1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,题目：讨论平面静电场中复变函数方法,汇报人：李利萍,PB04005036,指导老师：翁惠民,第1页,一、引言,（1）在电磁学中，我们对电场问题总是在一个三维空间进行讨论，而电场中很多对称性让我们想到在一个剖切面进行考虑问题,(2)复变函数有时在平面处理问题一个很好工具。本文正是把电场中问题变换成复变函数模型，进而进行分析。,第2页,二、把静电场中一些问题化为复变函数模型,第3页,对于普通平面静电场，我们选取一个有代表性平面作为
2、z,平面，设,D,是电场中一大单连通区域，假如,D,内每一点电场强,度,散度：,(1),以,C,表示一光滑曲线，,是,D,所围有界区域，且,，,由格林公式：,上式表示沿闭曲线,C,电通量，确定单值函数：,(2),称为电场力函数，等值线,=a（,常数）叫电力线。,第4页,电场旋度：,(3),类似有：,上式表示沿闭曲线,C,所作功，确定单值函数：,(4),称为电场势函数，其等值线,=b（,常数）叫,电势线。,第5页,由(1)(3)得,(5),满足,C-R,方程，故 是,D,内全纯函数,同理，复势 是,D,内全纯函数,且知,与,E,满足以下关系:,(6),第6页,应该指出:在多连同区域内,复势可能
3、是一个多值函数,对于,此区域内任意一条光滑曲线,C,有,(7),其中,Q,分别是平面静电场沿,C,所做功,与,电通量.,第7页,三、简单初等函数表示平面静电场几个例子,第8页,（一）考虑一足够长,(,能够看成无限长,),均匀带电直线所产生电场,以,表电荷线密度,任取垂直于一个平面为平面,且原点在平面上,现来求此平面静电场电场强度和复势,.,第9页,分析以下,:,库伦定理知，点电荷,q,在相距其,r,处产生电场,:,则本题中,其中,是点电荷线密度，,dh,是直线上长度微元，是真空介电常数,所以，,|dE|,在,z,平面投影为,第10页,推出,因为,E,方向与,z,相同，其单位向量为 所以电场强度
4、E,初等复变函数表示为,:,-(8),第11页,而依据(6)复势为：,(9),为了方便,上式中取常数,c=0.,这不影响电场强度,E,所以,为力函数,.,（常数）表示电力线,(,虚线,).,为势函数,.,表示等势线（实线）,.,（如右图所表示）,第12页,以,C,表示一原点为中心一个圆周,则由,(7),式得,令 ，则,即,易知,:,所以,该点电荷,C,环量为,0,沿,C,电通量为,这与电场,环路定理,和,高斯定理,相吻合,.,第13页,(,二,),在,Z,平面点,.,处罚别有电量为,点电荷,.,求这些点电荷所形成电场电场强度和复势,.,分析以下,:,由上计算知,依据电路叠加原理,上述电荷所组
5、成电场,电场强度为,:,复势为：,第14页,尤其地,当,，,（即电偶极子）,，,且在点 电荷电量为 ，则由这两异性点电荷所形成复势为：,而力函数 ，当,(,为常数,),，电力线是经过 圆周,又势函数 ，当,（,b,为常数），等势线是以 为对称 圆周,.,（见下列图）,第15页,第16页,四,.,用复变方法处理静电场详细问题,-,平行板电容器所形成电场,.,第17页,考虑在平行板电容器内部,而不是两端附近静电场,那么能够近似把电场看成是均匀,.,在两端附近是不均匀,.,但我们考虑一端附近静电场,能够忽略另一端影响,那么能够把平行板电容器表示成两个半平面形状,下列图就是垂直与一平行板剖面图,.,以
6、表示平行板间距离,2h,又设它们电势分别为,第18页,所以,要求出此平面静电场复势,只有解以下边值问题,.,即上图中所表示区域内解析函数,使它满足边界条件：,且使,实际上,这只要找出区域,D,到,W,平面上宽为,2b,带形区域,G,共形映射（见下列图）,第19页,?,施瓦兹-科利斯多费尔定理,第20页,这么我们就找到了从映射,G,到,D,单叶解析函数：,将上式分成实部和虚部得：,分别在上式中取 常数，与 常数，便得电力线和等势线参数方程,第21页,由上式及,(6),还求电场强度：,在此平行板电容器内部,即,z,靠近,A,点，又,w,靠近 ，故电场,强度 也就是靠近匀强电场,.,当,z,在平行板电容器一端附近,即靠近,B,或,E,，此时,E,趋于 。上式,E,值反应了电容器所形成电场强度大小情况,.,第22页,五.总结,本文先把平面静电场一些问题化为复变函数问题,然后用共形映射与边值问题方法处理这些问题.,经过着篇论文我学到了很多知识，对电场问题有了更多地了解，也更深刻地了解到变函数这个工具强大力量,第23页,参考资料:,张玉民,戚伯云,电磁学.科学出版社中国科学技术大学出版社,郑建华,复变函数.清华大学出版社.1,闻国椿,殷慰萍,复变函数应用.首都师范大学出版社.1999.7,第24页,谢 谢,第25页,
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