九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形 第2节 矩形的性质与判定（第3课时）教案 （新版）北师大版-（新版）北师大版初中九年级上册数学教案.doc

第一章《特殊平行四边形》
《矩形的性质与判定》(第3课时)
【教学目标】
1.知识与技能
通过探索与交流，已经得出矩形的判定定理，使学生亲身经历知识的发生过程，并会运用定理解决相关问题。通过开放式命题，尝试从不同角度寻求解决问题的方法。
2.过程与方法
 通过动手实践、合作探索、小组交流，培养学生的逻辑推理能力。
3.情感态度和价值观
在良好的师生关系下，创设轻松的学习氛围，使学生在数学活动中获得成功的体验，增强自信心，在合作学习中增强集体责任感。
【教学重点】
理解矩形判定定理的应用
【教学难点】
矩形判定定理的应用
【教学方法】
合作、探究
【课前准备】
多媒体课件
【教学过程】
一、 复习引入
（1） 矩形的定义；（2）矩形的性质；（3）矩形的判定；（4）直角三角形的性质及判定方法。
二、探究新知
1.矩形的性质与判定的应用
例1.如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE,求AE的长.
分析：根据矩形的对角线互相平分且相等，可得到OE=BE,再结合AE⊥BD，可得AB=AO,从而有△ABO是等边三角形，求出∠ADE=30°，在Rt△ADE中，即可求出AE的长.
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO=CO= BD(矩形的对角线相等且互相平分），
∠BAD=90°（矩形的四个角都是直角）
∵ED=3BE,
∴BE=OE
又∵AE⊥BD,
∴AB=AO，
∴AB=AO=BO,
即△ABO是等边三角形
∴∠ABO=60°
∴∠ADB=90°-∠ABO=90°-60°=30°，
在Rt△AED中，
∵∠ADE=30°，
∴
例2.△ABC中,AB=AC,AD是BC边上中线，AN平分∠MAC，CE⊥AN，AC与DE交于O点，求证：四边形ADCE是矩形；（2）判断OD与AB的关系，并说明理由.
分析：（1）根据等腰三角形性质可得AD⊥BC,AD平分∠BAC，又因为AN平分∠MAC可得∠DAE为90°，再加上CE⊥AN就可证明四边形ADCE是矩形.
（2）证得矩形后，可得O点是AC中点，那么OD是△ABC的中位线，就能得到OD与AB的关系了。
解：(1)∵AB=AC,AD是中位线，
∴AD⊥BC,AD平分∠BAC，
∴∠ADC=90°，
又∵AN平分∠MAC，

又∵CE⊥AN，
∴∠CEA=90°，
∴四边形ADCE是矩形；
(2) OD// AB, ,理由：
∵四边形ADCE是矩形，
∴OA=OC，
又∵D是BC边中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD//AB, .
三、巩固练习
1．如图，矩形ABCD的对角线AC＝10，BC＝8，则图中五个小矩形的周长之和为______
解析：∵AC=10,BC=8
根据勾股定理
∴
∴图中的五个小矩形的周长之和即大矩形的周长
2(AB+BC)=2(6+8)=28
2．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，AE⊥BD于E，若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠EAC的度数是( )
A．18° B．36° C．45° D．72°
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵∠DAE=3∠BAE，∠BAE+∠DAE=∠BAD，
∴∠BAE=22.5°，∠DAE=67.5°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABO=∠AEB-∠BAE=90°-22.5°=67.5°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=AC，OB=BD，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠ABO=67.5°，
∴∠CAE=67.5°-22.5°=45°，
故选C.
3、矩形的一边长为6，各边中点围成的四边形的周长是20 ，则矩形的对角线长为______ ，面积为________。
解析：矩形各边中点围成的四边形为菱形，且周长为20
∴菱形的边长为5，
故矩形的对角线的长为10，
矩形的另一边=
∴矩形的面积=6×8=48.
4.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作▱ABDE，连接AD，EC.
(1)求证：△ADC≌△ECD；
(2)若BD＝CD，求证：四边形ADCE是矩形．
解：(1)∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB＝DE，AB∥DE，
∴∠B＝∠EDC，
∵AB＝AC，
∴AC＝DE，∠B＝∠ACB，
∴∠EDC＝∠ACB，
又∵DC＝CD，
∴△ADC≌△ECD　
(2)∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BD//AE且BD=AE
∵BD=DC
∴DC//AE且DC=AE
∴四边形ADCE是平行四边形
∵AC=DE
∴平行四边形ADCE是矩形.
四、拓展提高：（矩形中的折叠问题——折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变）
1．如图，矩形ABCD中，AB＝1，E，F分别为AD，CD的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A恰好落在BF上，则AD＝____．
分析：连接EF，则可证明△EA'F≌△EDF，从而根据BF=BA'+A'F，得出BF的长，在Rt△BCF中，利用勾股定理可求出BC，即得AD的长度．
解：连接EF，
∵点E、点F是AD、DC的中点，
∴AE=ED，CF=DF=CD=AB=。
由折叠的性质可得AE=A'E，
∴A'E=DE，
在Rt△EA'F和Rt△EDF中，
∵EA=ED，EF=EF，
∴Rt△EA'F≌Rt△EDF（HL）
∴A'F=DF=，
∴,
在Rt△BCF中，,
.
2.如图，矩形ABCD中，AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
分析：先根据矩形的特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，AD=8，
∴BC=8，
∵△AEF是△AEB翻折而成，
∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，
∴CE=8-3=5，
在Rt△CEF中，
设AB=x，
在Rt△ABC中,
即 ，
解得x=6，
则AB=6．
故答案为：D．
五、课堂总结
矩形的性质与判定的应用
矩形中折叠问题的处理（折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变）
六、作业布置
习题2.3第2、3题．
【板书设计】
1.2.3菱形的性质和判定
菱形的性质：

菱形的判定：
例题板书
投
影
区

学生板演区
【教学反思】
本节课是矩形的性质与判定的第三课时，通过前两节课的学习，学生已经经历了对矩形的性质及判定的探究及验证过程，基本掌握了矩形的各项性质及判别方法。在前两节课的学习中教师引导学生通过动手操作、小组合作等方式探究发现了菱形的性质及判别方法，并对这些发现进行了严格的推理证明。在探究过程中学生积累了许多关于矩形的活动经验，同时在学习中倡导学生进行合作学习，因此学生具有了一定的合作学习经验，也具备了合作交流的能力。