八年级数学上册 第十五章 分式 15.2 分式的运算教案 （新版）新人教版-（新版）新人教版初中八年级上册数学教案.doc

15．2　分式的运算（第1课时）

1．理解并掌握分式的乘除法则，运用法则进行运算．
2．经历探索分式的乘除运算法则的过程，并能结合具体情境说明其合理性．

理解并掌握分式的乘除法则．

运用法则，熟练地进行分式乘除运算．
一、创设情景，明确目标
1．计算，并叙述你应用的运算法则．
(1)×；(2)÷.
2．(1)见教材P135的问题1：长方体容器的高为，水面的高度就为：·.
(2)见教材P135的问题2：大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的倍．
从上面的问题可知，讨论数量关系有时需要进行分式的乘除运算，如何进行相关运算呢，这就是我们这节课学习的主要内容．
二、自主学习，指向目标
自学教材第135至137页．

　分式的乘除法运算法则
活动一：阅读教材，思考问题：类比分数乘除法则，你能说出分式乘除法法则吗？
观察下列运算：
×＝；×＝，÷＝×＝，÷＝×＝.
【小组讨论】
1.×＝？　÷＝？
如何进行运算？
2．其运算方法和分数的乘除法有何联系？
展示点评：类似于分数，分式有：
(1)分式的乘法法则：分式乘分式，用________的积做积的分子，________的积作为积的分母．
(2)分式的除法法则：分式除以分式，把除式的________、________颠倒位置后，与被除式________．
÷＝×________＝___
小组讨论：分式的乘除运算与分数的乘除运算有什么联系？
反思小结：分数的乘除法运算实际上就是分式乘除运算的一种特殊形式，分式的乘除法运算就是对分数乘除法运算的深化．
活动二：计算：
(1)·　；　　　　(2)÷.
解：(1)原式＝ . (2)原式＝－.
例2　计算：
(1)·;
(2)÷.
解：(1)原式＝.
(2)原式＝－.
展示点评：分式的乘除时不漏项，结果要化成最简形式．
小组讨论：例2和例1有什么不同？分式的乘除运算时应注意什么问题？
反思小结：分式乘除运算，结果是分式应化为最简分式或整式；运算过程中分子、分母是多项式时，先分解因式再运算．
　分式乘除法的简单运用
活动三：如图，“丰收1号”小麦试验田是边长为a m的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦试验田是边长为(a－1) m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500 kg.

(1)哪种小麦单位面积产量高？
(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
思考完成下列3个问题：
1．列出表示两块试验田单位面积产量的代数式：“丰收1号”________；“丰收2号”________．
2．对于分子相同的分式，如何比较其大小？你能比较题中两分式的大小吗？
3．运用分式的除法法则确定两块试验田单位面积产量的倍数关系．
展示点评：(1)“丰收1号”小麦试验田的面积是(a2－1) m2，单位面积的产量是 kg/m2；“丰收2号”小麦试验田的面积是(a－1)2 m2，单位面积的产量是 kg/m2.
∵0<(a－1)2—(1)分式的乘法、除法法则是什么？在进行运算时应当注意两点：①符号问题；②运算结果一定是最简分式(或整式)．
(2)能运用分式的乘除运算解决简单的实际问题．
3．思想方法小结——类比、转化等数学思想．
五、达标检测，反思目标
1．将分式化简得，则x应满足的条件是__x≠0__．
2.·等于( C )
A．6xyz　　　　　B．－　　　　　C．－6xyz　　　　　D．6x2yz
3.÷等于( C )
A. B. b2x C．－ D．－
4．如果从一大捆粗细均匀的电线上截取1 m长的电线称得它的质量为a kg，再称得剩余电线的质量为b kg，那么这捆电线原来的总长度为( B )
A. m B. m C. m D. m
5．计算：
(1)·；
解：原式＝·＝.
(2)÷.
解：原式＝·＝－.
15．2　分式的运算（第2课时）

1．能运用分式的乘除法法则进行分式乘除的混合运算．
2．探索并掌握分式的乘方法则，并能运用它进行运算．

能运用分式的乘除法法则进行分式乘除的混合运算．

掌握分式的乘方法则，并能运用它进行运算．
一、创设情景，明确目标
1．回顾：分式的乘除法运算法则如何？积的乘方法则是什么？
2．实数乘除混合运算的运算顺序是如何规定的？分式乘除混合又该如何运算呢？分式的乘方如何运算呢？这就是我们今天所要学习的内容．
二、自主学习，指向目标
自学教材第138至139页．
三、合作探究，达成目标
　分式乘除混合运算
活动一：计算÷·.
展示点评：原式＝.同分数的混合运算是一致的．
小组讨论：在这个式子中包含几种运算？本题的运算顺序是怎样的？

反思小结：分式乘除混合运算可以统一为乘法运算．
　分式的乘方的法则及应用
活动二：1.思考：
＝　　　＝　　　＝
小组讨论：
(1)从乘方的意义去理解，、、的意义是什么？
(2)请根据乘方的意义和分式乘法法则计算：
＝________＝________
＝________＝________
＝________＝_______
展示点评：一般地，当n是正整数时，
＝________＝________＝________，即＝________.
这就是说，分式的乘方要把________、________分别乘方．
反思小结：分式乘方法则的推导，就是转化成乘方意义和分式乘法的问题．
小组讨论：归纳分式乘方法则推导的思路．
活动三：计算：
(1)；
解：原式＝.
(2)÷·.
解：原式＝－.
展示点评：(1)根据乘方的法则，分子、分母分别乘方；(2)先算乘方，再算乘除．
小组讨论：分式的混合运算与数的混合运算在运算顺序上有什么联系？
反思小结：在运算时，先确定运算结果的符号，负数的偶次幂为正，而奇次幂为负；式与数有相同的运算顺序，先乘方，再乘除．
四、总结梳理，内化目标
1．自主学习时，你的疑问是否得到解决？
2．知识小结——(1)本节课学习了分式乘除混合运算，其运算顺序是什么？注意分解因式和约分在分式乘除法中的应用．
(2)分式的乘方法则是什么？如果乘除混合运算中有乘方，要先算乘方．
3．思想方法小结——从特殊到一般以及转化等数学思想．
五、达标检测，反思目标
1．计算·÷的结果是( B )
A.　　　　　　　B．－　　　　　C.　　　　　D．－
2.的值是( C )
A. B．－
C. D．－
3．计算:＝ ．
4．计算：
(1)÷(x＋3)·;
解：原式＝··＝－.

(2).
解：原式=.
15．2　分式的运算（第3课时）

1．理解同分母分式与异分母分式加减法的运算法则，体会类比思想．
2．能运用同分母分式和异分母分式加减运算法则进行运算，体会化归思想．

分式的加减法法则．

异分母分式的加减运算．
一、创设情景，明确目标
同学们还记得分数是如何进行加减法运算的吗？(找同学叙述)
现在我们看下面两个问题：
问题1：甲工程队完成一项工程需要n天，乙工程队要比甲队多用3天，才能完成这项工程，两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？
问题2：2015年、2016年、2017年某地的森林面积(单位：公顷)分别是S、2S、3S，2017年与2016年相比，森林面积增长率提高了多少？
请按两个问题的要求列出代数式，请观察两个代数式有何特征，如何对这类代数式进行运算，这就是我们今天所要探究的内容．
二、自主学习，指向目标
自学教材第139至140页．
三、合作探究，达成目标
　分式加减法运算法则及应用
活动一：
1．让学生观察教材P140思考，并让学生叙述分数加减法法则．
2．类似分数加减法运算法则，推广可得分式的加减法法则，你能叙述吗？
展示点评：同分母的分式相加减，分母________，把分子相________．
异分母的分式相加减，先________，变为____分式，再加减．
这些法则用式子可表示为：
±＝________；±＝±________＝________.
针对训练：
下列运算是否正确，如果不正确，错在什么地方？
1.＋＝；　　　　( √ )
2.＋＝；　　　　 ( × )
3.－＝.　　　　 ( × )

例1　计算：
(1)－；
解：原式＝.
(2)＋.
解：原式＝.
小组讨论：1.(2)和(1)有什么不同？
2．进行异分母分式加减运算时如何确定分式的最简公分母？
变式训练：
计算：(1)＋；
(2).
解：(1)1.(2).
反思小结：异分母分式相加减，通分后变成同分母分式，再加减．体现了转化的数学思想．
　分式加减混合运算
活动二：计算：
x＋2y＋＋.
展示点评：(1).在解答中可把x＋2y当成一个整体．
小组讨论：分式的加减混合运算注意什么问题？
反思小结：同分母分式相加减，当分子是一个多项式时应把多项式看作一个整体，加上括号参与运算．
四、总结梳理，内化目标
1．我们是怎么引出分式加减法法则的？
2．知识小结——(1)理解同分母分式与异分母分式加减法的运算法则，并能熟练地运用同分母分式和异分母分式加减运算法则进行运算；(2)运算结果必须是最简分式．
3．思想方法小结——类比、转化等数学思想．
五、达标检测，反思目标
1．化简－ 的结果是( A )
A．－x－y　　　　　B．y－x　　　　　C．x－y　　　　　D．x＋y
2．分式＋的计算结果是( C )
A. B. C. D.
3．计算－＝_．
4．已知a(a－1)－(a2－b)＝2，那么－ab的值为__2__．
5．计算：
(1)＋－；
解：原式＝＝.
(2)－.
解：原式＝－＝－.
15．2　分式的运算（第4课时）

掌握分式混合运算的顺序，能进行分式的混合运算．

分式的混合运算．

灵活进行分式的混合运算．
一、创设情景，明确目标
1．说出分数混合运算的顺序．
2．分式的混合运算与分数的混合运算的顺序是否相同，这节课我们就来学习分式的混合运算.
二、自主学习，指向目标
自学教材第141页．
三、合作探究，达成目标
　分式的混合运算
活动一：计算：·－÷.
解：原式＝.
例2　计算：
(1)·;
(2)÷.
展示点评：(1)原式＝－2m－6；(2)原式＝.有时恰当运用运算律可简化运算．
小组讨论：分式的乘、除、加、减以及乘方的法则分别是什么？这些式子的运算顺序是怎样的？
反思小结：分式的混合运算顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的；若是同级运算，按从左到右的顺序进行(加减是同级运算，乘除是同级运算)．
四、总结梳理，内化目标
1．自主学习时，你的疑问是否得到解决？

2．知识小结——分式的混合运算与分数的混合运算类似，运算是应注意两点．
(1)灵活应用交换律、结合律、分配律；(2)运算结果化成最简分式．
3．思想方法小结——类比、转化等数学思想．
五、达标检测，反思目标
1．计算：1－·＝____．
2．计算：÷.
解：原式＝·＝－.
15．2　分式的运算（第5课时）

1．了解负整数指数幂的含义，理解并掌握整数指数幂的规定及此规定的前提条件．
2．会根据负整数指数幂的规定进行有关幂指数的运算．

会根据负整数指数幂的规定进行有关幂指数的运算．

了解负整数指数幂的含义．
一、创设情景，明确目标
an(n是正整数)的意义是什么？我们已学过正整数指数幂的哪些运算性质，你能完整的叙述出来吗？
：am·an＝am＋n(m，n是正整数)；：(am)n＝amn(m，n是正整数)；
：(ab)n＝anbn(n是正整数)；：am÷an＝am－n(a≠0，m，n是正整数，m＞n)；：＝(n是正整数)；：a≠0时，a0＝1.对于，n能否为负整数呢？其意义又是什么？这就是我们这节课所要探究的内容．
二、自主学习，指向目标
自学教材第142至144页．
三、合作探究，达成目标
　负整数指数幂的产生及意义
活动一：
1．用两种方法计算：a3÷a5，你们得到的结果有哪些形式？
方法一(约分的方法)：
a3÷a5＝＝＝ ①
方法二(同底数幂相除)：如果把同底数幂相除的运算法则：am÷an＝am－n(a≠0，m，n是正整数，m＞n)中的条件m＞n去掉，假设这个性质对于a3÷a5的情形也适用，则有：
a3÷a5＝a3－5＝a－2 ②
2．由①②两式，同学们发现a－2与有何关系？
展示点评：因此在数学中规定：一般地，当n是正整数时，a－n＝(a≠0)，这就是说，a－n是an的倒数．
小组讨论：上述规定中，为什么强调a≠0.
反思小结：至此，乘方中的指数已扩展为全体整数，但要注意指数为正整数、负整数或0时，底数的取值范围是不相同的．
　整数指数幂的运算
活动二：
正整数指数幂的各个运算法则：am·an＝am＋n(m，n是正整数)；(am)n＝amn(m，n是正整数)；
(ab)n＝anbn(n是正整数)；am÷an＝am－n(a≠0，m，n是正整数，m＞n)；＝(n是正整数)．
小组讨论：当m分别是正整数、0、负整数时，am各表示什么意义？
当指数m、n扩展到全体整数的情形时，是否仍然适用？
观察：a3·a－5＝，即a3·a－5＝a3＋(－5).
a－3·a－5＝＝a－8＝a－3＋(－5)，即a－3·a－5＝a－3＋(－5).
展示点评：am·an＝am＋n这条法则对于m、n是任意整数的情形仍然适用．
扩展：随着指数的取值范围由正整数推广到全体整数，前面的运算性质也推广到任意整数指数幂．
例　计算：
(1)a2÷a5＝a－3　;　　(2)＝;
(3)(a－1b2)3＝ ; (4)a－2b2·(a2b－2)－3＝.
分析：这几个式子分别属于幂的哪种运算？运算法则和顺序是怎样的？
小组讨论：整数指数幂的运算性质有哪些？在运用这些性质计算时，应注意什么问题？
反思小结：对于运算的结果是负整数指数幂的形式，要化为正整数指数幂的形式．负指数幂的引入可以使幂的除法转化为幂的乘法运算．
四、总结梳理，内化目标
1．自主学习时，你的疑问是否得到解决？
2．知识小结——(1)了解负整数指数幂的含义，理解并掌握整数指数幂的规定及此规定的前提条件；
(2)会根据负整数指数幂的规定作有关幂指数的运算．
3．思想方法小结——类比、转化等数学思想．
五、达标检测，反思目标
1．下列运算正确的是( B )
A．a2·b3＝a6　　B．5a2－3a2＝2a2　　　　C．a0＝1　　　　D．(2)－1＝－2
2．下列运算正确的是( C )
A．4x6÷(2x2)＝2x3 B．2x－2＝
C．(－2a2)3＝－8a6 D.＝a－b
3．计算－22＋(－2)2－的结果是( A )
A．2　　　B．－2　　　C．6　　　D．10
4.＝__1__;　＝__16__.
5．计算：
(1)(a－2)－3·(bc－1)3;
解：原式＝a6·b3c－3＝.
(2)(3x3y2z－1)－2·(5xy－2z3)2.
解：原式＝3－2(x3)－2(y2)－2(z－1)－2·25x2y－4z6＝x－6y－4z2·25x2y－4z6
＝x－4y－8z8＝.
15．2　分式的运算（第6课时）

会根据负整数指数幂的意义运用科学记数法表示小于1的正数(重难点)．
一、创设情景，明确目标

纳米是非常小的长度单位，1纳米＝10－9米，把1纳米的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上.1立方毫米的空间可以放多少个1立方纳米的物体(物体之间的间隙忽略不计)?
二、自主学习，指向目标
自学教材第145页．
三、合作探究，达成目标
　用科学记数法表示小于1的正数
活动一：思考：
10－1＝____＝0.1；
10－2＝____＝__0.01__；
10－3＝____＝__0.001__；
10－5＝__0.000 01__；
10－6＝__0.000 001__；
10－n＝____．
反之：
0．000 01＝＝10(　　)
0．000 025 6＝2.56×＝2.56×10－5
展示点评：填空的依据是负整数指数幂的意义．
小组讨论：用科学记数法表示小于1的正数：a×10n，如何确定a的值和n的值，你有什么好方法？
　科学记数法的简单运用
活动二：纳米是非常小的长度单位，1 nm＝10－9 m，把1 nm的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上.1 mm3的空间可以放多少个1 nm3的物体(物体之间的间隙忽略不计)?
展示点评：先把不同的长度单位转化成相同的长度单位，1 mm＝10－3 m，
1 nm＝10－9 m，再求出体积进行比较．
小组讨论：用科学记数法表示绝对值较小的数的关键是什么？
反思小结：用科学记数法表示绝对值较小的数的关键是确定a和n.
四、总结梳理，内化目标
1．自主学习时，你的疑问是否得到解决？
2．知识小结——用科学记数法表示小于1的正数：a×10n，1≤a≤10，n的值是此数第一个非零数字前面0的个数的相反数(含小数点前面的0).
五、达标检测，反思目标
1.用科学记数法把0.000 009 405表示成9.405×10n，那么n＝__－6__．
2.将下列各数用小数表示：－1.68×10－5＝_－0.000 016 8_，2－2×10－3＝__2.5×10－4_．
3.下列各式，错误的是(D)
A．0.001＝10－3　　　B.＝103
C．3 000＝3×103 D．(－0.01)－3＝106
4.计算：
(1)(3×10－8)×(4×103)；
解：原式＝(3×4)×(10－8×103)
＝12×10－5
＝1.2×10－4.
(2)(2×10－3)2÷(10－3)3.
解：原式＝22×10－6÷10－9＝4×103.