九年级数学上册 第二章 一元二次方程6 应用一元二次方程第1课时 列一元二次方程解决几何与行程问题教案 （新版）北师大版-（新版）北师大版初中九年级上册数学教案.doc

6　应用一元二次方程
第1课时　列一元二次方程解决几何与行程问题

1．通过分析实际问题中的数量关系，建立方程解决实际问题，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程．
2．经历分析和建模的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型．
3．能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力．

重点
列一元二次方程解决实际问题．
难点
寻找实际问题中的等量关系．

一、情境导入
教师：还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？
课件出示教材第52页图2－7，提出问题：

(1)在这个问题中，梯子顶端下滑1 m时，梯子底端滑动的距离大于1 m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？
(2)如果梯子的长度是13 m，梯子顶端与地面的垂直距离为12 m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子的底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，这个距离是多少？
学生分组讨论：怎么设未知数？在这个问题中存在怎样的等量关系？如何利用勾股定理来列方程？
注意：涉及解的取舍问题，应引导学生根据实际问题进行检验，决定解到底是多少．
二、探究新知
课件出示教材第52页例1.

如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200 n mile处有一重要目标B，在B的正东方向200 n mile处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC的中点．一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．
已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E外，那么相遇时补给船航行了多少海里？(结果精确到0.1 n mile)
分析：此题难度较大，一定要给学生充分的时间去体会题意，分析题意，不能急于求成．在讲解过程中可逐步分解难点：①审清题意；②找准各条有关线段的长度关系；③建立方程模型，再求解．
在学生分析题意遇到困难时，教学中可设置问题串分解难点：
(1)要求DE的长，需要如何设未知数？
(2)怎样建立含DE未知数的等量关系？从已知条件中能找到吗？
(3)利用勾股定理建立等量关系，如何构造直角三角形？
(4)选定Rt△DEF后，三条边长都是已知的吗？DE，DF，EF分别是多少？
学生在问题串的引导下，逐层分析，在分组讨论后找出题目中的等量关系即：
速度等量：V军舰＝2×V补给船；
时间等量：t军舰＝t补给船；
三边数量关系：EF2＋FD2＝DE2.
弄清图形中线段长表示的量：已知AB＝BC＝200海里，DE表示补给船的路程，AB＋BE表示军舰的路程．
学生在此基础上选准未知数，用未知数表示出线段DE，EF的长，根据勾股定理列方程求解，并判断解的合理性．
教师：通过上面两道题的探究，应用一元二次方程解决实际问题有哪些步骤？
引导学生总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤如下：
(1)审题：读懂题目，审清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系；
(2)设元：就是设未知数，根据题意，选择适当的未知量，并用字母(x)表示出来，设元又分直接设元和间接设元；
(3)列方程：根据题目中给出的等量关系，列出符合题意的一元二次方程；
(4)解方程：求出所列方程的解；
(5)验根：检验未知数的值是否符合题意；
(6)写出答案．
三、举例分析
例1　一个直角三角形的斜边长为7 cm，一条直角边比另一条直角边长1 cm，那么这个直角三角形的面积是多少？
例2　如图①，在Rt△ACB中，∠C＝90°，点P，Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1 m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？
图①
　　　图②

例3　在宽为20 m，长为32 m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路(两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直)把耕地分成大小相等的六块试验田，要使试验田面积为570 m2，问道路应为多宽？
分析：三个例题的设计从简单问题入手，例1通过勾股定理解决直角三角形边长问题；例2构造了一个可变的直角三角形，解决面积问题；例3也是面积问题，在这个问题中通常设道路宽为x m，其中两条长为20 m，一条长为32 m，但要注意道路的交叉部分．
引导学生通过转变图形进行思考：若将图中的三条道路分别向上和向右平移到如图所示的位置，应怎样列方程求解？结果一样吗？哪种方法更简单？

四、巩固练习
1．在一块正方形的钢板上裁下宽为20 cm的一个长条，剩下的长方形钢板的面积为4 800 cm2.求原正方形钢板的面积.
2．有这样一道阿拉伯古算题：有两笔钱，一多一少，其和等于20，积等于96，多的一笔被许诺赏给赛义德，那么赛义德得到多少钱？
3．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3.乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？
五、小结
1．列方程解决实际问题的关键是什么？
2．列方程解决实际问题的步骤有哪些？
3．列方程时应注意哪些问题？
六、课外作业
1．教材第53～54页习题2.9第3，4题．
2．一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心20海里的圆形区域(包括边界)都属台风区．当轮船航行到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向的B处，且AB＝100海里．若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由．

本课是学生学习完一元二次方程的解法后的应用课，学生在七、八年级已经进行过方程应用的训练，对于方程的实际应用并不陌生．虽然学生已经进行了一定的训练，但本课对学生而言还是有一定的难度．本课采用启发式、问题讨论式、合作学习相结合的方式，引导学生从已有的知识和生活经验出发，以教材提供的素材为基础，引导学生对旧知识进行迁移，找出解决问题的新途径和方法；学生之间的合作交流、互助学习，能更好地调动学生的学习积极性，可以更好地根据学生的实际情况进行调整，更符合学生的认知规律．无论是例题的分析还是练习的分析，尽可能地鼓励学生动脑、动手、动口，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中发现学生分析问题、解决问题的独到见解以及思维的误区，更好地进行学习指导．