,A,B,a,b,若 ，,a,与,b,垂直,，,记作,1.,向量夹角,2025/1/11 周六,5,研修班,第5页,练习,1,、如图，等边三角形中，求,（,1,）,AB,与,AC,夹角；,（,2,）,AB,与,BC,夹角。,A,B,C,经过平移,变成共起点！,2025/1/11 周六,6,研修班,第6页,2.,平面向量数量积定义,要求：零向量与任意向量数量积为0，,即 0,已知两个非零向量,a,和,b,，,它们夹角为,，我们把数量,叫做,a,与,b,数量积（或内积），记作,a,b,，,即,2025/1/11 周六,7,研修班,第7页,注意：,(1),两向量数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定,(2),a,b,不能写成,a,b,(3),向量数量积与实数积区分,2,）对于实数,a,、,b,、,c,（,b0,），若,a b=b c,，,则,a=c ,对于向量,a,，,b,，,c,此式是否仍成立呢？,1),对实数,a0,若,a b=0,，则,b=0,，但对向量,a,0,时，若,a,b,=0,能不能推出,b,是零向量？,3,）对于实数,a,、,b,、,c,，有,（,a b,）,c=a,（,b c,）,但对于向量,a,，,b,，,c,来说，此式是否一定成立？,2025/1/11 周六,8,研修班,第8页,2025/1/11 周六,9,研修班,第9页,解：,ab=|a|b|cos=54cos120,=54,（,-1/2,）,=,10,。,1.,已知,|a|5,，,|b|=4,，,a,与,b,夹角,=120,，求,ab,。,2.,已知,a=(1,1),b=(2,0),求,ab,。,解：,|a|=2,|b|=2,=45,ab=|a|b|cos=22cos45=,2,练习,2:,2025/1/11 周六,10,研修班,第10页,物理上力所做功实际上是将力正交分解，只有在位移方向上力做功,s,F,过点,B,作,垂直于直线,OA，,垂足为 ，,则,|,b|,cos,O,A,B,a,b,O,A,B,a,b,|,b,|,cos,叫向量,b,在,a,方向上投影,为锐角时，,|,b,|,cos,0,为钝角时，,|,b,|,cos,0,为直角时，,|,b,|,cos,=0,B,O,A,a,b,2025/1/11 周六,11,研修班,第11页,我们得到,ab,几何意义,：,数量积,ab,等于,a,长度,|a|,与,b,在,a,方向上投影,|b|cos,乘积。,2025/1/11 周六,12,研修班,第12页,3.,平面向量数量积,主要性质,:,ab,|a|b|,（,4,）,cos=,（,5,）,|ab|a|b|,（,3,）当,a,与,b,同向时，,ab=|a|b|,当,a,与,b,反向时，,ab=,|a|b|,尤其地，,aa=|a|,2,或,|a|=aa,。,（,2,）,ab ab=0,设,a,，,b,都是非零向量，,e,是与,b,方向相同单位向量，,是,a,与,e,夹角，则,（,1,）,e,a=a,e,=|a|cos,2025/1/11 周六,13,研修班,第13页,1,若,a,=0,，则对任一向量,b,，有,a b,=,0,2,若,a,0,，则对任一非零向量,b,有,a b,0,3.,若,a,0,，,a b,=,0,则,b,=0,4.,若,a b,=,0,则,a b,中最少有一个为,0,5.,若,a,0,，,a b,=,b c,则,a,=,c,6.,若,a b,=,a c,则,b,c,当且仅当,a,=0,时成立,7.,对任意向量,a,b,c,有,(,a b,),c,a(b c),8.,对任一向量,a,有,a,2,=|,a,|,2,练习,3,：判断正误,(,）,(,）,(,）,(,）,(,）,(,）,(,）,(,）,2025/1/11 周六,14,研修班,第14页,4,、平面向量数量积运算律,已知向量 和实数,则向量数量积满足：,（,1,）,（交换律）,（,2,）,（数乘结合律）,（,3,）,（分配律）,注意：,数量积运算不满足结合律消去律,2025/1/11 周六,15,研修班,第15页,（,1,）交换律：,证实：,设 夹角为,，,则,所以,2025/1/11 周六,16,研修班,第16页,（,2,）,若,证实：,若,2025/1/11 周六,17,研修班,第17页,（,3,）,分析：,1,2,A,1,B,1,A,O,B,C2025/1/11 周六,18,研修班,第18页,（,3,）,1,2,A,B,O,A,1,B,1,C,证实：在平面内取一点 ，作,（即 ）在 方向上投影等于,在 方向上投影和，,即,即,2025/1/11 周六,19,研修班,第19页,5,、平面向量数量积惯用公式,2025/1/11 周六,20,研修班,第20页,求证：（,1,）,（,2,）,证实：（,1,）,（,2,）,2025/1/11 周六,21,研修班,第21页,例,2,、已知,与 夹角为,60,，,求：（,1,）在 方向上投影；,（,2,）在 方向上投影；,（,3,）,=2,=3,解：（,3,）,2025/1/11 周六,22,研修班,第22页,2025/1/11 周六,23,研修班,第23页,2025/1/11 周六,24,研修班,第24页,2025/1/11 周六,25,研修班,第25页,练习：,（）,A,锐角三角形,C,钝角三角形,D,不能确定,B,直角三角形,D,（）,C,A,锐角三角形,B,直角三角形,C,钝角三角形,D,不能确定,2025/1/11 周六,26,研修班,第26页,课堂小结：,本节课我们主要学习了平面向量数量积性质及其应用，常见题型主要有：,1,、直接计算数量积（定义式以及夹角定义）,2,、由数量积求向量模,4,、利用数量积性质判定两向量是否垂直,3,、由数量积确定两向量夹角,5,、判断三角形形状,2025/1/11 周六,27,研修班,第27页,2025/1/11 周六,28,研修班,第28页,