山东省枣庄市峄城区吴林街道中学八年级数学下册 6.6 关注三角形的外角教案 北师大版.doc

6.6关注三角形的外角教案 教学目标：1.经历探索三角形内角和定理的推论的过程，进一步培养学生的推理能力.2.理解掌握三角形内角和定理的推论及其应用.教学重点与难点：重点：三角形内角和定理的推论.难点：三角形的外角、三角形内角和定理的推论的应用.教法与学法指导：教法：以培养学生自主学习能力为主，重点放在“合作与探究”上，让学生多观察、多动脑、大胆猜、勤探究，向学生提供更多的实践机会和交流空间，使学生在动脑、动手、动口的过程中获得分析和解决问题的能力，获得广泛的数学活动经验，成为学习的主人学法：自主探究与小组合作交流相结合课前准备：多媒体课件教学过程：一、温故知新，自然引入师上节课我们证明了三角形内角和定理，大家来回忆一下：它的证明思路是什么？生通过作辅助线，把三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角.这样就可以证明三角形的内角和等于180.师很好，下面大家来共同证明：三角形的内角和定理.已知，如图656，ABC.求证：A+B+C=180证明：作BC的延长线CD，过点C作CEBA.则：A=ACE（两直线平行，内错角相等）B=ECD（两直线平行，同位角相等）ACB+ACE+ECD=180（1平角=180）ACB+A+B=180（等量代换）师好，在证明这个定理时，先把ABC的一边BC延长，这时在ABC外得到 ACD，我们把ACD叫做三角形ABC的外角.那三角形的外角有什么性质呢？我们这节课就来研究三角形的外角及其应用.设计意图：复习三角形内角和定理的证明方法，为本节课学生打好理论基础，进而引入新课二、师生互动，探究新知师那什么叫三角形的外角呢？像ACD那样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.外角的特征有三条：（1）顶点在三角形的一个顶点上.如：ACD的顶点C是ABC的一个顶点.（2）一条边是三角形的一边.如：ACD的一条边AC正好是ABC的一条边.（3）另一条边是三角形某条边的延长线.如：ACD的边CD是ABC的BC边的延长线.把三角形各边向两方延长，就可以画出一个三角形所有的外角.由此可知：一个三角形有6个外角，其中有三个与另外三个相等，所以研究时，只讨论三个外角的性质.下面大家来想一想、议一议（出示投影片6.6 A）如图657，1是ABC的一个外角，1与图中的其他角有什么关系呢？能证明你的结论吗？生甲1与4组成一个平角.所以1+4=180.生乙1=2+3.因为：1与4的和是180,而2、3、4是ABC的三个内角.则2+3+4=180.所以2+3=1804.而1=1804,因此可得： 1=2+3.生丙因为1=2+3，所以由和大于任何一个加数，可得：12,13.师很好.大家能用自己的语言说明你的结论的正确性.你能把你的结论归纳成语言吗？生丁三角形的一个外角等于两个内角的和.它也大于三角形的一个内角.生戊不对，如图658.图658（1）中，ACD是ABC的外角，从图中可知：ACB是钝角三角形.ACBACD.所以ACD不可能等于ABC内的任两个内角的和.图658（2）中的ABC是直角三角形，ACD是它的一个外角，它与ACB相等.由上述可知：丁同学归纳的结论是错误的.应该说：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于和它不相邻的任一个内角.师噢.原来是这样的，同学们同意他的意见吗？生同意.师是三角形的任一个外角都有此结论吗？生是的.师很好.由此我们得到了三角形的外角的性质（出示投影片6.6 B）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.师这两个结论是由什么推导出来的呢？生通过三角形的内角和定理推出来的.师对.在这里，我们通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理，像这样，由一个公理或定理直接推导出的定理叫做这个公理或定理的推论（corollary）.因此这两个结论称为三角形内角和定理的推论.它可以当做定理直接使用.注意：应用三角形内角和定理的推论时，一定要理解其意思.即：“和它不相邻”的意义.下面我们来研究三角形内角和定理的推论的应用（出示投影片6.6 C）例1已知，如图659，在ABC中，AD平分外角EAC，B=C，求证：ADBC.师生共析要证明ADBC.只需证明“同位角相等”即：需证明：DAE=B.证明：EAC=B+C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）B=CB=EAC（等式的性质）AD平分EAC（已知）DAE=EAC（角平分线的定义）DAE=B（等量代换）ADBC（同位角相等，两直线平行）师同学们想一想，还有没有其他的证明方法呢？生甲这个题还可以用“内错角相等，两直线平行”来证.证明：EAC=B+C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）B=C（已知）C=EAC（等式的性质）AD平分EAC（已知）DAC=EAC（角平分线的定义）DAC=C（等量代换）ADBC（内错角相等，两直线平行）生乙还可以用“同旁内角互补，两直线平行”来证.证明：EAC=B+C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）B=C（已知）C=EAC（等式的性质）AD平分EAC（已知）DAC=EAC（角平分线的定义）DAC=C（等量代换）B+BAC+C=180（三角形的内角和定理）B+BAC+DAC=180（等量代换）即：B+DAB=180ADBC（同旁内角互补，两直线平行）师同学们叙述得真棒.运用了不同的方法证明了两直线平行.现在大家来想一想：若证明两个角不相等、或大于、或小于时，该如何证呢？（出示投影片6.6 D）例2已知，如图660，在ABC中，1是它的一个外角，E是边AC上一点，延长BC到D，连接DE.求证：12.师生共析一般证明角不等时，应用“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”来证明.所以需要找到三角形的外角.证明：1是ABC的一个外角（已知）13（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）3是CDE的一个外角（已知）32（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）12（不等式的性质）师很好.下面我们通过练习来进一步熟悉掌握三角形内角和定理的推论.设计意图：通过三角形内角和定理直接推导三角形外角的两个推论，引导学生从内和外、相等和不等的不同角度对三角形作更全面的思考，新的定理的推导过程应建立在学生的充分思考和论证的基础之上，教师切勿越俎代庖。三、学以致用，知识反馈1.已知，如图661，在ABC中，外角DCA=100,A=45.求B和ACB的度数.解：DCA=A+B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）DCA=100,A=45（已知）B=DCAA=10045=55（等式的性质）DCA+ACB=180（1平角=180）ACB=180DCA（等式的性质）DCA=100（已知）ACB=80（等量代换）2.如图，求证：（1）BDCA.（2）BDC=B+C+A.如果点D在线段BC的另一侧，结论会怎样？分析通过学生的探索活动，使学生进一步了解辅助线的作法及重要性，理解掌握三角形的内角和定理及推论.证法一：（1）连接AD，并延长AD，如图，则1是ABD的一个外角，2是ACD的一个外角.13.24（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）1+23+4（不等式的性质）即：BDCBAC.（2）连结AD，并延长AD，如图.则1是ABD的一个外角，2是ACD的一个外角.1=3+B2=4+C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）1+2=3+4+B+C（等式的性质）即：BDC=B+C+BAC证法二：（1）延长BD交AC于E（或延长CD交AB于E），如图.则BDC是CDE的一个外角.BDCDEC.（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）DEC是ABE的一个外角（已作）DECA（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）BDCA（不等式的性质）（2）延长BD交AC于E，则BDC是DCE的一个外角.BDC=C+DEC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）DEC是ABE的一个外角DEC=A+B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）BDC=B+C+BAC（等量代换）设计意图：让学生接触各种类型的几何证明题，提高逻辑推理能力，培养学生的证明思路，特别是不等关系的证明题，因为学生接触较少，因此更需要加强练习让学生应用本节课所学的知识解决相关的问题，查找掌握不牢固的地方，进一步突出本节课的重点并加以巩固四、巩固提升，归纳总结本节课你有哪些收获(知识方面和操作方面)？在运用科学知识进行实践过程中,你具有了哪些能力?你是否想到最优的方法？在与同伴合作交流中，你对自己的表现满意吗？你的同伴中你认为最值得你学习的是哪几个人？(学生分组进行讨论、交流，总结本节课学习的主要内容及收获)设计意图：学生结合本节课的学习，谈谈自己的收获和感受，并对同伴进行评价五、达标检测，反馈矫正1如图，已知ABCD,1=F，2=E，试猜想AF与DE的位置关系，并证明你的结论2已知，如图，B，C的外角平分线交于点D，若A=40，则D是多少度？你能将它一般化吗？试证明你的结论3如图，在中，AD平分BAC，CDAD于D.求证：ACDB设计意图：通过检测巩固当堂知识并准确的掌握学生的课堂学习效果，以方便课下有针对性的做好辅导六、布置作业，课后促学必做题：课本 第244页 习题67 第1、2题选做题：课本 第244页 习题67 第3、4题 设计意图：通过不同层次的作业，让每一名学生都得到充分的提高，达到巩固新课知识，提高实际应用能力的目的板书设计：6.6关注三角形的外角引入例1例2学生板演区教学反思：教学中，帮助学生找三角形的外角是难点，特别是当一个角是某个三角形的内角，同时又是另一个三角形的外角时，困难就更大，解决这个难点的关键是讲清定义，分析图形，变换位置，理清思路。本节课的教学设计力图具有以下几个特色：充分挖掘学生的潜能，展示学生的思维过程，体现“学生是学习的主人”这一主题；从特殊到一般，从不完全归纳到合情推理，展示了一个完整的思维过程；在整个教学中尽可能的避免教学的单调性，因此编排了一题多解的训练，为发散性思维创设情境，调动学生学习的极大热情。