实数教学.doc

实数
（一）本章知识结构如下图所示： 

（二）教科书内容
本章主要包括算术平方根、平方根、立方根，以及实数的有关概念、运算以及实数在数轴上的表示等内容．本章的重点是算术平方根和平方根的概念和求法，难点是平方根和实数的概念． 
教科书的第一节是平方根，本节先研究算术平方根，再研究平方根．教科书首先创设一个问题情景，从中抽象出的数学问题为：已知正方形的面积求其边长．这是一个典型的求算术平方根的问题，它与学生熟悉的已知正方形的边长求其面积是一个互逆的过程．通过对这类问题的探讨，引出算术平方根的概念，给出其符号表示，这时教科书所涉及到的被开方数本质上都是完全平方数．接着，教科书设置一个“探究”栏目，让学生尝试能否将两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形，进而求出这个大正方形的边长．这也是一个已知正方形的面积求它的边长的问题，由于这个大正方形的面积为2，根据前面学过的算术平方根的概念和表示方法，可以求出这个大正方形的边长是，这样教科书就引进了用根号形式表示的无理数（但暂时不出现无理数的概念），这是教科书第一次出现这样的数．另外，通过学生将两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形的活动，也使学生感受到无理数是从现实世界中抽象出来的，是一种不同于有理数的数．出现后，一个很自然的问题是，到底多大．教科书采用用有理数夹逼的方法，利用不足近似值和过剩近似值来估计的大小，通过一步一步的估计，得到的越来越精确的近似值，进而指出是一个无限不循环小数的事实，并进一步指出，，等也是无限不循环小数，这就为后面认识无理数打下基础．会使用计算器求数的算术平方根是本章的一个教学要求，教科书通过一个例题，介绍了使用计算器求算术平方根的方法．用有理数估计无理数的大小，也是学习本章应该注意的一个问题，教科书结合一个实际例子（例3）介绍了用有理数估计无理数的常用方法．至此，教科书讨论了有关算术平方根的内容，包括算术平方根的概念、求法，无限不循环小数以及用有理数估计无理数等内容．接着，教科书设置一个“思考”栏目，对平方根展开讨论．在这个“思考”栏目中，要求学生算出平方等于9的数，通过对这个问题的探讨，找到解决问题的方法，利用这种方法进一步求出平方等于1，16，36…的数，由此抽象概括出平方根的概念和开平方运算．开平方运算与平方运算是互逆运算，教科书通过举例分析了这两种运算的互逆过程，并用图示进一步说明．最后，教科书结合具体例子，通过具体计算一些数的平方根，探讨数的平方根的特征，归纳出“正数的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根”．
教科书的第二节是立方根．对于立方根，教科书采用了与讨论平方根类似的方法进行讨论．首先设置一个问题情景，从中抽象出的数学问题是：已知立方体的体积求它的边长，这是一个典型的求数的立方根的问题．教科书从这个典型问题出发，引出立方根的概念和开立方运算．接着，教科书指出，和平方运算与开平方运算互为逆运算一样，立方运算与开立方运算也互逆，并通过一个“探究”栏目，运用这种互逆关系求一些正数、负数和0的立方根．在此基础上归纳出数的立方根的特征：“正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0”．最后，教科书介绍了立方根的符号表示，并利用这种符号表示探讨了立方根的一条性质（）． 
学习了平方根、立方根以及开方运算后，教科书在第三节安排了实数．本节首先设置一个“探究”拦目，要求学生将一些有理数转化为小数的形式，并分析这些小数的共同特点，进而归纳出有理数都可以化成有限小数或无限循环小数的形式，然后直接指出反过来的结论也成立，即任何有限小数和无限循环小数都是有理数，这样教科书就将有理数与有限小数和无限循环小数统一起来．在此基础上指出，像，，等只能化成无限不循环小数的数就是无理数，从而引出无理数的概念．教科书采用这种与有理数对照的方法引出无理数，有利于揭示有理数和无理数的本质区别，也有助于学生理解“有理数和无理数统称实数”这个构造性定义．为了是学生全面了解实数的概念，教科书根据不同的标准对实数进行分类，揭示出实数的内部结构．随着无理数的引入，实数概念的出现，数的范围由有理数扩充到实数，在这个扩充过程中，既体现了概念、运算等的一致性，又体现了它们的发展变化．教科书通过几方面的例子说明了这种一致性和发展变化．首先，教科书通过探究在数轴上画出表示和的点，说明了无理数也可以用数轴上的点来表示，并指出当数由有理数扩充到实数后，直线上的点与实数就是一一对应的；接着，教科书通过设置思考问题，让学生体会，在有理数范围内成立的一些概念（如绝对值、相反数等）在实数范围内仍然成立；最后，教科书结合具体例子，指出有理数的运算（如加、减、乘、除、乘方运算等），以及运算律、运算性质（如交换律、分配律、结合律等）在实数范围内仍然成立，并且可以进行新的运算（如正数和0可以进行开平方运算、任何一个实数可以进行开立方运算）等．
与大纲教材相比，本章内容在原教科书“数的开方”一章的基础上，适当增加了有关实数运算的内容（实数的运算在本套书二次根式”一章继续学习）；从内容安排上看，改变原教科书先讲平方根，将算术平方根作为平方根一种特例的做法，而是从实际问题出发，先讲算术平方根，再讲平方根，加强了与实际的联系；在教学目标方面，强调所有学生都应会使用计算器进行开平方、开立方运算，加强了对估算的要求等．
 （三）本章学习目标 
1．了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的算术平方根、平方根、立方根．
2．了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根，会用计算器求平方根和立方根．
3．了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值．
4．能用有理数估计无理数的大致范围